与二次曲线有关的问题 1

1、再论二次曲线哈尔滨市第一中学 张兵 注：本文是根据作者大学时的解题研究笔记加工整理得到的，感谢我的恩师-陈建业老师。平面解析几何（必修）教材P64例3给出了“已知圆的方程，求经过圆上一点的切线的方程。”本文从求经过二次曲线上一点的切线方程入手，对二次曲线的切线问题作进一步探讨。问题一：求过二次曲线上一点的曲线的切线方程例1：设是椭圆上的点，求过P点的切线方程。解 ：设过P点的切线方程为L:，则关于x,y的方程组有唯一一组解，把代入椭圆方程，得整理得： 其判别式为 即 (1)由在曲线上，有代入(1)式解得：代入直线L:得：故所求得的切线方程为例2：设是曲线上的点，求过P点的切线方程。解：设过P点

2、的切线L的方程为：由L与曲线相切，代入曲线方程：整理成x的一元二次方程：其判别式为即 (2)由在曲线上，有， 代入(2)得：代入切线方程得为所求的切线方程一般地，用同样的方法可求如下问题：是曲线 上的点，则过p点的切线方程为 上述结果的证明，最简单的方法是利用导数，这里略去。注意：（1）如果p（x0，y0）在二次曲线上，求过P点的切线方程，其规律是： ， ， 其余不变。（2）与二次曲线只有一个公共点的直线不一定是二次曲线的切线，如抛物线的对称轴与抛物线只有一个公共点，但对称轴不是抛物线的切线。尽管这样，在求二次曲线的切线时，仍可使用设切线方程为y=kx+b代入二次曲线，令其判别式为零这种方法。

3、（3）使用前面结论时必须有P点在此二次曲线上。问题二：过曲线外一点作曲线的两条切线，求两个切点所在的割线方程例3：设是椭圆外一点，过P引曲线的两条切线PA，PB，其中A，B是两个切点，求过A，B的直线方程。分析： P点在曲线外，不能由前面结论直接写出切线方程，如果用设切线y=kx+b，与相联立，由判别式=0可求k，再确定切点A，B，最后可由A，B确定直线AB的方程，虽然可以解决问题，但很麻烦。能否不求A，B两点的坐标而直接确定AB的方程呢？完全可以，下面给出具体的方法。解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由A，B是切点，有A，B在曲线上过A，B的切线方程可设为：L1：L2：由题设，L1

4、，L2相交于点P，有且因而A（x1，y1），B（x2，y2）在定直线 （3）上。直线（3）为所求的直线方程。上面问题的解，是通过曲线的切线的形式确定一条直线 ，使A、B两点都在这条定直线上，就有过A，B两点的直线方程就是所求的直线方程，另一方面，不难看出，在曲线外，直线就不是曲线的切线，而是由P点引两条切线的两个切点所确定的割线方程。应用上面的方法，可求一切二次曲线外的点P向二次曲线引切线，二切点所确定的割线方程。例4：是二次曲线外的一点，过P引二次曲线的两条切线，A，B是切点，求A，B所在的直线方程。解：设A（x1，y1），B（x2，y2）由A，B是切点，有A，B在曲线上。过A，B的切线方程

5、分别为：L1：L2：由题设，L1与 L2相交于P，所以有A（x1，y2），B（x1，y2）在定直线： （4）上，直线（4）为所求的过A，B两点的直线方程。至此，我们得到，若点在曲线上，则直线为过P的切线方程；若点在曲线外，则直线为过P点所引的曲线的两条切线确定的两个切点所在的割线方程。问题三：某直线与二次曲线相交，过两交点分别作切线，求切线的焦点坐标。例5：若直线mx+ny+r=0交曲线于A，B，过A，B分别作曲线的切线，两条切线相交于P点，求P点的坐标。解：设两条切线交点则由引曲线的两条切线，切点A，B，所在的直线方程为由题设，在直线mx+ny+r=0上。二直线为同一条，有解得：点的坐标为(

6、)上面所求的问题实际上是前一个问题的反用。由上面的解法不难求出下面问题的解。若直线mx+ny+r=0交二次曲线于，过，分别引二次曲线的切线，求二切线交点的坐标。（解法略去）前面介绍了点在二次曲线上，如何确定过点的切线方程及应用，综合在一起，就是下面问题的由来及解答。设点在二次曲线外，由引曲线的切线，求由两个切点确定的割线方程；反之若直线mx+ny+r=与二次曲线相交，求过两个交点的切线相交的交点坐标。问题四：直线y=kx+m与二次曲线相切的条件。例6：证明：某直线y=kx+m与椭圆相切的充分必要条件为证明：把直线方程代入曲线方程，得：整理，得：即直线y=kx+m与椭圆相切的必要条件是。从证明过

7、程中可以看出，这个条件也是充分的。直线y=kx+m与椭圆相切的充要条件是仿此，可得下面结论。 直线y=kx+m与双曲线相切的充要条件是直线y=kx+m与双曲线相切的充要条件是直线y=kx+m抛物线相切的充要条件是问题五：相切条件的应用例7：设是椭圆外的一点，由P引曲线的两条切线，求切线方程及两条切线的夹角。解：设过P的切线方程为：即：由相切的充要条件知：整理，得： （5）则 与x=x0若则解方程得所求的二切线方程为再由（5）得：例8：由椭圆外一点P引曲线二切线，若二切线夹角为，求点P的轨迹。解：设点P（X，Y），过P的切线方程为:y-Y=k（x-X）由相切条件，有整理得若，则若，由，可知例9：

8、是椭圆外一点，且过P点引二切线，求切线方程。解：令原命题可变为：由引的切线，求切线方程。由前面的例题结果可知，所求的切线方程为： （6）把代回（6），有即为所求的切线方程上面例题的提出，实际上是这样一个问题，由前面介绍的方法，对外任意一点P，可求由P点到曲线的切线方程，对中心不在原点的椭圆，由前面所介绍的方法能否求得切线方程？通过这个例题可以看出，完全可以，只要用坐标平移的方法，可把化为相应的变为就可求得新坐标下的切线方程，再化回旧坐标下的方程即为所求的切线方程，现在对比一下由p（x0，y0）向与二曲线引的切线方程。的切线方程的切线方程是：不难看出，求的切线方程，只要把的切线方程中的斜率里的换成，换成，就变为的切线方程。不但求切线方程如此，而且求二切线的夹角，求二切线的夹角为定值的点的轨迹也完全一样，不但对椭圆方程是这样，求双曲线，抛物线的切线方