朱卫华《大学物理》振动

1、第四章振动与波动整理ppt一些振动现象一些振动现象整理ppt一些振动现象一些振动现象整理ppt一些振动现象一些振动现象整理ppt一些振动现象一些振动现象 演示程序演示程序tx一些振动现象一些振动现象4-1 4-1 简谐运动简谐运动振动的定义振动的定义机械振动机械振动 电磁振动电磁振动 任一物理量任一物理量( (如位移、电如位移、电 流等流等) )在某一数值附近在某一数值附近反复变化反复变化纪念国际远程通讯展览会在柏林举行并纪念电视技术100周年整理ppt4-1 4-1 简谐运动简谐运动 振动分类振动分类3 3、受迫振动外界作用力下的振动、受迫振动外界作用力下的振动1 1、自由振动没有能量的输入

2、与输出、自由振动没有能量的输入与输出2 2、阻尼振动振幅减少的振动（介质阻尼和辐射阻尼）、阻尼振动振幅减少的振动（介质阻尼和辐射阻尼）4 4、随机振动用概率统计的方法研究、随机振动用概率统计的方法研究本章主要研究自由振动，而自由振动中最基本的振动是本章主要研究自由振动，而自由振动中最基本的振动是简谐振动简谐振动，它是其它一切振动的基础。，它是其它一切振动的基础。简谐运动简谐运动复杂振动复杂振动合成合成分解分解xtOtOxttttOOOO本章主要研究自由振动，而自由振本章主要研究自由振动，而自由振动中最基本的振动是动中最基本的振动是简谐振动简谐振动，它，它是其它一切振动的基础。是其它一切振动的基

3、础。4.1.1 4.1.1 简谐运动的描述简谐运动的描述一一. . 简谐振动的定义简谐振动的定义二二. . 描述简谐振动的描述简谐振动的特征量特征量 1. 1. 振幅振幅 A A物体离开平衡物体离开平衡 位置的最大距离位置的最大距离2. 周期周期T 和圆频率和圆频率 T 2 ， = 1/T (Hz) = 2 (1/s)( )cos()x tAt3. 相位相位(1) 、( t + )是是 t 时刻的相位时刻的相位 (2) 、 是是t =0时刻的相位时刻的相位 初相初相相位是确定物体振动状态的物理量，不同的相反映不同的态相位是确定物体振动状态的物理量，不同的相反映不同的态0,01 VAx AVx

4、,0,220,3VAx AVx , 0,234 sinAV cos)cos(AtAxA00000VV0,25 VAx 旋转矢量的长度旋转矢量的长度旋转矢量与参考方向旋转矢量与参考方向x 的夹角的夹角旋转矢量旋转的方向旋转矢量旋转的方向旋转矢量旋转的角速度旋转矢量旋转的角速度振动位相振动位相振动圆频率振动圆频率振幅振幅 A逆时针逆时针1 1、旋转矢量的构造、旋转矢量的构造AtAx )cos( 整理pptMx0P(t)+)cos( tAxAtAx )cos( A M 点在点在x 轴上投影轴上投影 P点点 的运动规律的运动规律MPxAMPxv0MPxv0MPxv0MPxv0MPxv0MPxv0MPx

5、v0MPxv0MPxv0MPxv0MPxv0MPxv0MPxv0MPxv0MPxv0MPxv0MPxv0MPxv0MPxv0MPxv0MPxv0MPxv0MPxv0MPxv0MPx 0)(cos tAxtxcos12. 030sin0Av0sin3振动方程振动方程)3cos(12. 0txyx33cos12. 006. 0初始条件：初始条件：t = 0 时，时， x0 = 0.06 m , v0 010.50.50.50.12 sin()0.1893tttxtt dm sdv220.50.50.50.12cos()0.1033tttatt dm sdv2、t = 0.5 s时，质点的速度和加速

6、度时，质点的速度和加速度)3cos(12. 0tx整理ppt3、如果在某时刻质点位于、如果在某时刻质点位于x = -6 cm，且向，且向 x 轴负方向运动，轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。求从该位置回到平衡位置所需要的时间。(2) 设在某一时刻设在某一时刻 t1 x = - 0.06 m)3(cos12. 006. 01 t代入振动方程代入振动方程21)3(cos1 t 设在某一时刻设在某一时刻 t2 x = 00)3(cos2tstt132311 yx32stt61123322 sttt65161112 32 tst65 旋转矢量法确定时间旋转矢量法确定时间4.1.3 4.

7、1.3 简谐振动的动力学方程（特征）简谐振动的动力学方程（特征）一一. . 简谐振动的动力学方程简谐振动的动力学方程( (以水平弹簧振子为例以水平弹簧振子为例) )1. 受力特点受力特点: 线性恢复力线性恢复力 (F= -kx)2. 2. 动力学方程动力学方程22tdxdmmaF0222xtdxd mk 固有固有( (圆圆) )频率频率决定于系统内在性质决定于系统内在性质 x(t)=Acos( t+ )整理ppt0222xtdxd 由初始条件求振幅和相位由初始条件求振幅和相位 cos0Ax sin0Av22020 xA)(tg001x x(t)=Acos( t+ )整理ppt4.1.4.4.1

8、.4.简谐振动的能量简谐振动的能量( (以水平弹簧振子为例以水平弹簧振子为例) )(1)(1)动能动能221 mEk )(sin2122 tkA(2)(2)势能势能221kxEp )(cos2122 tkA(3) (3) 机械能机械能221kAEEEpk 简谐振动系统机械能守恒简谐振动系统机械能守恒整理ppt整理ppt演示程序演示程序整理ppt简谐振动的三种表示方法描述例例3 3： 质点振动方程为质点振动方程为)43cos(06. 0 tx（SI）X=X=？系统势能为总能量的一半？系统势能为总能量的一半？解：解：221kAE总总22212121kAkx22xA 0.0424m 例例4 垂直悬挂

9、的弹簧下端系一质量为垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m m的小球，弹簧伸长量为的小球，弹簧伸长量为b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程球作简谐振动，并写出振动方程. .b自然长度自然长度mgb0 x平衡位置平衡位置自然长度自然长度自然自然长度长度b平衡平衡位置位置x任意位置时小球所受到的合外力为：任意位置时小球所受到的合外力为：可见小球作谐振动。由可见小球作谐振动。由得：得：mg - kb = 0F = mg - k ( b + x ) = - kxmgF0Xbgmk mg自然自然长度长度b

10、平衡平衡位置位置xF0X)cos( tbgbx当当0,000vbxt得得,bA例例5：k=?k2(c)ll21k1k1、的关系的关系?k2k1(a)k2Fk2k1(b)k=?F例例5 5：k=?k1(a)k2F(a)11/kFx 22/kFx )/ 1/ 1 (2121kkFxxx21111kkxFkk2k1(b)k=?F(b)kxxkkFFF)(212121kkk结论结论串联串联21111kkk并联并联21kkk设给弹簧施力设给弹簧施力F11xkF 1111llxk11lk 22xkF 2222llxk22lk 2211lklkk2(c)l1k1k1、的关系的关系?k2l2xl材料应变材料应

11、变t = 0时时以及振动方程。以及振动方程。求：求： 例例 6 一谐振动的振动曲线如图所示。一谐振动的振动曲线如图所示。 0 xA0t2A00cos2 AAx 0sin00 Av30 A3 x解：解：t =1时时xAt2A01 x01 dtdxv21 011 t31 2 65 A3 xxA2 x = A cos ( 56t3)32AxAt =1t = 0本题本题 的另一种求法：的另一种求法：32 t 32 65 例例 7：有一：有一单摆单摆，长为，长为l=1.0m,小球质量为小球质量为m=10g,初始时该小球初始时该小球在摆角在摆角处，以角速度处，以角速度 00.2rad/s 向平衡位置运动。

12、试求：向平衡位置运动。试求：（1）、圆频率，频率，周）、圆频率，频率，周 期。期。（2）、角振幅和初相。）、角振幅和初相。（3）、写出小球的振动方程。）、写出小球的振动方程。mg+L转转动动正正方方向向解：由转动定律：解：由转动定律：2mLJJM mgLmgLMsin222dtdmLmgL 整理pptmmg+L转转动动正正方方向向222dtdmLmgL 022 Lgdtd0222 dtdLg )cos(max t113. 3)1(slg HzglT0 . 22 0)2(t cosmax0 sinmax0rad088. 0max rad23.2 radt)32. 213. 3cos(088. 0

13、)3( 整理ppt拓展问题-复摆振动周期同学们研究例例8. 8. 质量为质量为m m的比重计，放在密度为的比重计，放在密度为 的液体中。已知比的液体中。已知比重计圆管的直径为重计圆管的直径为d d。试证明，比重计推动后，在竖直方向的。试证明，比重计推动后，在竖直方向的振动为简谐振动。并计算周期。振动为简谐振动。并计算周期。解：解：取平衡位置为坐标原点取平衡位置为坐标原点平衡时：平衡时：0 Fmg浮力：浮力： VgF 其中其中V V 为比重计的排水体积为比重计的排水体积0mgF2222dtxdmgxdVmg xmgddtxd4222 2222dtxdmxdgVgmg 0 xxmgd 2 gmdT

14、 42 整理ppt例例 一台钟的等效摆长为一台钟的等效摆长为 l =0.995m，摆锤可以上下移动以调，摆锤可以上下移动以调节周期。该钟每天快节周期。该钟每天快1分分27秒，假设将此摆当作质量集中在秒，假设将此摆当作质量集中在摆锤中心的一个单摆来考虑，则应将摆锤向下移动多少距离摆锤中心的一个单摆来考虑，则应将摆锤向下移动多少距离才能使钟走得准确？才能使钟走得准确？解解：) 1 (gldldlglldT 一天一天2424小时摆动的次数为小时摆动的次数为)2(360024tdTT 由式（由式（1 1）、（）、（2 2）得）得mmttldl22 glT2T360024一天产生的总误差一天产生的总误差

15、4-2-1 4-2-1 简谐振动的合成简谐振动的合成一一. 两个同方向同频率的简谐振动的合成两个同方向同频率的简谐振动的合成x1=A1cos( t+ 1) )cos(11tAtAA cos)coscos(2211 )cos(212212221 AAAAx)cos(22 tAtAA sin)sinsin(2211 x2=A2cos( t+ 2)cos( tx = x1+ x2 x =A cos( t+ )合振动是简谐振动合振动是简谐振动)cos(212212221 AAAAA22112211coscossinsintg AAAA (1) (1) 若两分振动同相若两分振动同相则则 A=A1+A2

16、, 两分振动相互加强两分振动相互加强 k212(k=0,1,2,)整理ppt x =A cos( t+ )合振动是简谐振动合振动是简谐振动)cos(212212221 AAAAA22112211coscossinsintg AAAA (2) (2) 若两分振动反相若两分振动反相) 12 (12k则则A=|A1-A2|, 两分振动相互减弱两分振动相互减弱(k=0,1,2,)如如 A1=A2 , 则则 A=0旋转矢量法求合振动旋转矢量法求合振动x1=A1cos( t+ 1)1A2A1A2AA 2 1 X22112211coscossinsintg AAAA22sin A2211coscos AA)

17、cos(212212221 AAAAAx2=A2cos( t+ 2)11sin A二二. . 同方向同方向N N个同频率的简谐振动的合成个同频率的简谐振动的合成11cosAtax 22)cos(Atax NNANtax )1(cos AtAx )cos( 整理pptC )1(N N1A 2A3ANA2sin2 NRA 2sin2 Ra 2sin2sin NaA 21N)cos( tAx2 A R二二. . 同方向同方向N N个同频率的简谐振动的合成个同频率的简谐振动的合成例例9 . 两个同方向的简谐振动曲线两个同方向的简谐振动曲线(如图所示如图所示) 1、求合振动的振幅。、求合振动的振幅。2、

18、求合振动的振动方程。、求合振动的振动方程。解：解：T20cos11A22110cos22A2222x2A1AT)(1tx)(2txt1AA2A122()()2xAA costT2:由矢量图同学们练习同学们练习cmtx)410cos(0 .21 例例1010：三个同方向同频率的谐振动：三个同方向同频率的谐振动cmtx)210cos(0 .22 cmtx)4310cos(0 .23 试用旋转矢量法求合振动的方程试用旋转矢量法求合振动的方程1A2A3A4 解：三个对应的旋转矢量如图所示解：三个对应的旋转矢量如图所示cmA83.422222 2 cmtx)210cos(83.4 A ttAx)2cos

19、()2cos(21212 合振动不是简谐振动合振动不是简谐振动x = x1+ x2三三. . 同方向不同频率的简谐振动的合成同方向不同频率的简谐振动的合成 x1=Acos 1 t x2=Acos 2t整理ppt当当 2 1时时 2- 1 2+ 1其其中中tAtA)2cos(2)(12 )2cos(cos12tt 随缓变随缓变随快变随快变合振动可看作振幅缓变的简谐振动合振动可看作振幅缓变的简谐振动ttAx cos)( ttAx)2cos()2cos(21212 x = x1+ x2整理ppt合振动频率合振动频率振幅部分振幅部分ttAx22cos)22cos2(12121 合振动可看作振幅缓变的简

20、谐振动合振动可看作振幅缓变的简谐振动tAA22cos2121振幅振幅 1max2AA0min A2212 T 121T12拍频（振幅变化的频率）拍频（振幅变化的频率）整理ppt两个同方向不同频率简谐运动的合成两个同方向不同频率简谐运动的合成( (视频视频) )频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的合成，其频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍. .整理ppt拍现象视频拍现象视频例例11：第一音叉和第二音叉（：第一音叉和第二音叉（f2=438Hz)的标准音叉同时振动，的标准音叉同时振动，它们每秒产生它

21、们每秒产生2个拍频个拍频 。当第一个音叉的臂上涂了一层石腊时，。当第一个音叉的臂上涂了一层石腊时，拍频减少。试问第一个音叉的频率是多少？拍频减少。试问第一个音叉的频率是多少？321 拍拍 ,mmk211, ，拍拍Hz44021拍解解四四 垂直方向简谐振动的合成垂直方向简谐振动的合成* * *x=A1cos( t+ 1)y=A2cos( t+ 2)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAx合运动一般是一个椭圆，椭圆的性质在合运动一般是一个椭圆，椭圆的性质在 A1 、A2确定之确定之后后, 主要决定于主要决定于 = 2- 1 1 1、同频率简谐振动、同频率简谐振动合振动仍为谐

22、振动，振幅为合振动仍为谐振动，振幅为2AyA1x0)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAx0221222212 AyAxAyAx0)1(12 0221 AyAxxAAy12 2221AAA 整理ppt1222212 AyAxyx0r1A2A合运动一般是在合运动一般是在 2A1 ( x向向 )、2A2 ( y向向 ) 范围内范围内的一个椭圆的一个椭圆 椭圆的性质椭圆的性质 (方位、长短轴、左右旋方位、长短轴、左右旋 )在在 A1 、A2确确定之后定之后, 主要决定于主要决定于 = 2- 1 2)2(12（3）位相差位相差为不同值时的合成结果为不同值时的合成结果12整理p

23、pt用用旋旋转转矢矢量量描描绘绘振振动动合合成成图图整理ppt简简谐谐运运动动的的合合成成图图两两相相互互垂垂直直同同频频率率不不同同相相位位差差整理ppt整理ppt2 2 、 两相互垂直不同频率的简谐运动的合成两相互垂直不同频率的简谐运动的合成)cos(111tAx)cos(222tAynm212,83,4,8,0201测量振动频率和相位测量振动频率和相位李李 萨萨 如如 图图整理ppt李李 萨萨 如如 图演示图演示4-2-2 振动的分解* 一、一、 两个频率比为两个频率比为1:21:2的简谐运动的合成的简谐运动的合成 的特点的特点tAtAxxx 2coscos2121 x1x2xtTT2

24、如果将一系列角频率是如果将一系列角频率是某个基本角频率某个基本角频率（亦称主（亦称主频）的整数倍的简谐运动叠频）的整数倍的简谐运动叠加，则其合振动仍然是以加，则其合振动仍然是以为角频率的周期性振动，但为角频率的周期性振动，但一般不再是简谐运动。一般不再是简谐运动。 xtO一个以一个以为频率的周期性函数为频率的周期性函数 f (t)，可以用傅里叶级数的余弦可以用傅里叶级数的余弦项表示为：项表示为： 10)cos()(nnntnAAtf 主频主频nn 次谐频次谐频tOxttttOOOO二、二、傅里叶级数展开傅里叶级数展开x=11354A(sinsinsinttt+35.)=4Ak = 08(2k+

25、1)(2k+1)sintxtTA主频主频53xt11354Ax=(sinsinsinttt+35)合成后合成后整理ppt周期信号的频谱-分立谱锯齿波频谱 2/2/22/2/)(sin)sin()(TTTTndttndttntxA )( nA )sin()(tnAtxn 分立谱分立谱整理ppt一个非周期性振动可分解为无限多个频率连续变化的简谐振动一个非周期性振动可分解为无限多个频率连续变化的简谐振动四四 傅里叶变换傅里叶变换整理ppt矩形脉冲频谱分析矩形脉冲频谱分析整理ppt正弦脉冲串傅里叶变换正弦脉冲串傅里叶变换演示程序演示程序整理ppt4-3 阻尼振动、受迫振动和共振*4-3-1 阻尼振动

26、振动系统在回复力和阻力振动系统在回复力和阻力作用下发生的减幅振动作用下发生的减幅振动4-3-1 阻尼振动 振动系统在回复力和阻力振动系统在回复力和阻力作用下发生的减幅振动作用下发生的减幅振动txFdd v ：阻尼系数：阻尼系数 4-3 阻尼振动、受迫振动和共振*oxxrfkxf oxxrfkxf mmk2 ,20令令0dd2dd2022xtxtx0无阻尼时振子的固有频率无阻尼时振子的固有频率 阻尼因子阻尼因子txkxtxmdddd22动力学方程动力学方程4-3-1阻尼振动 整理ppt阻尼振动方程解讨论22振幅随时间按指数规律迅速减少。阻尼越大，减幅越振幅随时间按指数规律迅速减少。阻尼越大，减幅

27、越迅速。振动周期大于自由振动周期振幅迅速。振动周期大于自由振动周期振幅 tAexot22cos方程解方程解costAet振动特点振动特点22 o tAexot22costOxAA202 振动曲线振动曲线22是质点不作往复运动的是质点不作往复运动的一个极限一个极限2222从最大位移缓慢回到平衡从最大位移缓慢回到平衡位置，不作往复运动。位置，不作往复运动。阻尼振动方程解讨论0dd2dd2022xtxtx3.3.临界阻尼临界阻尼时时a：小阻尼：小阻尼b：过阻尼：过阻尼c：临界阻尼：临界阻尼处于临界阻尼这种状态物体从运动到静止所需的时间是处于临界阻尼这种状态物体从运动到静止所需的时间是最短的。在灵敏电

28、流计等精密仪表中，为了使人们能较最短的。在灵敏电流计等精密仪表中，为了使人们能较快地进行读数测量，常使电流计偏转系统处于临界阻尼快地进行读数测量，常使电流计偏转系统处于临界阻尼状态下工作。状态下工作。临界阻尼临界阻尼的应用的应用整理ppt例例 . . 一物体悬挂在弹簧下作阻尼振动。开始时其振幅为一物体悬挂在弹簧下作阻尼振动。开始时其振幅为120 mm120 mm，经过经过2.42.4分钟后，振幅减为分钟后，振幅减为60 mm60 mm。问：阻尼系数为多少？。问：阻尼系数为多少？解：解：阻尼振动方程阻尼振动方程 tAextcostoeAA AAeot tAAoln 131081. 4604 .

29、260120ln s整理ppt4-3-2 受迫振动和共振*oxx4-3-2 受迫振动和共振*系统在周期性的外力持续系统在周期性的外力持续作用下所发生的振动。作用下所发生的振动。1. 1. 受迫振动受迫振动设设：tFFcos0rfkxf FtFtxkxtxm cosdddd022 mFfmmk0020,2, 令tfxtxtx cosdd2dd02022 tAtAxtcoscose02200方程的解方程的解动力学方程动力学方程4-3-2 受迫振动和共振*稳定后的振动表达式稳定后的振动表达式tAxcos受迫振动的频率与策动力的频率相等受迫振动的频率与策动力的频率相等受迫振动的振幅受迫振动的振幅22222004fA受迫振动的初相位受迫振动的初相位2202arctg结论：稳态响应的振幅结论：稳态响应的振幅, ,初相位与外力初相位与外力频率有关频率有关4-3-2 受迫振动和共振*共振：当策动力的频率为某一特定值时，受迫振动的振幅共振：当策动力的频率为某一特定值时，受迫振动的振幅将达到极大值的现象。将达到极大值的现象。2. 2. 共振共振 042222200 fAdddd共振频率共振频率220r2 2200r2 fA共振振幅共振振幅0