一次函数压轴题专题突破10：一次函数与矩形(含解析)

一次函数压轴题之矩形1．如图，在平面真角坐标系中，点A的坐标是（﹣，0），点B的坐标是（0，1）．点B和点C关于原点对称．点P是直线AB位于y轴右侧部分图象上一点，连接CP，已知S△BPC＝S△ABC，（1）求直线AC的解析式；（2）如图2，△AOC沿着直线AC平移得△A′O′C′，平移后的点A′与点C重合点F为直线AC上的一动点，当PF+FC′的值最小时，请求出PF+FC′的最小值及此时点F的坐标；（3）如图3，将△PBC沿直线PA翻折得△PBG，点N为平面内任意一动点，在直线PA上是否存在点M，使得以点M、N、P、G为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求线段AB的长；（2）求直线CE的解析式；（3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x2﹣6x+8＝0的两个根，且OC＞BC．（1）求直线BD的解析式；（2）求△OFH的面积；（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A，B，直线CD与x轴、y轴分别交于点C，D，AB与CD相交于点E，线段OA，OC的长是一元二次方程x2﹣18x+72＝0的两根（OA＞OC），BE＝5，tan∠ABO＝．（1）求点A，C的坐标；（2）若反比例函数y＝的图象经过点E，求k的值；（3）若点P在坐标轴上，在平面内是否存在一点Q，使以点C，E，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请写出满足条件的点Q的个数，并直接写出位于x轴下方的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

1．【解答】解：（1）点B和点C关于原点对称，则点C（0，﹣1），将点A、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n得：，解得：，故直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣1；（2）过点C′作直线l∥x轴，过点P作PF′⊥l，垂足为点F′，交AC于点F，tan∠ABO＝＝，故∠ABO＝60°，∠BAO＝30°，∵∠OAB＝30°＝∠FC′F′，∴FFFC′，则PF+FC′＝PF+FF′＝PF′，即此时，PF+FC′最小，最小值为PF′，S△BPC＝S△ABC，则|xP|＝|xA|，故点P（，），AC＝CC′＝2，则点C′（，﹣2），则点F′（，﹣2），点F（，﹣），PF+FC′最小值PF′＝；（3）存在，理由：①当GM⊥PM时，如图∠ABC＝60°＝∠ABG，∴∠GBH＝60°，GB＝BC＝2，则GH＝GBsin∠GBH＝2×sin60，故点G（﹣，2）；M、N、P、G为顶点的四边形是矩形，点M位置如下图所示，设点M（m，m+1），将点A、B的坐标代入一次函数：y＝sx+t得：，解得：，故直线AB的表达式为：y＝x+1…①，∵GM⊥AB，则设直线GM的表达式为：y＝﹣x+b，将点G的坐标代入上式得：2＝﹣（﹣）+b，解得：b＝﹣1，故：直线GM的表达式为：y＝﹣x﹣1…②，联立①②并解得：x＝﹣，故点M（﹣，）；②当GM⊥GP时，同理可得：点M（﹣，﹣）；综上，点M（﹣，）或（﹣，﹣）．2．【解答】解：（1）∵|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∴OA＝8，OB＝6，在直角△AOB中，AB＝＝＝10；（2）∵BC平分∠ABO，CD⊥AB，AO⊥BO，∴OC＝CD，设OC＝x，则AC＝8﹣x，CD＝x．∵△ACD和△ABO中，∠CAD＝∠BAO，∠ADC＝∠AOB＝90°，∴△ACD相似于△ABO，∴，即，解得：x＝3．即OC＝3，则C的坐标是（﹣3，0）．设AB的解析式是y＝kx+b，根据题意得解得：则直线AB的解析式是y＝x+6，设CD的解析式是y＝﹣x+m，则4+m＝0，则m＝﹣4．则直线CE的解析式是y＝﹣x﹣4；（3）①当AB为矩形的边时，如图所示矩形AM1P1B，易知BC的直线方程为y＝2x+6，设M1（m，2m+6），P1（x，y），因为A（﹣8，0），B（0，6），则AM12＝（m+8）2+（2m+6）2，＝5m2+40m+100，BM12＝m2+（2m+6﹣6）2＝5m2，AB＝10，根据AB2+AM12＝BM12得100+5m2+40m+100＝5m2，m＝﹣5，∴M1（﹣5，﹣4），根据平移规律可以解得P1（3，2）②当AB为矩形的对角线时，此时有AB2＝AM22+BM22，即100＝5m2+40m+100+5m2，m＝﹣4或m＝0（舍去），∴M2（﹣4，﹣2），根据平移规律可以解得P2（﹣4，8）综上可得，满足条件的P点的坐标为P1（3，2）或P2（﹣4，8）．3．【解答】解：（1）解方程x2﹣6x+8＝0可得x＝2或x＝4，∵BC、OC的长是方程x2﹣6x+8＝0的两个根，且OC＞BC，∴BC＝2，OC＝4，∴B（﹣2，4），∵△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，∴OD＝OC＝4，DE＝BC＝2，∴D（4，0），设直线BD解析式为y＝kx+b，把B、D坐标代入可得，解得，∴直线BD的解析式为y＝﹣x+；（2）由（1）可知E（4，2），设直线OE解析式为y＝mx，把E点坐标代入可求得m＝，∴直线OE解析式为y＝x，令﹣x+＝x，解得x＝，∴H点到y轴的距离为，又由（1）可得F（0，），∴OF＝，∴S△OFH＝××＝；（3）∵以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形，∴△DFM为直角三角形，①当∠MFD＝90°时，则M只能在x轴上，连接FN交MD于点G，如图1，由（2）可知OF＝，OD＝4，则有△MOF∽△FOD，∴＝，即＝，解得OM＝，∴M（﹣，0），且D（4，0），∴G（，0），设N点坐标为（x，y），则＝，＝0，解得x＝，y＝﹣，此时N点坐标为（，﹣）；②当∠MDF＝90°时，则M只能在y轴上，连接DN交MF于点G，如图2，则有△FOD∽△DOM，∴＝，即＝，解得OM＝6，∴M（0，﹣6），且F（0，），∴MG＝MF＝，则OG＝OM﹣MG＝6﹣＝，∴G（0，﹣），设N点坐标为（x，y），则＝0，＝﹣，解得x＝﹣4，y＝﹣，此时N（﹣4，﹣）；③当∠FMD＝90°时，则可知M点为O点，如图3，∵四边形MFND为矩形，∴NF＝OD＝4，ND＝OF＝，可求得N（4，）；综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，﹣）或（﹣4，﹣）或（4，）．4．【解答】解：（1）∵x2﹣18x+72＝0∴x1＝6，x2＝12．∵OA＞OC，∴OA＝12，OC＝6．∴A（12，0），C（﹣6，0）；（2）∵tan∠ABO＝，∴＝，∴，∴OB＝16．在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB＝＝20．∵BE＝5，∴AE＝15．如图1，作EM⊥x轴于点M，∴EM∥OB．∴△AEM∽△ABO，∴，∴，∴EM＝12，AM＝9，∴OM＝12﹣9＝3，∴E（3，12），∴12＝，∴k＝36；（3）满足条件的点Q的个数是6，如图2所示，x轴的下方的Q4（10，﹣12），Q6（﹣3，6﹣3）；如图①，∵E（3，12），C（﹣6，0），∴CG＝9，EG＝12，∴EG2＝CG