异面直线及其所成的角

1、异面直线及其所成的角1. 掌握空间两直线的位置关系，掌握异面直线的概念，会用反证法和异面直线的 判定定理证明两直线异面.2. 掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角.教学重点、难点：异面直线的概念、判定及计算它们所成的角.教学过程：、复习1. 公理4及等角定理.2. 同一平面内两直线的位置关系，观察空间两直线的位置关系.二、新课讲解1. 异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线.2. 异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线I AB与I是异面直线.推理模式：A ,B ,l ,B 证明：假设直线AB

2、与I共面，- B ,l ,B I ,点B和I确定的平面为直线AB与I共面于 ， A ，与A 矛盾， 所以，AB与I是异面直线.3. 异面直线的画法:例1.如图，已知不共面的直线 a,b,c相交于0点，M,P是直线a上的两点，N,Q分别是 b, c上的一点.求证：MN和PQ是异面直线.证（法一）：假设MN和PQ不是异面直线，则 MN与PQ在同一平面内，设为， a/ N b同理c 与已知a/ M , P a,M ,P ,，又 o a，二 o ,O b, N b , a,b,c共面于 b,c不共面相矛盾，所以，MN和PQ是异面直线。（法二）： ale O ,直线a,c确定一平面设为， P a,Q c

3、， P ,Q , PQ 且 M ,M PQ , 又a, b,c不共面，N b , N所以，MN与PQ为异面直线.4 异面直线所成的角：已知两条异面直线 a,b，经过空间任一点 0作直线a / a,b b ,所成的角的大小与 点0的选择无关，把a,b所成的锐角（或直角）叫异面直线a,b所成的角（或夹角）5.异面直线垂直： 如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直.记作a b.例2.正方体ABCD ABCD中.（1）那些棱所在的直线与直线 BA是异面直线？（2）求BA与CC夹角的度数.（3）那些棱所在的直线与直线 AA垂直？ 由异面直线的判定方法可知， 与直线BA成异面直线的有 直线

4、BC ,AD,CC ,DD , DC,D C , 由BB /CC，可知 B BA等于异面 直线BA与CC的夹角， 所以异面直线BA与CC的夹角为45°.两条异面直线a,b垂直，(2)说明：为了简便，点 0通常取在异面直线的一条上.(3)直线 AB, BC,CD,DA,A B ,BC ,C D ,D A 与直线 AA 都垂直.EF例3.空间四边形 ABCD中，AD BC 2 , E,F分别是AB, CD的中点, 求异面直线AD, BC所成的角.解：取BD中点G，连结EG, FG, EF E, F分别是 AB,CD的中点，11 EG/ AD, FG/ BC,且 EG AD 1,FG 1

5、BC22异面直线 AD,BC所成的角即为EG,FG所成的角，EG2 FG2 EF21在 EGF 中，cos EGF2EG FG2EGF是钝角时，表示 EGF 120°，异面直线 AD,BC所成的角为60°.说明：异面直线所成的角是锐角或直角，当三角形 EGF内角异面直线AD,BC所成的角是它的补角.三、本课小结1.异面直线的概念、判断及异面直线夹角的概念.；求异面直线的夹角的一般2证明两直线异面的一般方法是“反证法”或“判定定理”步骤是：“作证算答” 四、作业补充1. 已知平面 ,相交于直线a，直线b在 内与直线a相交于A点，直线c在平面 内，且 c / a ，求证： b, c 是异面直线2. 空间四边形 ABCD 中，对角线 AC 8 ， BD 6 ， M , N 分别为 AB ,CD 的中点， 且 MN 5 ，求异面直线 AC, BD 所成的角.3