一般函数无穷积分的收敛判别法

1、2 无穷积分的性质及收敛判别一、无穷积分的性质 本节讨论了无穷积分的性质,并用这些性质得到无穷积分的收敛判别法.二、非负函数无穷积分的收敛判别法三、一般函数无穷积分的收敛判别法( )daf xx收敛的充要条件是收敛的充要条件是,0aG 存在存在任给任给 1221( )d( )d( )d.uuuaauf xxf xxf xx 一、无穷积分的性质12,u uG当当时时证证( )( )d , ,),( )duaaF uf xx uaf xx 设设则则lim( ).uF u收收敛敛的的充充要要条条件件是是存存在在极极限限 由由函函数数极限的柯西准则极限的柯西准则, ,此等价于此等价于(无穷积分收敛的柯

2、西准则无穷积分收敛的柯西准则) )无穷无穷积分积分 定理定理11.111.112120,()(),Gau uG F uF u1221( )d( )d( )d.uuuauaf xxf xxf xx 性质性质11212( )d( )d,aafxxfxxkk 若若与与都都收收敛敛为为任意常数任意常数, ,则则1122( )( ) dak fxk fxx即即根据反常积分定义根据反常积分定义, ,容易导出以下性质容易导出以下性质1和性质和性质2. .,也也收收敛敛 且且性质性质21122( )( ) dak fxk fxx( )d( )d(),abf xxf xxba 与与( )d( )d( )d .b

3、aabf xxf xxf xx 同同时时收收敛敛或或同同时时发发散散，且且 , fa u若若在在任任何何有有限限区区间间上上可可积积, ,则则1122( )d( )d .aakfxxkfxx h(x) 在任意在任意 a, u上可积上可积, 且且( )d( )daaf xxg xx和和( )d.ah xx都都收收敛敛, ,则则收收敛敛证证 因为因为( )d( )daaf xxg xx和和收敛收敛, ,由柯西准则的必要性由柯西准则的必要性,120,GauuG 例例1 1),),()()( axxgxhxf, f (x), g (x),若若1221( )d,( )d,uuuuf xxg xx2221

4、11( )d( )d( )d,uuuuuug xxh xxg xx 即即再由柯西准则的充分性再由柯西准则的充分性,( )d.ah xx证证得得收收敛敛21( )d.uuh xx ( )( )( ),f xh xg x又又因因为为所所以以 ,),( )d.uauaf xxM二、非负函数无穷积分的收敛判别法lim( ).uF u条条件件是是存存在在12( )0,f xuu由由于于当当时时，2121( )d( )d( )d0,uuuaauf xxf xxf xx定理定理11.2( (非负函数无穷积分的判别法非负函数无穷积分的判别法) ) 设定义在设定义在 上的非负函数上的非负函数 f 在任何在任何

5、,)a , ,a u 上上可可积积 则则( )daf xx收敛的充要条件是收敛的充要条件是: :0,M使使证证( )( )d ,uaF uf xx( )daf xx则则收收敛敛的的充充要要设设 ,),( )d.uauaf xxM有有定理定理11.3 (非负函数无穷积分的比较判别法非负函数无穷积分的比较判别法) )( )( ), ,),f xg xxG在在 上的两个非负函数上的两个非负函数 f , g 在任何有限区在任何有限区 ,)a 增增函数的收敛判别准则函数的收敛判别准则, lim( )uF u存存在在的的充充要要条条从而从而 F (u) 是单调递增的是单调递增的( ,).ua由单调递由单调

6、递( ) ,)F ua 件件是是在在上上有有界界, ,0,M即即使使间间 a, u 上可积上可积, ,且存在且存在 满足满足,Ga设定义设定义证证 ( )dag xx若若收收敛敛, ,0, ,),Mua则则( )d.uag xxM( )d( )d.uuaaf xxg xxM因因此此由非负函数无穷积分的判别法由非负函数无穷积分的判别法,( )daf xx收收敛敛. .( )d,( )daaf xxg xx 当当发发散散时时亦亦发发散散. .( )d,( )daag xxf xx 则则当当收收敛敛时时亦亦收收敛敛; ;第二个结论是第一个结论的逆否命题第二个结论是第一个结论的逆否命题, ,因此也成立

7、因此也成立. . 516d1xx收收敛敛. .例例2 判别判别516d1xx 的收敛性的收敛性.22( )d( )daafxxgxx数数. .证证明明: :若若和和收收敛敛, ,则则( ) ( )d.af x g xx收收敛敛解解6 51dxx由由于于收收敛敛, ,因因此此6 56511.1xx显然显然设设 f (x), g(x)是定义在是定义在 上的非负连续函上的非负连续函 ,)a 例例3 3证证2222( )( )11d( )d( )d222aaafxgxxfxxgxx( ) ( )d.af x g xx收收敛敛, ,因因此此收收敛敛推论推论1 1 设非负函数设非负函数 f 和和 g 在任

8、何在任何 a,u 上可积上可积, 且且( )lim.( )xf xcg x) i (0( )d( )daacf xxg xx若若， 则则与与收收敛敛性性相相同同; ;22( )( )( ) ( ),2fxgxf x g x而而由于由于(ii)0,( )d( )daacg xxf xx若若则则由由收收敛敛可可推推得得收收敛敛; ;(iii),( )d( )daacg xxf xx若若则则由由发发散散可可推推得得发发散散. . 证证 ( )(i)lim0,( )xf xcGaxGg x由由故故存存在在使使有有( ),( )2f xccg x即即3( )( )( ).22ccg xf xg x( )

9、d,( )d2aacf xxg xx若若收收敛敛 则则可可得得收收敛敛, ,从从而而( )d( )d,aag xxg xx收收敛敛. .反反之之若若收收敛敛 可可得得3( )d( )d.2aacg xxf xx收收敛敛, ,从从而而收收敛敛( )(ii)lim0,( )xf xGaxGg x由由存存在在使使有有( )( ), ,),( )daf xg xxGg xx即即因因此此由由收收敛敛( )d.af xx可可推推得得收收敛敛( )1,( )f xg x( )(iii)lim,( )xf xGaxGg x由存在使有由存在使有 ( )( ), ,),( )daf xg xxGg xx即即因因此

10、此由由发发散散( )d.af xx可可推推得得发发散散1(i)( )(1),( )dpaf xpf xxx若若则则收收敛敛; ;推论推论2 设设 f 是定义在是定义在 上的非负函数上的非负函数, 在任何在任何 ,)a , a u有有限限区区间间上上可可积积. .( )1,( )f xg x) i (1, 0,( )dapf xx 当当时时收收敛敛; ;)ii(1, 0,( )d.apf xx 当当时时发发散散lim( ),pxx f x 若若则则限区间限区间 a, u 上可积上可积.推论推论3设设 f 是定义在是定义在 上的非负函数上的非负函数,在任何有在任何有 ,)a 1(ii)( )(1)

11、,( )d.paf xpf xxx若若则则发发散散说明说明: : 推论推论3 3是推论是推论2 2的极限形式，读者应不难写的极限形式，读者应不难写出出它的证明它的证明. .例例4 讨论讨论1lndkpxxx的收敛性的收敛性 ( k 0 ).解解 (i),1时时p12lnlimpkpxxxx12lnlim0.pkxxx 1lnd.kpxxx因因此此由由推推论论3 3知知道道收收敛敛)ii(1ln1, limlimln.kpkpxxxpxxxx 时时1lnd.kpxxx因因此此同同理理知知道道发发散散无穷积分无穷积分( )daf xx满满足足条条件件( ) d,af xx收收敛敛( )d.af x

12、x则则绝绝对对收收敛敛称称以下定理可用来判别一般函数无穷积分的收敛性以下定理可用来判别一般函数无穷积分的收敛性. 三、一般函数无穷积分的判别法若若 f 在任何在任何有限区间有限区间 a, u上可积上可积,( ) d, af xx且且收收敛敛 则则( )daf xx 亦必收敛,并且亦必收敛,并且( )d( ) d .aaf xxf xx定理定理11.411.4 ( (绝对收敛的无穷积分必收敛绝对收敛的无穷积分必收敛) )证证210,GauuG 当当时时21( ) d,uuf xx 因此因此2211( )d( ) d.uuuuf xxf xx 再由柯西准则的充分性再由柯西准则的充分性, ( )da

13、f xx收收敛敛. .( )dlim( )d( ) d .uaaauf xxf xxf xx又对任意又对任意 ( )d( ) d ,uuaaf xxf xx于于是是,ua( ) d,af xx收收敛敛由柯西准则的必要性由柯西准则的必要性, 对对因因1sind()xxx ax因因此此绝绝对对收收敛敛. .收敛的无穷积分收敛的无穷积分( )daf xx不一定是绝对收敛的不一定是绝对收敛的.( )d|( )|d,aaf xxf xx若若收收敛敛而而发发散散 则则称称( )daf xx条条件件收收敛敛. .例例51sind(0)()xxax ax的收敛性的收敛性.判别判别解解sin1,()xx axx

14、 x而而3 211dxx收收敛敛, ,由于由于一般函数的无穷积分还可试用以下的狄利克雷一般函数的无穷积分还可试用以下的狄利克雷判判定理定理11.5( (狄利克雷判别法）狄利克雷判别法）( )( )duaF uf xx若若0( ) ( )d.af x g xx单单调调趋趋于于 ，则则收收敛敛 ,)( ) ,)ag xax 在在上上有有界界，在在上上当当时时lim( )0,xg x ,),( )d.0,uauaf xxM 设设由由于于证证,( ).4Ga xGg xM 存存在在时时故故别法和阿贝尔判别法判别其收敛性别法和阿贝尔判别法判别其收敛性. .,g因因为为单单调调函函数数 由由积积分分第第二

15、二中中值值定定理理 对对任任意意的的2112,uuGu u 221112( ) ( )d()( )d()( )d ,uuuuf x g xxg uf xxg uf xx .2424 MMMM22()( )d( )duaag uf xxf xx 11()( )d( )duaag uf xxf xx 2112()( )d()( )duug uf xxg uf xx 21( ) ( )duuf x g xx于于是是使得使得因此因此, 由柯西准则，由柯西准则，( ) ( )d.af x g xx收收敛敛定理定理11.6 (阿贝尔判别法阿贝尔判别法) ,)( ) ( )d.aaf x g xx在在上上单

16、单调调有有界界，则则收收敛敛证证 证法证法1( ), ,),g xM xa设设由由于于( )d,af xx收收敛敛210,GauuG 则则当当21( )d.4uuf xxM ( )d, ( )afxxg x若若收收敛敛由由 g 的单调性的单调性, ,用积分第二中值定理，任意的用积分第二中值定理，任意的2112,uuGu u 使得使得 21duuf x g xx2112()( )d()( )d .uug uf xxg uf xx 21( ) ( )duuf x g xx因因此此2112()( )d()( )duug uf xxg uf xx .244 MMMM由柯西准则由柯西准则,( ) ( )

17、d.af x g xx收收敛敛证法证法2( ) ,),g xaA因因在在上上单单调调有有界界 故故存存在在使使lim( ).xg xA11( )( ),( ) ,)0.g xg xAg xa令令则则在在上上单单调调趋趋于于( )d,( )( )duaaf xxF uf xx又又因因收收敛敛 故故在在 ,),a 上上有有界界由狄利克雷判别法由狄利克雷判别法1( )( )daf x g xx( ) ( )daf x g xx1( )( )d( )d.aaf x g xxAf xx收收敛敛例例611sincosdd (0)ppxxxx pxx讨讨论论与与的收敛性的收敛性.解解sin11,ppxpxx

18、当当时时 由由于于1sindpxxx因因此此绝绝对收敛对收敛. .收敛收敛, ,所以所以01,1pu若若则则当当时时，因此，因此单调趋于单调趋于而而01px由狄利克雷判别法知由狄利克雷判别法知1sind.pxxx收收敛敛另一方面，另一方面，2sinsin1cos2,1,),22pxxxxxxxx12cos21cosdd22xtxtxt其其中中满满足足狄利克雷判狄利克雷判1sindcos1cos2,ux xu别法条件，是收敛的；别法条件，是收敛的；1d2xx而而发发散散，因因此此类似可证类似可证1cos01dpxpxx当当时时，条条件件收收敛敛; ;1cos1dpxpxx 当当时时，绝绝对对收收敛敛. .1sin01dpxpxx当当时时, ,条条件件收收敛敛; ;1sind.,pxxx发发散散 总总之之1sin1dpxpxx 当当时时，绝绝对对收收敛