同济大学高等数学第六版上册第三章第二节洛必达法则

1、微微分分中中值值定定理理及及导导数数的的应应用用第二节第二节 洛必达法则洛必达法则)()(limxgxf微分中值定理函数的性态导数的性态函数之商的极限导数之商的极限 转化转化00( 或 型)()(limxgxf本节研究本节研究:洛必达法则洛必达法则定义定义00 洛必达法则洛必达法则型未定式解法型未定式解法型及型及:一、一、例如例如,lim0 xtgxx,sinlnsinlnlim0bxaxx)00()( 定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则洛必达法则. .1. 未定式未定

2、式 型的极限型的极限00.)()(lim)()(lim);()()(lim)3(; 0)()()(),()2(; 0)(lim,0)(lim) 1 (xgxfxgxfxgxfxgxgxfaaxgxfaxaxaxaxax那末或为无穷大存在都存在且及可以除外点点的某领域内在设定理定理1.,该法则仍然成立该法则仍然成立时时及及时时当当 xaxax证证, 0),()(1 axaxxfxf, 0),()(1axaxxFxg,x),a(U内任取一点内任取一点在在 0,为端点的区间上为端点的区间上与与在以在以xa,)(),(11件满足柯西中值定理的条xgxf则有则有)()()()()()(agxgafxfx

3、gxf)()(gf)(之间之间与与在在ax ,aax 时时当当,)()(limAxgxfax,)()(limAgfa.)()(lim)()(lim)()(limAgfxgxfxgxfaaxax,)()( )()()(无关无关及及的极限与的极限与agafaxxgxf辅助函数辅助函数所以定义所以定义注意注意：( )( )( )limlimlim( )( )( )xaxaxaf xfxfxg xg xg x, ax, ax,xx之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.,x（2）定理 1 中ax 换为（3 3）使用洛必达法则时，是使用洛必达法则时，是对分子、分母分别求导对分子、分母分

4、别求导，而不是对它们的商求导。，而不是对它们的商求导。例例1 1解解.tanlim0 xxx求求)()(tanlim0 xxx原式原式1seclim20 xx . 1 例例2 2解解.123lim2331 xxxxxx求求12333lim221 xxxx原式原式266lim1 xxx.23 )00()00(型00注意注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !266lim1xxx166lim1x定理定理例例3 3解解.1arctan2limxxx 求求22111limxxx 原式原式221limxxx . 1 )00(注注：1 1、用罗必塔法则一定要验证条件，特别是条件、用罗必塔法则一定要验证条件，

5、特别是条件(1);(1);2 2、若用一次法则后仍是未定式，可继续使用，一旦、若用一次法则后仍是未定式，可继续使用，一旦 不是未定式立刻停止使用不是未定式立刻停止使用; ; xxxxxxxxsin2limcos2limsinlim0020例：例： 3、运算过程中有非零极限因子，可先算出极限。、运算过程中有非零极限因子，可先算出极限。2 未定式未定式 型的极限型的极限定义定义,且满足且满足)(lim0 xgxx10 )(lim0 xfxx20 和和 在在 的某一去心邻域内存在的某一去心邻域内存在,且且)(xf)(xg0 x0)( xg)()(lim0 xgxfxx30 存在存在(或为或为 )则有

6、则有）或或 ()()(lim)()(lim00Axgxfxgxfxxxxx对于对于 时的未定式时的未定式 同样适用同样适用0 x定理定理 设函数设函数 和和 在点在点 的某一去心邻域内有的某一去心邻域内有)(xg)(xf例例4 4.sinlnsinlnlim0bxaxx求求)( 解解axbxbbxaxaxsincossincoslim0 原式原式axbxxcoscoslim0 . 1 例5. 求. )0(lnlimnxxnx解解:型原式11limnxxxnnxxn1lim0注意注意1 1：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，

7、效果更好它求极限方法结合使用，效果更好. .例例6 6解解.tantanlim20 xxxxx 求求30tanlimxxxx 原式原式xxxx6tansec2lim20 22031seclimxxx xxxtanlim310 .31 例例7 7解解.coslimxxxx 求求1sin1limxx 原式原式).sin1(limxx 洛必达法则失效洛必达法则失效.)cos11(limxxx 原式原式. 1 注意注意2：洛必达法则的使用条件洛必达法则的使用条件例8xxx21lim21limxxxxxx21lim而xxx21lim11lim2xx1用洛必达法则注意注意3 3：在满足定理条件的某些情况下

8、洛必达法则不能解决计算问题 . 型未定式解法型未定式解法、00,1 ,0 ,02 例例9 9解解.lim2xxex 求求)0( xexx2lim 原式原式2limxxe . 关键关键: :将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型型 . .),00()( 型型 0)1(步骤步骤: :,10 .0100 或或例例1 10 0解解).1sin1(lim0 xxx 求求)( 0101 .0000 xxxxxsinsinlim0 原式原式xxxxxcossincos1lim0 . 0 型型 )2(步骤步骤: :步骤步骤: :型型00,1 ,0)3( ln01ln

9、0ln01000取对数取对数.0 例例11 11 求求xxx 0lim解解 设设 取对数得取对数得,xxy xxylnln 0)ln(limlnlim00 xxyxx0ln000limlimlimeeyxyxxxx 1 )0(0例例1 12 2解解.lim111xxx 求求)1( xxxeln111lim 原式原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e例例1 13 3解解.)(cotlimln10 xxx 求求)(0 11ln(cot )lnln(cot )xxxxe取对数得)ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0

10、, 1 .1 e原式原式洛必达洛必达(1661 1704)法国数学家, 他著有无穷小分析(1696), 并在该书中提出了求未定式极限的方法, 后人将其命名为“ 洛必达法的摆线难题 , 以后又解出了伯努利提出的“ 最速降 线 ” 问题 , 在他去世后的1720 年出版了他的关于圆锥曲线的书 .则 ”. 他在15岁时就解决了帕斯卡提出练习练习12cosa3518m nman13111212ae11内容小结内容小结洛必达法则洛必达法则型00,1 ,0型型0型00型gfgf1fgfggf1111gfy 令取对数思考与练习思考与练习1. 设)()(limxgxf是未定式极限 , 如果)()(xgxf不存

11、在 , 是否)()(xgxf的极限也不存在 ? 举例说明 .极限)1ln()cos1 (cossin3lim. 2120 xxxxxx原式xxxxx120cossin3lim21)1ln(xx)03(2123分析分析:若导数比的极限不存在，不能判断原函数极若导数比的极限不存在，不能判断原函数极限不存在限不存在。例如例如，xxxxxsinsinlim xxxcos1cos1lim1sin1sin1lim xxxxxxxxxxeeee lim)1()1(lim22eeeexxxxx1)1 ()1 (lim22eexxx事实上事实上分析分析:203cos1limxxx30 limxx3.xxxx1s

12、in1cotlim0原式xsinx1coslim0 xxxxsin222103limxxxxcos1221x6161xxxxxx20sin)sin(coslim,1xt 则2011221limtttt4. 求xxxxx122lim23解解: 令原式tt2 lim021)21 ( t21)1 (t2)1 ()21 (lim2323210ttt41 5.求).0(lnlim0nxxnx. )tan(seclim2xxx6.求 7. 求. ) 1(limnnnn 5.求).0(lnlim0nxxnx型0解解: 原式nxxxlnlim0110limnxxxn0)(lim0nxnx型. )tan(sec

13、lim2xxx解解: 原式)cossincos1(lim2xxxxxxxcossin1lim2xxxsincoslim20 6. 求nnnneln11 7. 求. ) 1(limnnnn分析分析: 为用洛必达法则 , 必须改求. ) 1(lim121xxxx法法1 用洛必达法则型0但对本题用此法计算很繁 ! 21 limnn法法2) 1(lim121nnnn1ln1nne21limnnnnln121lnlimnnn0u1ue原式求下列极限 :;)11ln(lim) 12xxxx解解:tttt1)1ln(1lim2020)1ln(limtttt.cossec)1ln()1ln(lim)3220 xxxxxxx;1lim)2211000 xxex)11ln(lim) 12xxxx)1 (2lim0ttttttt21lim110211()tx令练习令则ttet50lim原式 =txet50lim0tt