杨辉三角课堂实录

1、杨辉三角课堂实录金华市芙蓉外国语学校虞寅铷前言：杨辉三角是现行高中数学教材中少见的数学历史材料之一,它不仅记载了一些中外数学家们一段美好而又动听的故事,而且还科学地揭示了二项展开式的二项式系数的构成规律，更具有许多奇妙的性质因此，杨辉三角是不可多得的集思想性、科学性、知识性、趣味性于一体的珍贵的历史材料为了充分发挥杨辉三角的教育功能，我指导了学生对杨辉三角的研究，将杨辉三角这一知识点由传统的灌输式教学变为研究型课题，现将研究的过程、成果及体会分述如下：1学生研究前提利用刚开始上课（约10分钟），向学生简介杨辉三角，并在PPT上放上研究提纲，研究方向性问题11杨辉三角简介杨辉三角因最早出现在我国

2、宋朝数学家杨辉1261年所著的详解九章算法的附录中而被称为“杨辉三角”其实，在11世纪中叶，我国北宋数学家贾宪就著就了皇帝九章算法细草一书，可惜这部书早已失传了但该书部分内容（包括杨辉三角）因被收入详解九章算法一书而幸存西方把杨辉三角称为“帕斯卡三角”，这是因为“帕斯卡三角”在西方最早出现在法国数学家帕斯卡1665年出版的算术三角的著作中，这要比贾宪晚400年左右近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”。12杨辉三角的研究提纲 （1）阅读课本相应的章节（2）请参考高中代数（下册）第248页的图，研究杨辉三角中的数字与组合数是否有关系？有怎样的关系?（3）在杨辉三角

3、中，如图1，一些直线连接的数字分别构成了一些数列，请研究这些数列的性质例如，杨辉三角是一个“等腰三角形”，左腰上的数字构成了常数列1，1，1，1；平行于左腰的直线上的数字依次构成等差数列1，2，3，4，；二阶等差数列（其一阶差分数列是等差数列）1，3，6，10，；三阶等差数列（其二阶差分数列是等差数列）1，4，10，20，； (4)从“形”上研究杨辉三角的性质，例如奇数的分布，偶数的分布，最大数的项的位置等等（5）研究杨辉三角其它方面的性质13研究活动的具体分配安排（1）自愿为原则，全班组成5个研究小组，每组8人，并推选一名组长,负责组织本组的研究及研究成果的整理（2）对于研究的成果，要进行严

4、格的证明，如果是摘录的结论，请注明出处（3）20分钟后进行交流，各研究小组分别委派一名代表公布研究成果2研究成果（如图2） （图1 ） （图2） 结果不到15分钟，大家都得到各自的研究结果，绝大多数组得到的成果：21杨辉三角的数字构成规律是，每行两相邻数字的和等于它们共同对应的下行的数字（如图中），这条性质可由得证22横行（如14641）与首末两端“等距离”的两个数字相等，这条性质就是二项式系数的性质123第n行（如14641）的所有数字之和为2，这条性质可由组合数的性质得证24当n为奇数时,第n行有奇数项,中间一项最大;当n为偶数时,第n行有偶数项,中间两项相等且最大这条性质就是二项式系数的

5、性质2基本上的同学都只会根据问题来寻找答案的方法来探索，于是我又问那么第n行的平方和呢？25第n行的平方和等于（如1+4+6+4+1=70= ）,这条性质可由恒等式得证我又问平行于杨辉三角的腰的直线呢？同学通过计算大声的告诉我平行于杨辉三角的腰的直线（包括腰所在的直线）上各个数字之和等于末项的下一行偏向中央的第一项，那么我们再到二项式里找找如何证明呢？26平行于杨辉三角的腰的直线（包括腰所在的直线）上各个数字之和等于末项的下一行偏向中央的第一项（如图3中1+2+3+4+5+6=21, 1+3+6+10+15=35）,可由恒等式得证我问还有什么呢？大家露出疑惑的神情，我让大家把课本翻到课后的阅读

6、材料斐波那契数列。27英国的SMP英国中学数学教科书中，把帕斯卡三角（即杨辉三角）改写成直角三角形的形式，并将每一条斜线上的数字分别相加，得到数列1,1,3,5,8,13,21，此数列是著名的斐波那契数列3课后反思通过本节课的教学实践，认识到多一点精心设计，就能融一份直观生成，体会到什么是由“关注知识”转向“关注学生”.在教学过程中，注意到了由“给出知识”转向“引起活动”，由“完成教学任务”转向“促进学生发展”，学生成为课堂上的真正主人.开展数学体验，丰富学习方式，师生会有共同的、积极的情感体验.成功之处：教学设计独到而又新颖，打破常规，不走寻常路，通过三步探究实现本节课的教学目标，突出以学生

7、为主体，教师以引导者的身份参与其中，积极调动学生思考问题，课堂气氛活跃，学生乐于掌握接受知识改进之处：可以在提纲中多提些问题，或者多一些奖励因素能更多的提高起积极性，能自主的发现后面几天性质。4.教学点评4.1. 教学目标完全符合学生“认识规律”，以递进的形式呈现：观察分析、归纳猜想、抽象概括，提炼上升；特殊一般特殊到一般，课堂实践表明，这些目标，在师生共同努力及合作下是完全可以达到的.4.2把课堂还给学生，一直是课改的大方向，也是新课标的原动力之一. 还给学生什么呢？教师作了很好的诠释：一是给“问题”，当然问题有预设的，也有生成的，符合从学生“思维最近发展区”出发这一根本教学原则.二是给“时

8、间”，这体现了教师的先进教学理念，不为完成任务所累，不为主宰课堂所困.三是给“机会”，让学生展示自主探索，合作交流的成果，极大地保护和激发了学生学习的热情和积极性，参与程度和激情得到了空前的提高.4.3知识点全部由学生总结后未能及时回归课本，应该适当增加些练习题，使得学生对自己总结的性质有更好的应用。课 题1.3.2杨辉三角教 学目 标知识与技能1 、通过课前组织学生开展“了解杨辉三角、探究与发现杨辉三角包含的规律”的学习活动，让学生感受我国古代数学成就及其数学美，激发学生的民族自豪感.2 、通过学习小组的合作交流，让学生自己去探讨杨辉三角中行、列的数字的特点，发现杨辉三角的有关的性质，及应用

9、。 过程与方法 通过讨论，培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，体验“发现”的乐趣；同时课后做好自我评价情 感态 度与价值观培养学生学习数学的乐趣，激发学生的爱国热情；在交流中培养学生的协作能力，形成探究知识、建构知识的研究型学习习惯及合作化学习的团队精神，为进一步学习作好准备.重 点理解杨辉三角的意义，掌握二项式系数的性质并会应用。难 点二项式系数性质的应用。方 法手 段网络教学方法和合作性的学习方法及引导式，多媒体课堂教学板书设计 杨辉三角一 二项式系数性质 二 例题讲解 三 课后思考 1 23 4 设计过程设计意图主要教学步骤1 感悟数学史（网络moodle）展示网络作业“了解杨辉

10、三角、探究与发现杨辉三角包含的规律”的结果，并让学生谈谈自己在做作业时对我国古代数学成就及其数学美，激发学生的民族自豪感，激发学生的学习欲望。2分组探究，解决网络作业（利用学案分组讨论）通过体验“发现规律、寻找联系、探究证明”的合作学习过程，使学生发现二项式系数的一些性质（1）每一行的两端都是1，其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即 .（2）每一行中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即 .（3）如果二项式的幂指数是偶数时，展开式中间一项 的二项式系数最大；当是奇数时，展开式中间两项， 与 的二项式系数相等且最大.（4）各二项式系数和= . 赋值法：转化法：集合论3例题引导，互动解决（板演） 例1、已知 ( x2 -1)n 展开式的各项二项式系数和等于1024，求展开式中含x6 的项。 例2、已知二项式 ( a + b )15 比较T3， T7 ， T12 ， T13各项系数大小，并说明理由。例3：求（1-x)9的展开式中二项式系数最大的系数最大的项 4课堂总结，应用实际（语言）（1） 二项式系数的四个性质。（2） 数学思想：转化思想。（3） 数学方法 ： 归纳法、赋值法 、转化法5分，利用课余时间进行网络预习和复习有效的提高了课堂的效率，通过对数学史的阅读，感悟数学魅力20分对网络作业的问题进行合作分析，采取分组讨论、交流展示