美式期权二叉树定价及MATLAB程序

1、金融随机分析课程美式期权的二叉树定价1、对于连续随机游走：dS -Sdt ；SdZ可以用离散格随机游走模型来表示，即标的资产的价格只在离散时间点t ,2 ：t ,3 ：t,N t取值，-：t表示很小但非无穷小的时间步长；如果标的资产在时 刻m=t的价格为Sm，那么在时刻（m+1）=t其价格有两种可能的值:uSm（u 1）和 dSm（d ：1），并且标的资产的价格从Sm上升到uSm的概率为p。2、风险中性假设在风险中性条件下，随机微分方程：dS 二亠Sdt ；SdZ其中的可以用r来表示。即dS = rSdt ；SdZ风险中性条件下，在时刻衍生证券的价格Vm是其在时刻（m+1）氏的期望值按照无风险

2、利率r贴现所得到的，即Vm=Ee4tvmT。3、期权的计算期权的计算是从二叉树图的末端（时刻 T）开始向后倒退进行的。T时刻期 权的价值VnN已知。对于一个看涨期权来说，有VnN 二 max（S： -K,0）对于一个看跌期权来说，有VnN =max（K - SN,0）其中，n=0,1,2,N, I为执行价格。在风险中性条件下，T -氏时刻的每个结点上的期权值都可以用 T时刻期权 价值的期望值在时间 氏内用利率r贴现求出；同理，T-2®时刻的每个结点的 期权值可以用T -过时刻的期望值在"：t时间内用利率r贴现求出，其它结点依次 类推。而如果对于美式期权，必须检查二叉树图的每

3、个结点，以确定提前执行是否 比继续持有氏时间更为有利。最后，向后倒推通过所有结点就求出了当前时刻 的期权价值Vo。F面对美式期权定价问题进行研究:美式看涨期权被提前执行时，其内涵价值为Vnm maxen1 - K,0) n=0,1,2, -m,对于看跌期权来说，有Vnm = max(K - Snm,0) n=0,1,2, -m,在 m t时刻从节点(m,n)向(m+1).讥时刻的结点(m+1,n+1)移动的概率为p； 向(m+1)强时刻的结点(m+1,n)移动的概率为1-p。假设期权不提前执行，有：V；1 心诚罕(1_P)Vnm1若期权提前执行，必须与内涵价值相比较。那么，对于看涨期权，有Vn

4、m = maxmax(Snm 一 K,0),epg1 (1 一 p)Vnm 1 对于看跌期权，有Vnm 二maxmax(K SjQep*；1 (1 - p)Vnm 1 4、计算美式看涨期权的价格的Matlab实现(基于具体的算例)Matlab程序如下：%输入具体参数S0=100;%当前股价K=105;%执行价格r=0.05;% 利率T=1;%期权有效期sigma=0.3;% 波动率q=0.02;%红利率n=1000;% 步数dt=T/n;%时间步长%计算二叉树各参数%计算上升比率%计算下降比率%计算上升的概率u=exp(sigma*sqrt(dt);d=1/u;p=(exp(r-q)*dt)-

5、d)/(u-d);%构造二叉树矩阵，i表示行数，j表示列数，Sx为股价矩阵，fx为期权的内在价值for j=1: n+1for i=1:jSx(i,j)=S0*(uW-i)*(dF-1);fx(i,j)=max(Sx(i,j)-K,O);end;end;%计算美式期权价格矩阵Afx和欧式期权价格矩阵Efxfor i=1:n+1%到期时(j=n+1)期权价格Afx(i, n+1)=fx(i, n+1);Efx(i, n+1)=fx(i, n+1);end;for jj=1:n%倒推前面各期(j=n-1,n-2,1期权价格j=n+1-jj;for i=1:jEfx(i,j)=exp(-r*dt)*(p*Efx(i,j+1)+(1-p)*Efx(i+1,j+1);Afx(i,j)=max(exp(-r*dt)*(p*Afx(i,j+1)+(1-p)*Afx(i+1,j+1),fx(i,j); end;end;%输出结果AmeOptio nPrice=Afx(1,1)ErouOptio