二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题

1、一、 f(x)Pm(x)ex型二、f(x)exPl(x)coswx+Pn(x)sinwx型12.9 二阶常系数非齐次线性微分方程上页下页铃结束返回首页 方程y+py+qyf(x)称为二阶常系数非齐次线性微分方程 其中p、q是常数 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解yY(x)与非齐次方程本身的一个特解yy*(x)之和 yY(x)+y*(x) 上页下页铃结束返回首页提示 Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)exQ(x)+2Q(x)+2Q(x)ex+pQ(x)+Q(x)ex+qQ(x)ex一、 f(x)Pm(x)ex 型y*Q(x)ex 设方程y+py+qyPm

2、(x)ex 特解形式为 下页Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ()则得 Q(x)ex+Q(x)ex+qQ(x)ex y*+py*+qy* 上页下页铃结束返回首页提示 此时2+p+q0 要使()式成立 Q(x)应设为m次多项式 Qm(x)b0 xm+b1xm1+ +bm1x+bm (1)如果不是特征方程r2+pr+q0的根 则 y*Qm(x)ex 下页一、 f(x)Pm(x)ex 型y*Q(x)ex 设方程y+py+qyPm(x)ex 特解形式为 Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ()则得 上页下页铃结束返回首页提示 此时2+p+q0

3、但2+p0 要使()式成立 Q(x)应设为m+1次多项式 Q(x)xQm(x) 其中Qm(x)b0 xm +b1xm1+ +bm1x+bm (2)如果是特征方程r2+pr+q0的单根 则y*xQm(x)ex 下页 (1)如果不是特征方程r2+pr+q0的根 则 y*Qm(x)ex 一、 f(x)Pm(x)ex 型y*Q(x)ex 设方程y+py+qyPm(x)ex 特解形式为 Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ()则得 上页下页铃结束返回首页提示 此时2+p+q0 2+p0 要使()式成立 Q(x)应设为m+2次多项式 Q(x)x2Qm(x) 其中Qm(x)b0

4、xm+b1xm1+ +bm1x+bm (3)如果是特征方程r2+pr+q0的重根 则y*x2Qm(x)ex 下页 (2)如果是特征方程r2+pr+q0的单根 则y*xQm(x)ex (1)如果不是特征方程r2+pr+q0的根 则 y*Qm(x)ex 一、 f(x)Pm(x)ex 型y*Q(x)ex 设方程y+py+qyPm(x)ex 特解形式为 Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ()则得 上页下页铃结束返回首页v结论 二阶常系数非齐次线性微分方程y+py+qyPm(x)ex有形如y*xkQm(x)ex的特解 其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式 而k按不是特征

5、方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2 下页上页下页铃结束返回首页提示 因为f(x)Pm(x)ex3x+1 0不是特征方程的根 所以非齐次方程的特解应设为 y*b0 x+b1 把它代入所给方程 得 例1 求微分方程y2y3y3x+1的一个特解 解 齐次方程y2y3y0的特征方程为r22r30 比较两端 x 同次幂的系数 得 b01 因此所给方程的特解为31*+ xy b0 x+b12b0 x+b13b0 x+b13b0 x2b03b1 2b03b0 x3b1 3b0 x2b03b13x+1 提示 3b03 2b03b11 x 同次幂的系数 得 b01 311b 特解形

6、式上页下页铃结束返回首页 例2 求微分方程y5y+6yxe2x的通解 解 齐次方程y5y+6y0的特征方程为r25r +60 其根为r12 r23 提示齐次方程y5y+6y0的通解为YC1e2x+C2e3x 因为f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根 所以非齐次方程的特解应设为 y*x(b0 x+b1)e2x 把它代入所给方程 得 2b0 x+2b0b1x 比较系数 得 b11 故xexxy2) 121(* 系数 得210b b11 故提示 2b01 2b0b10 特解形式上页下页铃结束返回首页首页 例2 求微分方程y5y+6yxe2x的通解 解 齐次方程y5y+6y0的特征方程为

7、r25r +60 其根为r12 r23 2b0 x+2b0b1x 比较系数 得210b b11 故 b11 故xexxy2) 121(* 因此所给方程的通解为 xxxexxeCeCy223221)2(21+ 因为f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根 所以非齐次方程的特解应设为 y*x(b0 x+b1)e2x 把它代入所给方程 得特解形式上页下页铃结束返回首页 二阶常系数非齐次线性微分方程 y+py+qyexPl(x)coswx+Pn(x)sinwx有形如 y*xkexR(1)m(x)coswx+R(2)m(x)sinwx的特解 其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式 mmaxl n 而k按+iw(或iw)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1 二、f(x)exPl(x)coswx+Pn(x)sinwx型下页 v结论 上页下页铃结束返回首页 解 结束特解形式 例3 求微分方程y+yxcos2x的一个特解 因为f(x)exPl(x)coswx+Pn(x)sinwxxcos2x +iw2i不是特征方程的根 所以所给方程的特解应设为齐次方程y+y0的特征方程为r2+10 把它代入所给方程 得