大学数学函数的极限

1、 类似于数列极限，如果在自变量的某个变化过程中，对类似于数列极限，如果在自变量的某个变化过程中，对应的应的函数值可以函数值可以无限接近于某个无限接近于某个确定的常数确定的常数，那么这个确定，那么这个确定的常数就叫做函数在该变化过程中的的常数就叫做函数在该变化过程中的极限。极限。1lim0nn 1lim0 xx 1lim0 xx 1lim0 xx 对于数列极限对于数列极限故故很自然地很自然地1lim (1)2xx20lim (1)xx1函数的极限又如：当又如：当1x 时，时，12x ，记作，记作相似地相似地Axfxx )(lim0 或或)()(0 xxAxf定义定义1 1 设函数设函数f( (x

2、) )在点在点x0 0的某一去心邻域内有定义，如果存的某一去心邻域内有定义，如果存在常数在常数A , ,对于任意给定的正数对于任意给定的正数（不论它多么小），总存（不论它多么小），总存在正数在正数, ,使得当使得当x 满足不等式满足不等式0|0|xx0 0|时，对应的函数时，对应的函数值值f( (x) )都满足不等式，都满足不等式，| | f( (x) )A|X时，对应的函数值时，对应的函数值f( (x) )都满足不等式都满足不等式 | |f( (x) )A|, |, 那么常数那么常数A就叫做函数就叫做函数f( (x) )当当x时的极限时的极限lim( )0,0,( )xf xAXxXf xA

3、 时即即 的方式有两种可能：的方式有两种可能： （ 且无限增大）且无限增大） xx0 xAxfx )(lim（ 且无限增大）且无限增大） x0 xAxfx )(lim注注 AxfAxfxx )(lim)(limAxfx )(lim且且)(limxfx )(limxfx)(limxfx若若 或或 不存在不存在,则则 不存在不存在.若若 , 则则 不存在不存在.)(lim)(limxfxfxx )(limxfx 几何意义几何意义yxOAA-XXA如果函数如果函数f(x)当当x时极限为时极限为A，以，以任意给定一正数任意给定一正数, ,作两条平行于作两条平行于x轴的直线轴的直线y=A-和和y=A+,

4、 ,则则总存在总存在一个正数一个正数X，使得当，使得当xX时，时，函数函数y=f(x)的图形的图形位于位于这两条直线这两条直线之间之间. .lim arctanxx lim arctanxx lim arctanxx 不 存 在yx22oy=arctan x观察观察 y = arctan x 的图像的图像22从图像容易看出结果从图像容易看出结果1limxx 1limxx xyoy=1/x001lim0 xx 所以所以yxoxya01ayxoxya1a limxxa lim0 xxalim0 xxalimxxa 考虑函数考虑函数 f (x) = ax , 分分 a1, 0a1两种情形下，两种情形

5、下，分别求分别求 x +, x ， x 时时 f (x)的极限。的极限。1a 01a所以，所以，101aa或时，都不存在。都不存在。limxxa21lim(2)xxlim cosxx02lim tanxx11lim1xx10limxxe10limxxe1lim()2xx1不 存 在002limxx02lim tanxx211lim1xxx2函数极限的性质唯一性唯一性函数函数f( (x) )当当xx0 0时极限存在，则极限必唯一时极限存在，则极限必唯一. .局部有界性局部有界性如果如果lim( )xaf x存在，则函数存在，则函数 在点在点 的的某个去心邻域内某个去心邻域内有界。有界。( )f

6、x0 x局部保号性局部保号性0lim( )xxf xA设设0A0A00(, )xUx 0)(xf( )0f x （1）若）若（或（或 ），则，则，使得，使得有有（或（或 ）0(, )xUx 0)(xf0)(xf0 ( 0 )AA或0 x（2）若存在点）若存在点的去心的去心 邻域，使得邻域，使得，有，有（或（或 ），则，则推论推论: : 如果如果 ，且当，且当 时，时， 则则 ，即，即 f xg x0 xx ,f xA g xB 00limlimxxxxf xg xAB 如果函数如果函数 f (x) 在某个极限过程中的极限为零，在某个极限过程中的极限为零， 那么就称那么就称 f (x)是此极限过

7、程的是此极限过程的无穷小（量）无穷小（量）无穷小举例无穷小举例0 x 时，x2xsin xtan xcos1x 2x 时，2x 24x x 时,1x21x 无穷小是以零为极限的变量（函数）无穷小是以零为极限的变量（函数），不是绝对值很小的固，不是绝对值很小的固 定数定数。但但0 0可以作为无穷小的唯一一个常数可以作为无穷小的唯一一个常数. .都是无穷小量都是无穷小量是无穷小量是无穷小量是无穷小量是无穷小量与与与与无 穷 小不能说函数不能说函数 f(x)是无穷小是无穷小, ,应该说在什么情况下的无穷小应该说在什么情况下的无穷小. .即无即无穷小与自变量的变化过程有关穷小与自变量的变化过程有关.

8、.如如 时时 是无穷小，是无穷小，但但 时，则时，则 不是无穷小。不是无穷小。 2x 2x2x3x 无穷小的性质定理定理1 1 是无穷小是无穷小其中其中的充分必要条件是的充分必要条件是具有极限具有极限中，函数中，函数或或程程在自变量的同一变化过在自变量的同一变化过 ,)()()(0 AxfAxfxxx极限与无穷小的关系即即lim( )( ),f xAf xA其中其中lim0两个无穷小的和或差，仍是无穷小。两个无穷小的和或差，仍是无穷小。有限个有限个无穷小的代数和仍是无穷小。无穷小的代数和仍是无穷小。有界变量有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小。与无穷小的乘积仍是无穷小。有限个有限个无穷小的乘积仍是

9、无穷小。无穷小的乘积仍是无穷小。常数常数与无穷小的乘积是无穷小。与无穷小的乘积是无穷小。 例如例如 ，因为，因为1lim0 , sin1xxx所以所以1limsin0 xxx01lim sin0 xxx同理同理 如果函数如果函数 f (x) 在某个极限过程中，对应的在某个极限过程中，对应的函数值的绝对值函数值的绝对值可以无限增大，可以无限增大， 那么就称那么就称 f (x)是此极限过程的是此极限过程的无穷大（量）无穷大（量）。（正无穷大）无穷大（负无穷大）（变号无穷大） 只有一种趋势只有一种趋势包括两种趋势包括两种趋势 如如01limxx 2limxx 1lim ( )2xx limxx20l

10、imlogxx无 穷 大01limxx01limxx观察函数观察函数 y=1/x 的图像的图像0lim lnxxlim lnxx 再考察函数再考察函数 y = ln x 注意：无穷大不是很大的数，而是表示函数的注意：无穷大不是很大的数，而是表示函数的绝对值可以无限增大，反映函数值的一种变化趋势。绝对值可以无限增大，反映函数值的一种变化趋势。xyoy=1/xyxoy=lnx无穷小和无穷大的关系 在同一极限过程中，无穷小与无穷大之间是通过取倒数互相转化。在同一极限过程中，无穷小与无穷大之间是通过取倒数互相转化。即即在自变量的同一变化过程中，如果在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则为无

11、穷大，则 )(1xf0)( xf为无穷大为无穷大则则)(1xf为无穷小；反之，如果为无穷小；反之，如果f (x)为无穷小，且为无穷小，且221xxx 例如时,是无穷大，是无穷小11 00无穷小和无穷大的运算法则无穷小和无穷大的运算法则 以下以下A A 表示有极限的函数，表示有极限的函数，K K 表示有界函数，表示有界函数，C C 代表常数代表常数0+000 00A +A ()() +()() -K 00C 00K ,00, 结果不定，称为结果不定，称为未定式未定式极限的四则运算法则lim( )lim( )f xAg xB如果， 那么lim( )( )f xg xABlim( )( )f xg

12、xA B( )lim(0)( )f xABg xBlim( )Cf xCAlim( )nnf xA注：注： 设有数列设有数列 和和 .如果如果 则则1) 2) 3)当当 且且 时时, nx nyByAxnnnn lim,limBAyxnnn )(limlim()nnnxyA B0 B), 2 , 1(0 nynBAyxnnn lim351lim232 xxxx例例 求求解解 这里分母的极限不为零这里分母的极限不为零,故故)35(lim22 xxx3lim5limlim2222 xxxxx3limlim5)lim(2222 xxxxx32522 , 03 351lim232 xxxx)35(li

13、m1limlim22232 xxxxxx.37 3123 小结小结: :则有则有设设,)(. 1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 例例 求求)12(lim1 xx解解111lim(21)lim2lim1xxxxx12lim1xx2 11 则有则有且且设设, 0)(,)()()(. 20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf ., 0)(0则商的法则不能应用则商的法则不能应用若若 xQ93lim23 x

14、xx例例 求求23331limlim93xxxxx解解例例 求求4532lim21 xxxx解解2121lim(54)0,23lim54xxxxxxx分母的极限不能应用商的极限运算法则,故33lim1lim(3)xxx16例例 求求357243lim2323 xxxxx解解323323423342limlim537537xxxxxxxxxx例例 求求52123lim232 xxxxx解解223323321321limlim15252xxxxxxxxxxx37002例例 求求12352lim223 xxxxx解解32322315225limlim321321xxxxxxxxxxx 为非负整数时有

15、为非负整数时有和和当当nmba, 0, 000 , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当当当当x 对类型，两个多项式之比的极限只与最高次项有关，一般规律如下：10010021(1)lim31xxxx133221(2)lim31xxxxx021(3)lim31xxxx 222(1) lim4xxx0(2)lim11xxxx22lim(2)(2)xxxx21lim(2)xx14011lim( 11)11xxxxxxxx011lim2xxxxx011lim2xxx1 因式分解因式分解消除零因子消除零因子有理化有理化消除零因子消除零因子0022468(1)

16、 lim54xxxxx2011(2) limxxx44(2)(4)22limlim(1)(4)13xxxxxxxx2220( 11)( 11)lim( 11)xxxxx00多 项 式 分 解 因 式无 理 式 有 理 化消除零因子消除零因子20lim011xxx例例 求求xxxsinlim 解解,1,为为无无穷穷小小时时当当xx .sin 是有界函数是有界函数而而x. 0sinlim xxx21lim0,1xxaxba bx若（）求的值2221111xxaxaxbxbaxbxx 10a0ab2(1)()(1)1a xab xbx由题设知，分子必须是由题设知，分子必须是 x 的零次多项式的零次多

17、项式1a 1b 解解答答0sinlim1xxx0sin3(2) limxxx0sin3lim33xxx0sin3limuuu3130tan(1) limxxx0sin1lim()cosxxxx00sin1limlimcosxxxxx1111由由 x0 得得 3x0 即即 u0重要极限重要极限的应用举例的应用举例重要极限重要极限sin1无穷小无穷小0sin 3(4) limsin 2xxx03sin 32lim23sin 2xxxxx2202sin2limxxx20sin12lim22xxx211122(5) lim 2 sin2nnnx sin2lim2nnnxxx 201cos(3) lim

18、xxx202sin12lim2( )2xxx32x(6) xxxarcsinlim0sin ,tarcx令0limsinttt1sin ,xt则0,x 当时0t 有1lim (1)xxex 1(2) lim (1)xxx 11lim(1)xxx 111lim(1) uueu 120(1)lim(1)xxx1120lim(1) xxx12e10lim (1)xxxe1,xtxt令再换成重要极限重要极限的应用举例的应用举例公式特点：公式特点：11e无穷小无穷小25(5)lim()xxxx1ln1(6)lim(ln )xxex1055lim(1)xxx1ln1lim 1(ln1)xxex10ln1

19、lim (1)uuuxu111(3)limxxx111lim 1(1)xxxcot0(4) lim(1tan)xxx1tan0lim(1tan)xxxeee10e20 ,sinxx xx时，都是无穷小，但趋于零的快慢程度不一样2220lim0 xxxxxxx ， 比 趋于零更快些，称是比 高阶的无穷小2220limxxxxxxx ， 比趋于零慢些，称 是比低阶的无穷小0sinlim1 sinsinxxxxxxx ，与 趋于零快慢相仿，称与 是等价无穷小若，是同一极限过程下的无穷小， 则定义0, (), lim(0) , ()1, c 称 比高阶的无穷小, 记作称 比低阶的无穷小称与是同阶无穷小, 记作称与是等价无穷小, 记作无穷小的比较0arcsinxxx证 明时 ，0arcsinlimxxx0limsinuuuarcsinux10arcsinxxx所以时，比较下列两个无穷小比较下