材力课件第四章扭转

1、第四章扭扭 转转工程实例工程实例q 特点特点n外力：外力：在杆件两端垂直于轴线的平面在杆件两端垂直于轴线的平面 内作用有力偶内作用有力偶n变形变形：杆件的各横截面绕杆的轴线发：杆件的各横截面绕杆的轴线发 生相对转动生相对转动n扭力矩：扭力矩：力偶矩（力偶矩（扭力偶矩扭力偶矩）n扭转角：扭转角：轴轴任意两横截面间相对转角任意两横截面间相对转角MMn杆件的杆件的扭转变形扭转变形是是指杆件在两端扭矩指杆件在两端扭矩作用下的变形，此作用下的变形，此时，称杆件为时，称杆件为轴轴n任意两横截面间相任意两横截面间相对转过的角度称为对转过的角度称为扭转角扭转角n力偶矩称为力偶矩称为扭力矩扭力矩（扭力偶矩扭力偶

2、矩）MM引言引言外力偶矩、扭矩和扭矩图q外力偶矩的计算外力偶矩的计算n工程中，给出传动轴工程中，给出传动轴传递的传递的功率功率和和转速转速q 扭转时的内力扭转时的内力扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图单位单位nPkW千瓦千瓦 (kW) 或或马力马力 P n转速转速 n（转转/分钟）分钟）引言引言-外力偶矩、扭矩和扭矩图n在工程中，功率通用在工程中，功率通用千瓦千瓦 PkW (kW) 或或马力马力 P 给出，角速度用转速给出，角速度用转速 n（转转/分分钟）给出钟）给出，则外力偶矩的计算公式为则外力偶矩的计算公式为引言引言-外力偶矩、扭矩和扭矩图 扭转时的内力扭转时的内力扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图n杆件在扭

3、力矩的作用下产生扭转变形，杆件在扭力矩的作用下产生扭转变形，同时在轴内产生反抗扭转变形的内力偶同时在轴内产生反抗扭转变形的内力偶矩矩T，称为称为扭矩扭矩n扭矩扭矩T 的计算仍采用截面法的计算仍采用截面法q 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图假想截面假想截面m-m将杆件将杆件分为两部分，根据平衡关系，分为两部分，根据平衡关系，有有 T=M MMmmMTM T扭转时横截面上的扭转时横截面上的内内力力-扭矩扭矩T（截面法）截面法）n符号规定符号规定 右手螺旋法则，用四指表示扭右手螺旋法则，用四指表示扭矩的转向，拇指的指向与截面矩的转向，拇指的指向与截面的外法线的外法线n的方向相同时，该的方向相同时，该扭矩为正

4、；反之，扭矩为负扭矩为正；反之，扭矩为负 正扭矩正扭矩负扭矩负扭矩n符号规定符号规定 右手螺旋法则，用四指表示扭矩的转向，右手螺旋法则，用四指表示扭矩的转向，拇指的指向与截面的外法线拇指的指向与截面的外法线n的方向相的方向相同时，该扭矩为正；反之，扭矩为负同时，该扭矩为正；反之，扭矩为负 保证了无论从哪一段计算，扭矩的大保证了无论从哪一段计算，扭矩的大小和符号都相同小和符号都相同正扭矩正扭矩负扭矩负扭矩n以水平轴作为杆件横截面位置的坐标，以水平轴作为杆件横截面位置的坐标，垂直轴表示杆件横截面上扭矩的数值，垂直轴表示杆件横截面上扭矩的数值，所绘制的图形成为所绘制的图形成为扭矩图扭矩图 确定最大扭

5、矩确定最大扭矩Tmax截面所在的位置截面所在的位置n对于等截面杆件，最大扭矩所在的位置对于等截面杆件，最大扭矩所在的位置即为危险截面（即为危险截面（最大切应力所在截面的最大切应力所在截面的位置位置） 扭矩图例例 如图所示的传动轴的转速如图所示的传动轴的转速n=300转转/分，主动轮的输入功率分，主动轮的输入功率PA=367kW，从动轮从动轮B、C及及D的输出功率分别为的输出功率分别为PB=PC=110kW，PD=147kW，绘制该轴的扭矩图，并确定最绘制该轴的扭矩图，并确定最大扭矩大扭矩Tmax及其所在位置。及其所在位置。BCD A主动轮主动轮解解 主动轮和从动轮的外力偶矩分别为主动轮和从动轮

6、的外力偶矩分别为方向如图所示方向如图所示MBMCMAMDMCMAMDMB112233各段的扭矩为各段的扭矩为 T1MBT1=MB=3.5103 NmMCMBT2T2=MB+ MC =7103 NmT3= -MD= -4.68103 NmMDT3若扭矩为正，表明若扭矩为正，表明与所设方向相同（扭矩与所设方向相同（扭矩的正向）；若为负，表的正向）；若为负，表明扭矩与所设方向相反明扭矩与所设方向相反MCMAMDMB112233绘制扭矩图绘制扭矩图最大扭矩产生在CA段上，其值为T (Nm)-3.51037.01034.68103x例例 如图所示的水平如图所示的水平圆轴圆轴AB，在在l长度上承受长度上承

7、受均布力偶矩均布力偶矩m（单位长度单位长度的外力偶矩）作用。计算的外力偶矩）作用。计算轴内扭矩并作出扭矩图轴内扭矩并作出扭矩图ABmoTn(x)(l-x)解 取坐标系如图所示，则截面位置为x处的扭矩为从而扭矩图为mlMx 圆轴的扭转应力圆轴的扭转应力q圆轴扭转的切应力下面讨论等直圆轴扭转时横截面上各点下面讨论等直圆轴扭转时横截面上各点处的应力处的应力此问题必须从此问题必须从几何几何、本构本构和和平衡平衡三个方三个方面进行综合分析面进行综合分析MM三个方面三个方面回忆轴向拉伸的应力公式的建立回忆轴向拉伸的应力公式的建立n实验观察实验观察-表表 均匀变形均匀变形-几何几何n理论假设理论假设-里里

8、均匀变形均匀变形-几何几何n理论推论理论推论Hooke 均匀应力均匀应力-本构本构n理论公式理论公式-平衡平衡AFAFNq圆轴扭转的切应力圆轴扭转的切应力q几何关系几何关系n实验观察实验观察-画线画线-扭转扭转M圆周线：大小、间距、形状不变，只绕轴转动一角度纵线：直线，倾角为gn刚性平面假设刚性平面假设横截面保持平面，大小、形状不变，半径为直线横截面保持平面，大小、形状不变，半径为直线圆轴扭转的切应力n表面观察表面观察 -圆轴线大小、间距、形状不变，只是绕轴转动一个角度 -纵线 直线，倾角为g，矩形 平行四边形n基本假设基本假设(圆轴扭转的平截面假设圆轴扭转的平截面假设)圆轴横截面始终保持平面

9、，只是绕轴转动一个角圆轴横截面始终保持平面，只是绕轴转动一个角度度圆轴扭转的切应力n推论推论 无轴向变形无轴向变形ee0 0; 0 0; EeEe横截面上只有切应力横截面上只有切应力Tn推论推论 只有横截面内的变形只有横截面内的变形圆轴扭转的切应力M楔形体楔形体1从受扭圆轴中取出一楔形体从受扭圆轴中取出一楔形体圆轴扭转的切应力变形分析变形分析- - 切应变切应变dxd扭转的变形程度单位长度扭转角constdxdxx0圆轴扭转的切应力本构关系 由剪切胡克定律由剪切胡克定律 t t =Gg g横截面上半径为横截面上半径为r r 处的切应力为处的切应力为考虑到考虑到圆轴扭转的切应力n剪力剪力方向方向

10、垂直于半径垂直于半径（由于剪切变形发生在（由于剪切变形发生在垂直于半径的平面内）垂直于半径的平面内）UNKNOWNn圆轴截面上的切应力圆轴截面上的切应力t tr r与与r r 成正比成正比-线性分布线性分布n切应力在圆轴边缘达到切应力在圆轴边缘达到最大最大n在离圆心等远的各点处，在离圆心等远的各点处，切应力则均相同切应力则均相同-等应力线等应力线圆轴扭转的切应力TmaxtT分力与合力方向圆轴扭转的切应力静力平衡关系 横截面上分布的切横截面上分布的切应力的合力（主矢）等应力的合力（主矢）等于零，切应力关于点于零，切应力关于点o的合力偶应该等于该截的合力偶应该等于该截面上的扭矩面上的扭矩T，即即T

11、TOdArrt圆轴扭转的切应力由于由于Mn则则记记称为称为圆截面的极惯性矩圆截面的极惯性矩则则圆轴扭转变形公式圆轴扭转变形公式圆轴扭转的切应力从而从而切应力的公式切应力的公式最大切应力为最大切应力为记记称为抗扭截面模量称为抗扭截面模量则最大切应力为则最大切应力为极惯性矩和抗扭截面模量定义实心圆轴实心圆轴极惯性矩和抗扭截面模量空心圆轴a0a0何意何意? ?实心圆轴实心圆轴极惯性矩和抗扭截面模量薄壁圆筒极惯性矩和抗扭截面模量讨论：讨论：R的原因的原因薄壁圆筒的扭转设圆筒的壁厚为设圆筒的壁厚为t，R0是圆筒的是圆筒的平均半径平均半径n薄壁圆筒的几何特征薄壁圆筒的几何特征 t/R0 10-1n空心圆截

12、面处理空心圆截面处理-精确精确 近似处理近似处理R0tn相同的实验观察和假设相同的实验观察和假设n相同的推论相同的推论n相同的几何关系相同的几何关系n剪力方向垂直于半径（由于剪切变形发生在垂剪力方向垂直于半径（由于剪切变形发生在垂直于半径的平面内）直于半径的平面内） 由于是薄壁圆筒，所以，由于是薄壁圆筒，所以，假定假定切应力沿壁厚方向是均匀的，且切应力方切应力沿壁厚方向是均匀的，且切应力方向垂直于半径向垂直于半径 没有用没有用HookeHooke定律定律 于是，于是，切应力切应力t t 在整个横截面上相等在整个横截面上相等 g g 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转tR0t dA于是于是A0是圆筒平

13、均半径所围是圆筒平均半径所围圆的面积圆的面积横截面上切应力横截面上切应力t t 对原点对原点o的力偶矩的力偶矩（扭矩）为（扭矩）为薄壁圆筒的扭转n当当t/R0 10-1时，理时，理论上可以证明，上论上可以证明，上述应力公式的误差述应力公式的误差不超过不超过4.73%n对于圆筒的扭转变对于圆筒的扭转变形，不难得到切形，不难得到切应应变变 g g 为为f从而薄壁圆筒的扭转n适用性适用性 1. 均质材料：弹性、非弹性；均质材料：弹性、非弹性； 各项同性与各向异性各项同性与各向异性 2. t/R0 10-1圆轴扭转的变形圆轴扭转的变形MnMn物理意义物理意义 长度为长度为dx的微元段，的微元段，其两端

14、横截面的相对其两端横截面的相对转角为转角为d 公式公式圆轴扭转的变形从而从而 抗扭刚度抗扭刚度 单位长度的单位长度的 扭转角扭转角MM等截面常扭矩公式等截面常扭矩公式轴两端面之间的相对扭转角与轴长、扭矩成正比，与抗扭刚度成反比轴两端面之间的相对扭转角与轴长、扭矩成正比，与抗扭刚度成反比圆轴扭转的变形l2l1MCMBABCd1d2ldxGIT0p1.阶梯轴阶梯轴2.变截面变截面3.变扭矩变扭矩4.变截面变扭矩变截面变扭矩圆轴扭转的强度和刚度分析圆轴扭转的强度和刚度分析扭转试验和破坏分析扭转试验和破坏分析n扭转试验是在扭转试验机扭转试验是在扭转试验机上对圆截面试样进行测试上对圆截面试样进行测试n塑

15、性材料塑性材料的的t t g g 曲线与曲线与杆件的拉伸杆件的拉伸 e e 曲线形曲线形状相似状相似（如图）（如图）n在剪切比例极限内在剪切比例极限内，切应，切应力和切应变成正比，即力和切应变成正比，即 t t =Gg g 扭转试验和破坏分析扭转试验和破坏分析破坏类型破坏类型 试验发现：试验发现：塑性材料塑性材料小变形小变形屈服屈服强化强化剪断剪断小变形小变形剪断剪断 脆性材料脆性材料dxdydzxyzABCD扭转试验和破坏分析扭转试验和破坏分析斜截面上的应力斜截面上的应力 从圆轴中取出一微元体从圆轴中取出一微元体nAB、CD面属于圆轴的横面属于圆轴的横截面截面(垂直垂直 x 轴轴)nAD、B

16、C面属于圆轴的径面属于圆轴的径向面向面(垂直垂直 y 轴轴)n前、后两侧面属于圆轴的前、后两侧面属于圆轴的两个柱面两个柱面(垂直垂直 z 轴轴)q 该微元体的受力状态该微元体的受力状态为为纯剪切应力状态纯剪切应力状态q AB、CD、AD、BC面面受剪力受剪力t t 的作用，方向的作用，方向如图所示如图所示扭转试验和破坏分析扭转试验和破坏分析研究法向研究法向n与与x轴夹角为轴夹角为a a 的斜截面上的应力的斜截面上的应力ADCBt tt tt tt ta adxdydzxyzABCD扭转试验和破坏分析扭转试验和破坏分析 利用截面法和静力利用截面法和静力平衡，注意到平衡，注意到 dAx=dAsin

17、a a dAy=dAcosa a得得x a at tt ta andydxyt ta an在在a a = 0o或或a a = 90o的截的截面上，面上，t ta a达到极值达到极值，其绝，其绝对值大小为对值大小为t t，并且，截并且，截面上没有正应力面上没有正应力n在在a a = 45o的截面上，的截面上， a a达到极值达到极值，其绝对值，其绝对值大小仍为大小仍为t t，并且，截面并且，截面上没有切应力上没有切应力t tt t t t -t -t扭转试验和破坏分析扭转试验和破坏分析扭转试验和破坏分析扭转试验和破坏分析破坏机理破坏机理n塑性材料：塑性材料：受剪破坏受剪破坏 低炭钢的抗剪强度低于

18、低炭钢的抗剪强度低于抗拉强度抗拉强度脆性材料脆性材料受拉破坏受拉破坏脆性材料的抗剪强度大脆性材料的抗剪强度大于抗拉强度于抗拉强度45ot tt t t t -t -t轴向拉伸和压轴向拉伸和压缩的破坏分析缩的破坏分析n拉伸拉伸n压缩压缩steelironironsteel抗剪抗剪抗拉抗拉压不坏压不坏抗拉抗拉抗剪抗剪抗压抗压分析破坏截面与材料性质之间的关系分析破坏截面与材料性质之间的关系00amax0at045a02/a2/maxt圆轴扭转强度条件圆轴扭转强度条件从破坏类型可见，对于从破坏类型可见，对于脆性材料脆性材料（如（如铸铁），其破坏机理是斜截面上的最大拉铸铁），其破坏机理是斜截面上的最大拉

19、应力。因此，本质上讲，理应对斜截面上应力。因此，本质上讲，理应对斜截面上的正应力进行强度计算。然而，由于斜截的正应力进行强度计算。然而，由于斜截面上的正应力和横截面上的切应力间有固面上的正应力和横截面上的切应力间有固定的关系，所以，习惯上仍按定的关系，所以，习惯上仍按最大切应力最大切应力进行强度计算进行强度计算圆轴扭转强度条件圆轴扭转强度条件45on受扭轴的破坏标志仍为受扭轴的破坏标志仍为屈服屈服和和断裂断裂n屈服时横截面上的最大切应力称为屈服时横截面上的最大切应力称为扭转扭转屈服应力屈服应力，记为，记为t tsn断裂时横截面上的最大切应力称为断裂时横截面上的最大切应力称为扭转扭转强度极限强度

20、极限，记为，记为t tb 它们统称为它们统称为扭转极限应力扭转极限应力，记为，记为t tu圆轴扭转强度条件圆轴扭转强度条件v 等截面圆轴扭转强度条件等截面圆轴扭转强度条件 Tmax为截面上的最大扭矩为截面上的最大扭矩扭转强度条件扭转强度条件t t 为扭转许用切应力为扭转许用切应力圆轴扭转强度条件n阶梯形圆轴阶梯形圆轴v 许用切应力许用切应力与许用正应力与许用正应力的关系的关系u 塑性材料塑性材料u 脆性材料脆性材料 t 许用拉应力许用拉应力Example-1例例 已知已知 t t =60 MPa D =85 mm t =2 mm M =1.2 kNm校核其强度校核其强度 MMt解解 由于由于因

21、此，可用薄壁圆筒理因此，可用薄壁圆筒理论。由于扭矩论。由于扭矩则则故满足强度要求故满足强度要求Example-2例例 轴的转速轴的转速n=100r/min，传递功率传递功率P=7.5kW，材料的许用应力材料的许用应力t t =40MPa。空心轴的内外半径之比为空心轴的内外半径之比为d/D=0.5。为满足为满足强度要求，求实心轴的直径强度要求，求实心轴的直径d1和空心轴的外和空心轴的外直径直径D。Example-2n=100r/min，P=7.5kW， t t =40MPa，d/D=0.5空心圆轴直径空心圆轴直径从而，实心圆轴直径从而，实心圆轴直径解解 轴的扭矩为轴的扭矩为Example-2设实

22、心和空心圆轴的材料相同，长度相设实心和空心圆轴的材料相同，长度相等，等， 则空心圆轴和实心圆轴的重量之比为则空心圆轴和实心圆轴的重量之比为可见，在相同的强度要求下可见，在相同的强度要求下空心圆轴空心圆轴比实心圆轴节省材料比实心圆轴节省材料Example-3例例 阶梯圆轴阶梯圆轴AB段的直径段的直径dI=120mm， BC段的直径段的直径dII=100mm，扭转力偶分别为扭转力偶分别为MA=22kNm， MB=36kNm， MC=14kNm。已知材料的许用切应力已知材料的许用切应力t t =80 MPa，校核该轴强度。校核该轴强度。 MaMcMbIIIACBExample-3MaMcMbIIIA

23、CB由于两端的直由于两端的直径不同，因此，应径不同，因此，应分别校核两段轴的分别校核两段轴的强度强度 xT解解 利用截面法，利用截面法，可得可得AB段和段和BC段段的扭矩分别的扭矩分别TI=22kNm， TII=-14kNm扭矩图如图所示扭矩图如图所示Example-3对对AB段段因此，该阶梯圆轴满足强度要求因此，该阶梯圆轴满足强度要求对对BC段段t t =80 MPaExample-4例例 图示圆柱形密圈螺图示圆柱形密圈螺线弹簧（线弹簧（密圈螺线弹簧密圈螺线弹簧是指螺是指螺旋升角旋升角a a 50），），沿弹簧的轴沿弹簧的轴线承受拉力线承受拉力F的作用，设弹的作用，设弹簧的平均直径为簧的平均

24、直径为D，弹簧丝弹簧丝的直径为的直径为d，分析弹簧的应分析弹簧的应力，并建立相应的强度条件。力，并建立相应的强度条件。 da aD/2D/2FExample-4解解 利用截面法，以通利用截面法，以通过弹簧轴线的平面将弹簧丝切过弹簧轴线的平面将弹簧丝切断，选择上部为研究对象。由断，选择上部为研究对象。由于螺旋升角于螺旋升角a a很小，此切面可很小，此切面可视为弹簧丝的横截面。视为弹簧丝的横截面。可见，弹簧丝的横截可见，弹簧丝的横截面上作用有剪力面上作用有剪力F Fs s和扭矩和扭矩T T，其分别值为其分别值为 Fs=F，T=FD/2dFsTFD/2Example-4假设与剪力假设与剪力Fs相应的相应的切切应应力力t t 沿截面分布均匀，则沿截面分布均匀，则t扭矩扭矩T T 引起的最大切引起的最大切应力应力t tmax 为为tdFsTFD/2Example-4由叠加原理可得截面上的由叠加原理可得截面上的最大最大切切应力应力t tmax可见，弹簧丝处于纯可见，弹簧丝处于纯剪切状态，所以其强度条剪切状态，所以其强度条件为件为ttdFsTFD/2Example-4当当D/d 1