复变函数论第三版钟玉泉PPT第一章

1、复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院12022-2-22第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数第一节第一节 复数复数第第二二节节 复平面上的点集复平面上的点集第三节第三节 复变函数复变函数第四节第四节 复球面与无穷远点复球面与无穷远点复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院22022-2-22第一节第一节 复数复数1. 虚数单位虚数单位:.,称为虚数单位引入一个新数为了解方程的需要i.1 :2在实数集中无解在实数集中无解方程方程实例实例 x对虚数单位的规定对虚数单位的规定: :; 1)1(2 i.)2(样的法则进行四则运算可以与实

2、数在一起按同i一、复数的概念一、复数的概念虚数单位的特性虚数单位的特性:则则是是正正整整数数一一般般地地，如如果果,n, 14 ni,14iin , 124 ni.34iin 2.复数复数:. , 为复数我们称对于任意两实数iyxzyx , , 的实部和虚部的实部和虚部分别称为分别称为其中其中zyx).Im(),Re( zyzx记作 ; , 0 ,0 称称为为纯纯虚虚数数时时当当iyzyx . ,0 , 0 xixzy我我们们把把它它看看作作实实数数时时当当 复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院32022-2-22 两复数相等两复数相等当且仅当当且仅当它们的实部

3、和虚部分别相等它们的实部和虚部分别相等. 复数复数 z 等于等于0当且仅当当且仅当它的实部和虚部同时等于它的实部和虚部同时等于0.注：实数可以比较大小注：实数可以比较大小,但但复数不能比较大小复数不能比较大小.二、复数的代数运算二、复数的代数运算, 222111iyxziyxz 设两复数设两复数1. 两复数的代数和两复数的代数和:).()(212121yyixxzz 2. 两复数的积两复数的积:).()(2112212121yxyxiyyxxzz 3. 两复数的商两复数的商:.222221122222212121yxyxyxiyxyyxxzz 4. 共轭复数共轭复数: 实部相同而虚部绝对值相等

4、符号相反的两实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数个复数称为共轭复数. . , zz 共轭的复数记为共轭的复数记为与与. , iyxziyxz 则则若若)(yixyix 22)(yix .22yx .,的积是一个实数两个共轭复数zz复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院42022-2-226. 共轭复数的性质共轭复数的性质:;)1(2121zzzz ;2121zzzz ;2121zzzz ;)2(zz ;)Im()Re()3(22zzzz ).Im(2),Re(2)4(zizzzzz 例例1 ,43,55 21iziz 设设. 2121 zzzz与

5、与求求解解iizz435521 )43)(43()43)(55(iiii 25)2015()2015(i .5157i 21 zz.5157i 5. 复数域复数域: 全体复数在四则运算这个代数结构下构全体复数在四则运算这个代数结构下构成一个复数域成一个复数域, ,记作记作C.实数域和复数域都是代数学实数域和复数域都是代数学中所研究的域的概念的实例中所研究的域的概念的实例. .复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院52022-2-22例例2 证证, 222111iyxziyxz 设两复数设两复数).Re(2 212121zzzzzz 证明证明 2121zzzz)()

6、( )( 22112211iyxiyxiyxiyx )()(21122121yxyxiyyxx )()(21122121yxyxiyyxx )(22121yyxx ).Re(221zz ).Re(2 2121212121zzzzzzzzzz 或或例例3 解解 设设.125i化简 ,125iyxi,2)(12522xyiyxi 122, 522xyyx, 2, 3 yx ).23(125ii 复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院62022-2-22三、复平面三、复平面. . , , , . ),( 面面面叫复平面叫复平这种用来表示复数的平这种用来表示复数的平轴轴叫

7、虚轴或叫虚轴或纵轴纵轴轴轴通常把横轴叫实轴或通常把横轴叫实轴或用来表示复数用来表示复数的平面可以的平面可以一个建立了直角坐标系一个建立了直角坐标系因此因此对应对应成一一成一一与有序实数对与有序实数对复数复数yxyxiyxz . ),( 表示可以用复平面上的点复数yxiyxz1. 复数的模复数的模xyxyoiyxz Pr),(yx , 的模向量的长度称为 z , 表表示示可可以以用用复复平平面面上上的的向向量量复复数数OPiyxz . 22yxrz 记为记为显然下列各式成立显然下列各式成立, zx , zy ,yxz .22zzzz 复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统

8、计学院72022-2-222. 复数的辐角复数的辐角 . Arg , , , 0 zzOPzz记作记作的辐角的辐角称为称为为终边的角的弧度数为终边的角的弧度数的向量的向量以表示以表示以正实轴为始边以正实轴为始边的情况下的情况下在在,0有无穷多个辐角有无穷多个辐角任何一个复数任何一个复数 z , 1是其中一个辐角是其中一个辐角如果如果 ).( 2Arg1为任意整数为任意整数kkz , 0 , 0 , zz时时当当特殊地特殊地的全部辐角为的全部辐角为那么那么 z辐角不确定辐角不确定.辐角主值的定义辐角主值的定义:.arg , Arg , )0( 000zzz 记作记作的主值的主值称为称为的的把满足

9、把满足的辐角中的辐角中在在, 0 x)2arctan2( xy其中其中辐角的主值辐角的主值0 zzarg, 0, 0 yx, 0, 0 yx. 0, 0 yx,arctanxy,2 ,arctan xy,复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院82022-2-223. 利用平行四边形法求复数的和差利用平行四边形法求复数的和差xyo1z2z21zz xyo1z2z21zz 2z 4. 复数和差的模的性质复数和差的模的性质;)1(2121zzzz .)2(2121zzzz , 2121故故之间的距离之间的距离和和表示点表示点因为因为zzzz 1z2z21zz xyo1z

10、2z两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致.复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院92022-2-22. 于实轴对称的在复平面内的位置是关和一对共轭复数zzxyoiyxz iyxz 5.5.复数的三角表示和指数表示复数的三角表示和指数表示利用直角坐标与极坐标的关系利用直角坐标与极坐标的关系 ,sin,cos ryrx复数可以表示成复数可以表示成)sin(cos irz 复数的三角表示式复数的三角表示式再利用欧拉公式再利用欧拉公式,sincos iei 复数可以表示成复数可以表示成 irez 复数的指数表示式

11、复数的指数表示式复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院102022-2-22例例1 1解解., 1cos1cos iez其中的实部和虚部求复数1cos1cos z cossin1coscoscossin1coscosii 2222)cos(sin)1cos(coscossin2)cos(sin1)cos(cos i.)(cos1coscos2cossin2)(cos1coscos2)(sin222i zRe zIm 6.6.复数在几何上的应用举例复数在几何上的应用举例 下面例子表明下面例子表明, 很多平面图形能用复数形式的方很多平面图形能用复数形式的方程程(或不等

12、式或不等式)来表示来表示; 也可以由给定的复数形式的方程也可以由给定的复数形式的方程(或不等式或不等式)来确定它所表示的平面图形。来确定它所表示的平面图形。复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院112022-2-22例例1 1求下列方程所表示的曲线求下列方程所表示的曲线:. 4)Im() 3( ;22)2( ; 2) 1 (ziziziz解解的距离为表示所有与点方程2 2 ) 1 (iiz .2 ,的圆的圆半径为半径为即表示中心为即表示中心为i , iyxz 设设, 2)1( iyx, 2)1(22 yx. 4)1( 22 yx圆方程圆方程22)2( ziz距离相

13、等和表示所有与点22i示的曲线就是连接点的点的轨迹，故方程表 , iyxz 设设,22 yixiyix化简后得化简后得.xy .点的轨迹. 22的线段的垂直平分线和i4)Im()3( zi , iyxz 设设,)1(iyxzi , 41)Im( yzi. 3 y所求曲线方程为所求曲线方程为复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院122022-2-221.乘积与商乘积与商定理一定理一 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.四、复数的乘幂与方根四、复数的乘幂与方根

14、两复数相乘就是把模数相乘两复数相乘就是把模数相乘, , 辐角相加辐角相加. . , 2倍倍再把它的模扩大到再把它的模扩大到 r从几何上看从几何上看, 两复数对应的向量分别为两复数对应的向量分别为 , ,21zz , 21 旋转一个角旋转一个角按逆时针方向按逆时针方向先把先把 z . 21zzz 就表示积就表示积所得向量所得向量 2 oxyr2r1r 2z1 1z z注注 由于辐角的多值性由于辐角的多值性, 2121ArgArg)(Argzzzz 两端都是无穷多个数构成的两个数集两端都是无穷多个数构成的两个数集.对于左端的任一值对于左端的任一值, 右端必有值与它相对应右端必有值与它相对应.复变函

15、数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院132022-2-22定理二定理二 两个复数的商的模等于它们的模的商两个复数的商的模等于它们的模的商; 两两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.argarg)(arg ,argzargz)arg(z :21212121不一定成立注zzzzz2.幂与根幂与根 n次幂次幂:, , nznzzn记作记作次幂次幂的的的乘积称为的乘积称为个相同复数个相同复数. 个个nnzzzz . )sin(cos , ninrznnn 有有对于任何正整数对于任何正整数. , ,1 上式仍成立上式仍成立为负整

16、数时为负整数时那么当那么当如果我们定义如果我们定义nzznn 复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院142022-2-22,sincos , 1 izrz 即即的模的模当当.sincos)sin(cos ninin 棣莫佛公式棣莫佛公式 . , 为已知复数其中的根方程zwzwn nkinkrzwnn2sin2cos1 )1, 2 , 1 , 0( nk推导过程如下推导过程如下:棣莫佛公式),sin(cos irz 设设),sin(cos iw 根据棣莫佛公式根据棣莫佛公式, )sin(cos ninwnn ),sin(cos ir , rn 于是于是,coscos

17、 n,sinsin n ,2 kn 显然显然), 2, 1, 0( k,2, 1nkrn 故故 nkinkrzwnn2sin2cos1 复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院152022-2-22 , 1, 2 , 1 , 0 时时当当 nk :个相异的根个相异的根得到得到 n,sincos10 ninrwn ,2sin2cos11 ninrwn ,.)1(2sin)1(2cos11 nninnrwnn 当当k以其他整数值代入时以其他整数值代入时, 这些根又重复出现这些根又重复出现. , 时时例如例如nk nninnrwnn2sin2cos1 ninrn sinc

18、os1.0w 从几何上看从几何上看, , 个值就是以原点为中心个值就是以原点为中心的的nzn . 1个顶点个顶点边形的边形的为半径的圆的内接正为半径的圆的内接正nnrn复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院162022-2-22例例1 1 . 1 4的值的值计算计算i 解解 4sin4cos21ii424/sin424/cos2184kiki).3 , 2 , 1 , 0( k,16sin16cos280 iw即即,169sin169cos281 iw,1617sin1617cos282 iw.1625sin1625cos283 iw. 2 8圆的正方形的四个顶点

19、圆的正方形的四个顶点的的心在原点半径为心在原点半径为这四个根是内接于中这四个根是内接于中oxy1w2w3w0w.,030201iwwwwiww而且复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院172022-2-221.2.1 复平面点集的几个基本概念复平面点集的几个基本概念),(0zU定义定义1.1 邻域邻域:. : )( , 的的邻邻域域内内部部的的点点的的集集合合称称为为的的圆圆为为半半径径任任意意的的正正数数为为中中心心平平面面上上以以000zzzz 记作记作: 或或N (z0)=z | |z-z0| . 0 00的去心邻域确定的点的集合为所称由不等式zzz记作记作

20、 N 0(z0)=z | 0|z-z0|0: N (z0)E=z0z0为为E的外点的外点 0: N (z0)E= 复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院192022-2-22定义定义1.3 内点、开集、边界点、边界、闭集内点、开集、边界点、边界、闭集:. , , . , 000的的内内点点称称为为那那末末于于该该邻邻域域内内的的所所有有点点都都属属的的一一个个邻邻域域存存在在如如果果中中任任意意一一点点为为为为一一平平面面点点集集设设EzEzEzE 如果如果E内每一点都是它的内点内每一点都是它的内点, ,那末那末E称为开集称为开集. .如果在如果在z0的任意一个邻

21、域内的任意一个邻域内,都有都有属于属于 E 的的点点,也有也有不属于不属于E的点的点,则称则称z0为为E的边界点。的边界点。z0为为E的内点的内点 0: N (z0)E点集点集E的全体边界组成的集合称为的全体边界组成的集合称为E的边界的边界. .记为记为: : E E若点集若点集E的每个聚点都属于的每个聚点都属于E, ,则称则称E为闭集；为闭集；任何集合任何集合E的闭包的闭包 一定是闭集一定是闭集. .E复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院202022-2-22定义定义1.4 有界集和无界集有界集和无界集:. , , 0, , 否否则则称称为为无无界界的的称称为

22、为有有界界的的那那末末足足使使区区域域的的每每一一个个点点都都满满即即存存在在心心的的圆圆里里面面点点为为中中可可以以被被包包含含在在一一个个以以原原如如果果一一个个EMzME 点集z zxy有界！有界！o例例1 圆盘圆盘N (z0)=z | |z-z0|0, 0, z1, z2 E,当当|z1- z2| 时时,有有|f(z1)-f(z2)| .| )(| , 0MzfEzM定理1.71.7 设E是有界闭集，是有界闭集，f(z)C(E),则有：则有：（1） f(z)在在E上上有界有界：（2） |f(z)|在在E上有上有最大（小）值最大（小）值， 即：即：. | )(| )(| )(| )(|

23、,2121zfzfzfzfEzEzz，（3） f(z)在在E上上一致连续一致连续，即，即. )( , )( :00也连续在那末连续在如果证明zzfzzf例例2 2证证 ),(),()( yxivyxuzf 设设 ),(),()( yxivyxuzf 则则 , )( 0连续连续在在由由zzf,) ,( ),( ),( 00处处都都连连续续在在和和知知yxyxvyxu ,) ,( ),( ),( 00处连续处连续也在也在和和于是于是yxyxvyxu . )( 0连续连续在在故故zzf复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院492022-2-224. 复变函数的极限性质复

24、变函数的极限性质定理定理1(Bolzano-Weiestrass聚点定理聚点定理) 每一个每一个有界无穷点集至少有一个聚点。有界无穷点集至少有一个聚点。定理定理2(闭集套定理闭集套定理)., 2 , 1, 0)(lim,01nFzFdFFFnnnnnn则必有唯一点至少一个有界，且设有无穷闭集列定理定理3(Heine-Borel有限覆盖定理有限覆盖定理)限个圆中一个。的每一点至少属于这有说，盖住，也就是中必有有限个圆把这些圆则的圆心都是圆的每一点设有有界闭集EEKKzEzz,复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院502022-2-22一、复球面一、复球面1. 南极、

25、北极的定义南极、北极的定义球面上一点的球面点取一个与复平面切于原 , 0 z与球面作垂直于复平面的直线通过与原点重合 , SS第四节第四节 复球面与无穷远复球面与无穷远点点2. 复球面的定义复球面的定义 球面上的点球面上的点, 除除去北极去北极 N 外外, 与复平与复平面内的点之间存在着面内的点之间存在着一一对应的关系一一对应的关系. 我我们可以用球面上的点们可以用球面上的点来表示复数来表示复数. . , , 为南极为北极称相交于另一点SNNxyONSzP(z)zxyu复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院512022-2-22 球面上的每一个点都有唯一的复数与之

26、对应球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应, 这样的球面称为这样的球面称为复球面复球面.1|1|,1|)(,1|,12222zzuzzziyzzzxuy ixiyxz规定规定: : 复数中有一个唯一的复数中有一个唯一的“无穷大无穷大”与复平面上与复平面上的无穷远点相对应的无穷远点相对应, ,记作记作 . . 因而球面上的北极因而球面上的北极N就是复数无穷大就是复数无穷大 的几何表示的几何表示. .以上对应可以用公式表示为：以上对应可以用公式表示为：复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院522022-2-223. 扩充复平面的定义扩充复平面的定义包括无穷远点在内的复平面称为包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面扩充复平面.不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, ,简称复平面简称复平面. .复球面能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来复球面