多元函数微分基本概念

1、推广推广第八章第八章 一元函数微分学一元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学 注意注意: 善于类比善于类比, 区别异同区别异同多元函数微分法多元函数微分法 目录 上页 下页 返回 结束 第八章 第一节第一节一、区域一、区域二、多元函数的概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性多元函数的基本概念多元函数的基本概念 目录 上页 下页 返回 结束 )(0oPPUPP 00一、一、 区域区域1. 邻域邻域点集, ),(0PPU称为点 P0 的 邻域邻域. .例如例如, ,在平面上, ),(),(0yxPU(圆邻域)在空间中, ),(),(0

2、zyxPU(球邻域)说明：说明：若不需要强调邻域半径 , ,也可写成. )(0PU点 P0 的去心邻域去心邻域记为PP 0yyxx2020)()(zzyyxx202020)()()(目录 上页 下页 返回 结束 在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为 (),(),0yxPU。0P因为方邻域与圆邻域可以互相包含.,0 xxyy0目录 上页 下页 返回 结束 2. 区域区域(1) 内点、外点、边界点设有点集 E 及一点 P : 若存在点 P 的某邻域 U(P) E , 若存在点 P 的某邻域 U(P) E = , 若对点 P 的任一任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 EE则称 P

3、为 E 的内点内点；则称 P 为 E 的外点外点 ;则称 P 为 E 的边界点边界点 .的外点 ,显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的边界点可能属于 E, 也可能不属于 E . 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 聚点聚点若对任意给定的 , ,点P 的去心),PU(E邻域内总有E 中的点 , 则称 P 是 E 的聚点聚点.聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 所有聚点所成的点集成为 E 的导集导集 .E 的边界点 )目录 上页 下页 返回 结束 D(3) 开区域及闭区域 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集； 若点集 E E , 则称

4、 E 为闭集； 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , 开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称 D 是连通的 ; 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ;。 。 E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;目录 上页 下页 返回 结束 例如，例如，在平面上0),( yxyx41),(22yxyx0),( yxyx41),(22yxyx开区域闭区域xyOxy21OxyOxy21O目录 上页 下页 返回 结束 整个平面 点集 1),(xyx是开集， 是最大的开域 , 也是最大的闭域 ;11 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K , 则

5、称 D 为有界域有界域 , 界域界域 .否则称为无无xyO它不是区域，因为它不是连通的开集目录 上页 下页 返回 结束 *3. n 维空间维空间n 元有序数组),(21nxxx的全体所构成的集合记作,nR即RRRRnnkxxxxkn,2, 1,),(21R中的每一个元素用单个粗体字母 x 表示, 即nR),(21nxxxxnR定义了线性运算的定义:),(21nxxxxR,R),(),(2121nnnyyyxxxyx任给),(2211nnyxyxyxyx线性运算其元素称为点或 n 维向量. xi 称为 x 的第 i 个坐标 或 第 i 个分量. .R)0, 0, 0(中的坐标原点或零向量称为零元

6、n0 0称为 n 维空间, 目录 上页 下页 返回 结束 的距离距离定义为2211)()(nnyxyx中点 a 的 邻域邻域为),(1nyy yxUn),(,R),(axxa),(R1nnxx x中两点yxyx或),(),(,21nxxxx点特别与零元 0 的距离为22221nxxxx.,3, 2, 1xx 通常记作时当n, 0Raxx满足与定元中的变元an. ax 记作nR记作则称 x ), 2, 1(nkaxkk ax),(21naaaa设显然趋于a ,目录 上页 下页 返回 结束 二、多元函数的概念二、多元函数的概念 引例引例: : 圆柱体的体积 定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式

7、,2hrV ,(为常数）RVTRp )2(cbapcba0, 0),(hrhr0, 0),(TTVTVcbacbacba, 0, 0, 0),( )()(cpbpappShr目录 上页 下页 返回 结束 定义定义1. 设非空点集,nDRDPPfu, )(或点集 D 称为函数的定义域定义域 ; 数集DP,Pfuu)(称为函数的值域值域 .特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数2),(),(RDyxyxfz当 n = 3 时, 有三元函数3),(),(RDzyxzyxfu映射RDf :称为定义在 D 上的 n 元函数元函数 , 记作),(21nxxxfu目录 上页 下页 返回 结束 xzy例

8、如, 二元函数221yxz定义域为1),(22 yxyx圆域说明说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D图形为中心在原点的上半球面., )sin(,yxz 又如的图形一般为空间曲面 .12),(Ryx三元函数 )arcsin(222zyxu定义域为1),(222zyxzyx图形为4R空间中的超曲面.单位闭球xyzOOO目录 上页 下页 返回 结束 三、多元函数的极限三、多元函数的极限定义定义2. 设 n 元函数,(nDPPfR),点 , ),(0PUDP,)(APf则称 A 为函数(也称为 n 重极限)当 n =2 时, 记20200)()(yyxxPP二元函数的极限可写

9、作：Ayxf),(lim0APfPP)(lim0P0 是 D 的聚若存在常数 A ,对一记作，时的极限当0)(PPPfAyxfyyxx),(lim00都有对任意正数 , 总存在正数 ,切目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 设)0(1sin)(),(222222yxyxyxyxf求证:.0),(lim00yxfyx证证:01sin)(2222yxyx故0),(lim00yxfyx,00),( yxf,022时当yx22yx 222yx ,总有要证 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 设0, 00,sinsin),(11yxyxyxyxfxy求证：.0),(lim00yxfyx证：证：0)

10、,(yxf故0),(lim00yxfyx, 0 20),( 22yxyxfyx 222 yx ,2 时，当yx220 xyyx11sinsin总有 2要证 目录 上页 下页 返回 结束 若当点),(yxP趋于不同值或有的极限不存在，解解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) ,22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx在点 (0, 0) 的极限.),(yxf故则可以断定函数极限则有21kkk 值不同极限不同 !在 (0,0) 点极限不存在 .以不同方式趋于,),(000时yxP不存在 .例例3. 讨论函数函数目录 上页 下页

11、 返回 结束 例例4. 求22222200)()cos(1limyxyxyxyx解解: 因,)(2224122yxyx222222)()cos(1yxyxyx而620)cos1 (4limrrr此函数定义域不包括 x , y 轴,222yxr令则62)cos1 (4rr6402limrrr2cos1r24r故22222200)()cos(1limyxyxyxyx目录 上页 下页 返回 结束 方法2 见到此类问题，用极坐标替换法，也可以得前面的结论：令,sin,cosryrx目录 上页 下页 返回 结束 仅知其中一个存在,推不出其他二者存在.注注. 二重极限),(lim00yxfyyxx),(l

12、imlim00yxfxxyy及不同不同. 如果它们都存在, 则三者相等.例如例如,),(22yxyxyxf显然),(limlim00yxfyyxx与累次极限),(limlim00yxfyx),(limlim00yxfxy0,0但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在 .例3目录 上页 下页 返回 结束 四、四、 多元函数的连续性多元函数的连续性 定义定义3 . 设 n 元函数)(Pf定义在 D 上,)()(lim00PfPfPP0)(PPf在点如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上,0DP 聚点如果存在否则称为不连续,0P此时称为间断点 .则称 n 元函数连续.连续, 目录

13、上页 下页 返回 结束 例如例如, 函数0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在点(0 , 0) 极限不存在, 又如又如, 函数11),(22yxyxf上间断.122 yx 故 ( 0, 0 )为其间断点.在圆周结论结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续.目录 上页 下页 返回 结束 定理定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则,0) 1 ( K)()2(Pf, ,Mm* (4) f (P) 必在D 上一致连续 .;,)(DPKPf使在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;(3) 对任意，DQ;)(Qf使(有界性定理) (最值定理) (介值定理) (一致连续性定理)

14、 闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略) 目录 上页 下页 返回 结束 .11lim00yxyxyx解解: : 原式) 11(1) 1(lim200yxxyyxyx21例例5. .求222)3arcsin(),(yxyxyxf1322yx4222yx例例6. 求函数的连续域.解解:02 yx2yx 111lim00yxyx2Oyx21111yxyx目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 区域 邻域 :, ),(0PU),(0PU 区域连通的开集 空间nR2. 多元函数概念n 元函数),(21nxxxf常用二元函数 (图形一般为空间曲面)三元函数DP)(Pfu nR

15、目录 上页 下页 返回 结束 APfPP)(lim0,0,0时，当PP 00有APf)(3. 多元函数的极限4. 多元函数的连续性1) 函数连续在0)(PPf)()(lim00PfPfPP2) 闭域上的多元连续函数的性质:有界定理 ;最值定理 ; 介值定理3) 一切多元初等函数在定义区域内连续目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1. 设,),(222yxyxfxy求. ),(2yxfxy解法解法1 令uyxvxy23vuy 3vuux ),(vuf32)(2vuu32)( vu,2xyu yxv ),(2yxxyf2)(2xy2y2y222yxy目录 上页 下页 返回 结束 1 .设,),(222yxyxfxy求. ),(2yxfxy解法解法2 令uvyx2vuxy2vy uvx ),(2xyyxf),(2vuuvf22vuv即),(2yxxyf222yxy),(2vuuvf目录 上页 下页 返回 结束 yxyxyx200limxxxx320lim)(lim320 xxx,12.yx