材料力学（路桥）第9章应力和应变分析 强度理论(2)

1、第九章第九章 应力与应变分析应力与应变分析 强度理论强度理论91 应力状态概述应力状态概述92 平面应力状态分析平面应力状态分析解析法解析法93 平面应力状态分析平面应力状态分析图解法图解法9-1 应力状态概述应力状态概述一、引言一、引言1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？M低碳钢铸铁PP铸铁拉伸 P铸铁压缩2、组合变形杆将怎样破坏？MP四、普遍状态下的应力表示四、普遍状态下的应力表示三、单元体三、单元体： 单元体构件内的点的代表物，是包围被研究点的 无限小的几何体，常用的是正六面体。 单元体的性质 a、平行面上，应力均布； b、平行面上，应力相等。二、一点的应力状态：二、一点的

2、应力状态： 过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态。xyzs s xs sz s s yt txy五、剪应力互等定理（五、剪应力互等定理（Theorem of Conjugate Shearing Stress):过一点的两个正交面上，如果有与相交边垂直的剪应力分量，则两个面上的这两个剪应力分量一定等值、方向相对或相离。 0zM证明： 单元体平衡0d)dd(d)dd(yxzxzyyxxyttyxxyttxyzs s xs sz s s yt txyt tyx六、原始单元体（已知单元体）：六、原始单元体（已知单元体）：例例1 画出下列图中的A、B、C点的已知单元

3、体。PPAAs sxs sxMPxyzBCt tzxs sxs sxBt txzCt txyt tyx七、主单元体、主面、主应力：七、主单元体、主面、主应力：主单元体（Principal body）： 各侧面上剪应力均为零的单元体。主平面（Principal Plane）： 剪应力为零的截面。主应力（Principal Stress）： 主平面上的正应力。主应力排列规定：按代数值大小321ssss s1 1s s2 2s s3 3xyzs sxs sys sz单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。 二向应力状态（Plane

4、State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。三向应力状态（ThreeDimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。整理课件例例2 图a所示为承受内压的薄壁容器。试导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式。pppxs1smlpODxABy图a整理课件1、轴向应力（longitudinal stress）解：容器的轴向和环向应力表达式用横截面将容器截开，受力如图b所示，根据平衡方程24DpDs4pDs ps ss sxD图b整理课件用纵截面将容器截开，受力如图c所示。2、环向应力（hoop stress）()2lDpDls2lpDlDs

5、ss”外表面ypDqdq)d2(qDlpz图cOss92 平面应力状态分析平面应力状态分析解析法解析法等等价价s sxt txys syxyzxys sxt txys syO规定：s 截面外法线同向为正； t 绕研究对象顺时针转为正； 逆时针为正。图1设：斜截面面积为dA，由分离体平衡得： Fn022dd cosd cossind sind sincos0 xxyyyxAAAAAsstst一、任意斜截面上的应力一、任意斜截面上的应力xys sxt txys syOs syt tyxs sxs s t t xyOtn图2图1xys sxt txys syOs syt tyxs sxs s t t

6、 xyOtn图2tsssss2sin2cos22xyyxyxtsst2cos2sin2xyyx考虑剪应力互等和三角变换，得：同理：0F t000d: sin 22cos20dxyxy ssst 令二、极值应力二、极值应力yxxysst22tg001012由此的两个驻点：和两各极值：、（）000sin 2cos202xyxyssttxys sxt txys syO）2222xyyxyxm inm axt ts ss ss ss ss ss s （tsssss2sin2cos22xyyxyxs1在剪应力相对的象限内，且偏向于sx 及sy 大的一侧。1max3min ; ssssxys sxt tx

7、ys syO主主单元体单元体3s1s）2222xyyxyxm inm axt ts ss ss ss ss ss s （极值正应力就是主应力：极值正应力就是主应力：整理课件1d: 0d t令xyyxtss22tg1222x yyxminmaxt ts ss st tt t ）（00145 4即极值剪应力面与主面成，tsst2cos2sin2xyyx例例3 分析受扭构件的破坏规律。解：确定危险点并画其原始 单元体求极值应力0yxssxytMWttmax22min22xyxyxysssssts（）tt2xyt txyCt tyxMCxyOt txyt tyx破坏分析max22min2xyxytss

8、ttt（）123 ; 0 ; stsst 002245tgxyxytss 112002tg xyxysst 240M Pa ; 200M Passst低 碳 钢 ： 98 280MPa 640 960MPa; 198 300MPaLbybbsst灰口铸铁：低碳钢铸铁93 平面应力状态分析平面应力状态分析图解法图解法tssttsssss2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyx222222xyyxyxtsstsss对上述方程消去参数（2），得：一、应力圆（一、应力圆（Stress Circle）xys sxt txys syOs syt tyxs sxs s t t xyOtn此

9、方程曲线为圆应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：Otto Mohr引入）建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）二、应力圆的画法二、应力圆的画法在坐标系内画出点A(s x，txy)和B(sy，tyx) AB与s 轴的交点C便是圆心。以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆；s sxt txys syxyOns s t t Os st tCA(s sx ,t txy)B(s sy ,t tyx)x2 n D( s s , t t s sxt txys syxyOns s t t Os st tCA(s sx ,t txy)B(s sy ,t tyx)x2 nD( s s , t t 三、单元体与应力圆的对应关系三、单元体与应力圆的对应关系面上的应力(s ，t ) 应力圆上一点(s ，t )面的法线 应力圆的半径指向两面夹角 两半径夹角2 ； 且转向一致。1322 22xyxyxyOCRsssssst半径（）四、在应力圆上标出极值应力四、在应力圆上标出极值应力maxmaxminmin22