2021概率统计全考点精讲第七讲参数估计

1、概率统计全考点精讲张 卫第七讲参数估计【考试要求】1.（数一理解；数三了解）参数的点估计、估计量与估计值的概念.2.掌握矩估计法（一阶矩、）和最大似然估计法.3.（仅数一，2009 年之后数学三不再考察）了解估计量的无偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并会验证估计量的无偏性.4 （仅数一）理解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间.考点：点估计、矩估计法与最大似然估计法1. 点估计n 是来自总体 X 的样本，相应的样本值为设n ，点估计的问题就是构造适当的统计量q(n ) ，用它的观察值q(n ) 为q 的估计量，称

2、q(n ) 来参数q .称q(n ) 为q 的估估计值.2. 矩估计法（1）矩估计法的思想：用样本矩（原点矩或中心矩）代替相应的总体矩 样本矩（原点矩或中心矩）的函数代替相应的总体矩的同一函数而求得未知参数的一种估计【注】矩估计法的理论依据是：大数定律.（2）矩估计法的求解步骤称为矩估计法.求总体矩；（若有k 个未知参数，则求前k 阶原点矩或中心矩）列矩估计方程（或方程组）；解上述方程（或方程组），求出矩估计量；若有样本观察值，代入求得矩估计值.【例 1】 设总体 X 的分布律为XP0q 212q (1-q )2q 231- 2q其中q æ0 < q < 1 ö

3、 是未知参数，利用总体 X 的如下样本值 3,1,3,0,3,1,2,3，求q 的矩估ç2 ÷èø计值.1概率统计全考点精讲张 卫n 是来自总体 X 的简单随机样本， X 的概率密度函数【例 2】 设ì2q 2为 f (x;q ) = ï, x > q ，其中q > 0参数，求q 的矩估计量.íx3ïî0, else3. 最大似然估计法（1）最大似然估计法若有q(n;q ) 达到最大值，则称n ) ，使得 L(q(n ) 为q 的最大似然估计值，而相应的统计量q(n ) 称为参数q 的最大似然

4、估计量【注】最大似然估计法的思想：从q 可能的取值范围Q 内选取q 使得样本n 取得观测值n 的概率达到最大.（2）似然函数n 是来自总体 X 的样本，设n 是相应于样本n 的观察值.= x = p(x;q ) ，q ÎQ ，q当总体 X 为离散型随量时，其分布律 PXnn ;q ) = Õ p(xi ;q ) ，q ÎQ .i=是未知参数.似然函数 L(q )L(量，其概率密度为 f (x;q ) ，q ÎQ ，q 是未知参当总体 X 为连续型随nn ;q ) = Õ f (xi ;q ) ，q ÎQ .数.似然函数 L(q )L(

5、i=1（3）最大似然估计法的求解步骤写出似然函数；取对数得对数似然函数；求导（求偏导），得似然方程；求解上述方程（方程组），求得驻点.若驻点且唯一，则为最大似然估计值；若驻点不，则最值点在边界点上取得，此时可直接由定义求得.2概率统计全考点精讲张 卫【注】最大似然估计的不变性：设q是总体分布中的未知参数q 的最大似然估计.设总体 X【例 3】的分布律为XP0q 212q (1-q )2q 231- 2qæ1 ö0 < q <其中q是未知参数，利用总体 X 的如下样本值 3,1,3,0,3,1,2,3，求q 的最ç2 ÷èø

6、大似然估计值.ìï(q +1) xq ,0 < x < 1的概率密度为 f ( x) = í，其中q > -1【例 4】 设总体 Xïî0,其他n 是来自总体 X 的一个容量为n 的简单随机样本，求q是未知参数，的最大似然估计量.3计，函数u = u (q ) 具有单值反函数q = q (u ) ，则u = u(q)是u (q ) 的最大似然估概率统计全考点精讲张 卫考点：估计量的评选标准（仅数一）1. 无偏性n ) 为q 的估计量，若 E(q) = q ，则称q 为q 的无偏估计.设q =(2. 有效性（最小方差性）设q =

7、 () ，q = () 都是q 的无偏估计，若满足11n22nq ) £ D(q ) 且不恒等，则称q 比q 有效.D(12123 相合性（一致性）设q =(n ) 为q 的估计量，若对任意e > 0 ，有lim P| q -q |< e = 1，则称q 为q 的相合估计量（或一致估计量）.n®¥n 是来自正态总体 N (m,s ) 的一个简单随机样本，2【例 1】 设n-1求常数c ，使得cå( Xi=1)2 为s 2 的无偏估计.- Xi+1i4概率统计全考点精讲张 卫考点：区间估计（仅数一）1. 区间估计的定义设q 为总体 X 分布中的

8、未知参数，n 是来自总体 X 的样本，对给定的a (0 < a < 1) ，若统计量q = () 和q = ()11n22n(q < q ) 满足 Pq < q < q = 1-a ，则称(q ,q ) 为q 的置信水平为1-a 的置信121212区间，q 和q 分别称为置信水平为1-a 的双侧置信区间的置信下限和置信上限，121-a 称为置信水平（或置信度）.2. 单个正态总体均值与方差的置信区间设已给定置信水平为1-a ，n 为来自总体 X N (m,s ) 的简单2随机样本， X ， S 2 分别是样本均值和样本方差.（1）均值 m 的置信区间æ&

9、#246;snsn s 已知，m 的置信水平为1-a 的置信区间为 X -u , X +2u.ça ÷a2è2 ø s 2 未知， m 的置信水平为1-a 的置信区间为æX -öSnSt (n -1), X +t (n -1) .çè÷a2a2nø（2）方差s 2 的置信区间 m 已知，s 2 的置信水平为1-a 的置信区间为æ2 önnç å( Xi - m )å( Xi - m )2÷ç i=1, i=1÷ .c

10、 (n)c 22ç(n)÷a21-a2ç÷èø5概率统计全考点精讲张 卫æöç (n -1)S 2(n -1)S 2÷ m 未知，s 2 的置信水平为1-a 的置信区间为,.ç(n -1) ÷c (n -1)c 22ç÷a1-aè2ø23. 两个正态总体均值差与方差比的置信区间（从未考过）【例 1】 设由来自正态总体 X N (m, 0.92 ) 容量为9 的简单随机样本，得样本均值 x = 5 ，则未知参数m 的置信度为0.95的置信区间是 （ u0 025 = 1.96 ）【例 2】 设总体 X N (m,s 2 )，其中s 2 未知，s2 = 1 ån(X- X )2 ，样本in -1i=1容量为n ，则参数m 的置信度为1-a 的置信区间为（）æösnsnt (n)t (n)（A） ç X -è÷øö, X +a2a2æsnsn()()（B） ç