1987考研数学一二三真题答案无

1、1987 年全国研究生入学统一考试数学试题参考解答数 学（试卷）一、填空题（每小题 3 分，满分 15 分. 只写不写解题过程）ìx = 1x +1y + 2z -1ï y = -1+ t=(1) 与两直线及都平行，且过原点的平面方程是í121ï z = 2 + tîx - y + 5 = 0(2) 当 x = -1/ ln 2 ；时，函数 y = x2x 取得极小值.(3) 由 y = ln x 与两直线 y = (e +1) - x 及 y = 0 围成图形的面积= 3 / 2òx + y = 9，则曲线积分 (2xy - 2y)

2、dx + (x - 4x)dy 的值是222(4) 设 L 为取正向的圆周L-18p.(5) 已知三维线性空间的一组基底 a1 = (1,1, 0), a2 = (1, 0,1), a3 = ( 0,1,1) ，则向量a ( 2 , 0 , 0 ) 在上述基底下的坐标是 ( 1 , 1 , -1 )二、（本题满分 8 分）1t 2xòdt = 1 成立.求正的a 与b ，使式limbx - sin xx®00a + t 2解：假若b ¹ 1，则根据洛必达法则有1t 21x2xòdt = lim(×b - cos x) = 0 ¹ 1，

3、与题设a + x2，于是b = 1.limbx -sin xa + t2xx®00x®01t21x21x22× ) = lim(× ) =，此时lim1 x2a + x2a®022即1 =，因此a = 4 .a三、（本题满分 7 分）(1) 设函数 f , g 连续可微， u = f (x, xy), v = g(x + xy) ，求¶u , ¶v .¶x ¶x¶u解：¶¢ ¶x¶(xy) =f ¢+ y × f ¢ ； &#

4、182;v = g¢× ¶(x + xy) = (1+ y) × g¢ .¢12¶x¶x1987 年 第 1 页é3011ù(2) 设矩阵 A 和 B 满足 AB = A + 2B ，其中 A = ê10ú ，求矩阵 B .êêë0ú14úû解：因 AB = A + 2B ，故 AB - 2B = A ，即( A - 2E)B = A ，-2-2öæ 5故 B = (A- 2E)-1 A = &#

5、231; 4-3 -2÷ .ç÷ç -223 ÷è四、（本题满分 8 分）ø求微分方程 y ¢ + 6y ¢ +(9 + a2)y¢ =1的通解.其中a > 0 .解：由特征方程r3 + 2r2 +(9 + a2)r = 0 ，知其特征根根为r = 0, r= -3± ai .12,3故对应齐次方程的通%y = C + C e-3x cos x + C e-3x sin x ，其中C ,C ,C 为任意.1231231设原方程的特y*(x) = Ax ，代入原方程可得 A =.9

6、 + a21y(x) = %y + y* = C + C e-3x cos x + C e-3x sin x +x .因此，原方程的通1239 + a2五、选择题（每小题 3 分，满分 12 分）k + n¥设k > 0 ，则级数å(-1)n(1)（C）n2n=1(D) 收敛与发散与k 的值有关.(A) 发散(B) 绝对收敛(C) 条件收敛s tòI = tf (tx)dx ，s > 0, t > 0 ，则 I 的值(B) 依赖于 s 、t 、 x设 f (x) 为已知连续函数，(A) 依赖于 s 和t(2)（D）0依赖于t 和 x ,不依赖于

7、s依赖于 s ,不依赖于t(C)(D)f (x) -f (a) = -1，则在点 x = a 处(3)(B)设lim(x - a)2x®a(A) f (x) 导数, f ¢(a) ¹ 0(C) f (x) 取得极小值f (x) 取得极大值f (x) 的导数不(B)(D).= a ¹ 0,1/ a而 A* 是A 的伴随矩阵，则A*A(4)设A 为n 阶方阵,(A)a=(C)且an -1an(B)(C)(D)六、（本题满分 10 分）¥1n2ån+1x的收敛域，并求其和函数.求幂级数nn=11n2nxn+1(n +1)2n+1n2nu解：

8、记un =n+1x= lim×=，有lim n+1，xnu2n®¥n®¥n1987 年 第 2 页x令< 1，知原级数在开区间(-2, 2) 内每一点都收敛.2¥¥又当 x = -2 时，原级数= å 1 (-2)n+1 = 2å(-1)n+1 1 ，故由判别法知其收敛；n=1 n2nnn=1¥而当 x = 2 时，原级数= å¥ 1 2n+1 = 2å(-1)n+1 1 ，显然发散，故幂级数的收敛域为-2,2) .n=1 n2nnn=1¥¥

9、;¥1 x1 xå( ) = xS1(x) ，其中 S1 (x) = å ( )nn又记 S(，n2n=1 n2n=1 n2n=1有 S (x) =( x)n-1 =1，于是 S (¥å¢) ，11- x / 21- x2n=1， x Î-2, 2) .因此幂级数的和函数为 S(七、（本题满分 10 分）计算曲面积分 I = òòS x(8y +1)dydz + 2(1- y )dzdx - 4yzdxdy ，2ìz =y - 1其中 s 是曲线绕Y 轴旋转一周所形成的曲面，它的法向量与Y 轴(

10、1 £ y £ 3)íx = 0î正向的夹角恒大于p /2 解： S 的方程为 y = x2 + z2 +1，记 S ： y = 3, (x2 + z2) ，知 S + S 为封闭曲面，设其11方向取外侧，所围区域为W ，则由公式，有I = Òòò S +S x(8y +1)dydz + 2(1- y )dzdx - 4 yzdxdy -òò x(8y +1)dydz + 2(1- y )dzdx - 4yzdxdy221S13= òòò1× dv - 0 - &#

11、242;ò2(1- y )dydz + 0 =dydzdx -òòòòò2(1- 32 )dzdx2WS11DyDz x3ò16 ×p × 2 = 34p .=( y -1)dy +1八、（本题满分 10 分）设函数 f (x) 在闭区间0,1 上可微，对于0,1 上的每个 x ，函数的值都在开区间(0,1)内，且 f ¢(x) ¹ 1.证明 在(0,1) 内有且仅有一个 x ，使 f (x) = x 证：令h(t) = f (t) - t ，知h(t) 在闭区间0,1 上连续，又由题

12、0 < f (x) < 1，于是有 h(0) = f (0) - 0 > 0, h(1) = f (1) -1 < 0 . 故由零点定理，在(0,1) 内有 x ，使 f (x) = x .假若 f (x) 在开区间(0,1) 内有两个不同的点 x1 和 x2 ，使得 f (x1 ) = x1 ， f (x2 ) = x2 ，不妨设 x1 < x2 ，则易见 f (x) 在闭区间0,1 上连续，在(0,1) 内可导，故由定理知，1987 年 第 3 页xf (x2 ) - f (x1 ) ，即$x Î(0,1) ，使得 f ¢(x ) =f &

13、#162;(x) =1 .此与 f ¢(x) ¹ 1！故在(0,1) 内使x2 - x1f (x) = x 的 x 只能有一个.九、（本题满分 8 分）3 + x4 = 0ìï= 1，线性方程组ï问 a, b 为4有唯一解？无解？有无穷多解？í -x+ (a - 3)x - 2x = bïïî 32343 + ax4 = -1并求出无穷多的通解.解：对方程组的增广矩阵进行初等变换，得æ 111-1 2ç 0A = ( A b) = ç°çç 3&

14、#232;1当 a ¹ 1 时，系数行列式A = (a -1)2 ¹ 0 ，故由法则，原方程组有唯一解；当 a = 1 ，且b ¹ -1时， r(°A) = 3, r(A) = 2 ， r(°A) ¹ r(A) ，故原方程组无解；23当 a = 1 ，且b = -1时，r(°A) = r(A) = 2 < 4，故原方程组有无穷的解.此时显然有æ 111001200ç 0A = ( A b) ® ç°ç 0ç 0è： x = (-1,1,0,

15、0)T + c (1, -2,1,0)，其中c , c 为任意可见其通.112十、填空题（每小题 2 分，满分 6 分）A 发生的概率为 p ，现进行 n 次(1) 在一次试验中试验，则 A 至少发生一次的概率为 1 - (1 - p)n1 + (n -1) p(1 - p)n-1；而A 至多发生一次的概率为.(2) 三个箱子，第一个箱子有 4 个黑球 1 个，第二个箱子中有 3 个3 个黑球，第三个箱子中有 3 个黑球 5 五个，现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取一个球，这个球为的概率为，已知取出的是，此球属于第二箱的概率是20 / 53.53/1201987 年 第 4 页12(3) 已

16、知连续随量X 的密度为 f (x) =e-x +2x-1 ，则X 的数学期望为1；X 的p方差为 1 / 2.十一、（本题满分 6 分）设随量 X，Y 相互，其概率密度函数分别为0 £ x £ 1 ；ì1ìe- yy > 0 ，求随y £ 0的概率密度函数 f (z) .f X (x) = ífY ( y) = íî量 Z = 2 X + Yzî0其 它0ìe- y0 £ x £ 1, y > 0其 它解：由题设， ( X ,Y ) 的联合密度为 f (x, y)

17、 = f X (x) fY ( y) = í，î 0òò故 Z 的分布函数 Fz (z) = P(Z £ z) = P(2X + Y £ z) =f (x, y)dxdy ，2x+ y£z0dxdy = 0 ，此时 fz (z) = 0¢ = 0；òò当 z < 0 时， Fz (z) =12 x+ y£zz- yz1zzzòò0òò当0 £ z £ 2 时， F (z) =dye ydx =e- ydy -ye- yd

18、y ，此时-22z22000f (z) = F¢(z) = 1 z e- ydy = 1 (1- ez ) ；òzz2212x-z1-2- z(1- e)dx = 1-(e-1)e ，此时0z-2 xe- ydy =1当 z > 2 时， F (z) =dxòòò3z2000f (z) = F¢(z) = 1 (e2 -1)e-zzz2z < 00 £ z £ 2z > 2ì 0ï(1- e )- z综上所述，Z = 2 X + Y 的概率密度函数为 f (z) =1í

19、; 2zïe (e-1)- z-21î 21987 年 第 5 页数 学（ 试卷 ）一、（本题满分 15 分）【 同数学、第一题 】二、（本题满分 14 分）2ò|dx.(1)（6 分）计算定积分(|-2解：因 xe-|x| 是奇函数，| x | e-|x| 是偶函数，故(2)（8 分）【 同数学、第二题 】三、（本题满分 7 分）-2 .原式= 2|00¶2 z设函数 z = f (u, x, y),u = xe ，其中 有yf¶x¶y .连续偏导数，求¶2z¶z解：= f1¢× ¶

20、u + f2= ( f ¢ × xey + f ¢)ey + ey × f ¢+ f ¢ × xey + f ¢ .¢ = f1¢× efy +¢，¶x¶y111312123¶x¶x四、（本题满分 8 分）【 同数学、第四题 】五、（本题满分 12 分）【六、（本题满分 10 分）【七、（本题满分 10 分）【八、（本题满分 10 分）【同数学、第五题】同数学、第六题】同数学、第七题】同数学、第八题】九、（本题满分 8 分）【 同数学、

21、第九题 】十、（本题满分 6 分）设l1 , l2 为 n 阶方阵 A 的特征值， l1 ¹x1 + x2 不是 A 的特征向量.证：假若 x1 + x2 是 A 的特征向量，设其对应的特征值为l3 ，则有 A(，而 x1 , x2 分别为对应的特征向量，试证明：1 + x2 ) ，2 . 又由题设条件知 Ax1 = l1 x1 ， Ax2 = l2 x2 ，故有即 Ax1 + A(l1 - l3 )x1 +(l2 - l3 )x2 = 0 .因 x1, x2 是属于不同特征值的特征向量，所以 x1, x2 线性无关，从而l1 = l3 ，且l1 = l3 ，此与l1 ¹！

22、因此 x1 + x2 不是 A 的特征向量.1987 年 第 6 页数 学（ 试卷 ）一、填空题（每小题 2 分，满分 10 分. 把填在题中横线上）a 2a(1) 设 y = ln(1 + ax) ,其中a 为非零，则 y¢ =, y =¢-. 1 + ax(1 + ax)2点处的切线方程是 y = 1 x + p - 2 ；(2) 曲线 y = arctg 在横坐标为 1y = -2x + (p + 8) / 4 .法线方程是24(3)积分中值定理的条件是f (x)在闭区间a,b上连续，结论是bò$x Îa, b, 使得 f (x)dx = f (x

23、 )(b - a)alin (n - 2)n =e-3(4).n +1n®¥；f ¢(2x)dx 1f (2b) - 1 f (2a).2bò f ¢(x)dx =òf (x) + c(5)2 a二、（本题满分 6 分）11求极限 l)-1x -111ex1= lim=.2解： l三、（本题满分 7 分）ì x = 5(t - sin t)dy d 2 y,2 .设í，求y = 5(1- cost)dx dxîdydtdxdy（5 0+sin t)sin tdysin t= 5sin t,= 5 - 5c

24、os t ，=解：因，故，dx5(1-cos t） 1-cos tdx1- costdtsin tdtd 2 yd1且=() ×= -dx2dt 1- cos tdx5(1- cos t)2四、（本题满分 8 分）1ò计算定积分x arcsin xdx .0x21- x21òdx ，解：22421- x20001987 年 第 7 页p sin2 tpp1 ppx211òòò令 x = sin t ，有dx =cos tdt =，因此 x arcsin xdx =-×=.2cos t442 4801- x200五、（本题满分

25、 8 分）设D 是曲线 y = sin x +1与三条直线 x = 0 , x = p , y = 0 围成的转一周所生成的旋转体的体积.梯形.求D 绕 x 轴旋3p 2p解：V = p ò0 (sin x +1) dx = 4p +.22六、证明题（本题满分 10 分）(1)（5 分）若 f (x) 在(a, b) 内可导，且导数 f ¢( x) 恒大于零，则 f (x) 在(a, b) 内单调增加. 证： "x1, x2 Î(a,b) ，不妨设 x1 < x2 ，则 f (x) 在x1, x2 上连续，在(x1, x2 ) 内可导，中值定理，

26、$x Î(x1, x2 ) Ì (a,b) ，使得 f (x2 ) - f (x1) = f ¢(x)(x2 - x1) .故由由于 f ¢( x) 在(a, b) 内恒大于零，所以 f ¢(x ) > 0 ，又x2 - x1 > 0 ，因此 f (x2 ) - f (x1) > 0 ，即 f (x2 ) > f (x1) ，表明 f (x) 在(a, b) 内单调增加.(2)（5 分）若 g(x) 在 x = c 处导数，且 g ¢(c) = 0 , g ¢ (c) < 0 ，则 g(c) 为

27、 g(x)的一个极大值.证：因 g¢¢(c) = lim g¢(x) - g¢(c) < 0，而 g ¢(c) = 0 ，故lim g¢(x) < 0.由极限的性，x - cx - cx®cx®c$d > 0 ，当 x Î(c - d , c) 时，有 g¢(x) < 0 ，即 g¢(x) > 0 ，从而 g(x) 在(c - d , c) 单增；x - c当 x Î(c, c + d ) 时，有 g¢(x) < 0 ，即 g&#

28、162;(x) < 0 ，从而 g(x) 在(c - d , c) 单减.x - c又由 g ¢(c) = 0 知， x = c 是 g(x) 的驻点，因此 g(c) 为 g(x) 的一个极大值.七、（本题满分 10 分）òdx( 其中a, b 为不的非负数 )计算不定积分a2 sin2 x + b2 cos2 x解： 当a = 0 时，原式=sec2 xdx = 1 tan x + c ；1b2 òb211a2 ò 当b = 0 时， 原式=cs c2 xdx = -cot x + c ；a2ad ( tan x) bsec2 xdx= 1 =

29、1 arctan( a tan x) + c .0 时，原式= ò a2 tan2 x + b2ab ò 当ab ¹aabb( tan x)2 +1b1987 年 第 8 页八、（本题满分 15 分）(1)（7 分）求微分方程 x dy = x - y ，满足条件 y |dx= 0 的解x= 211 1dy1-y = edx + c) =(x2 + c) .+ y = 1，故其通解：原方程即x 2dxxx - 1 .2x因 y |= 0 ，所以c = -1.于是所求初值问题的y =x= 2y¢ + 2y¢ + y = xex(2)（8 分）求微

30、分方程的通解.解：由特征方程r 2 + 2r +1 = 0 ，知其特征根根为r= -1.1,2%y = (C + C x)e-x ，其中C , C故对应齐次方程的通为任意.1212y*(x) = ex (ax + b) ，代入原方程可得a = 1 ， b =- 1 .设原方程的特44因此，原方程的通y(x) = %y + y* = (C + C x)e-2x + 1 ( x -1)ex .124九、选择题（每小题 4 分，满分 16 分）ecosx ,-¥ < x < +¥(1). f (（A）有界函数是（D）（B）单调函数（C）周期函数（D）偶函数f (2).

31、 函数(D)（A）当 x ®¥时为无穷大（C）在(-¥,+¥) 内有界（B）当 x ®¥时有极限（D）在(-¥,+¥) 内f (a + x) - f (a - x)等于(3) 设 f (x) 在 x = a 处可导，则lim(B)x（C）0x®0（B） 2 f ¢(a)f ¢(a)f ¢(2a)（A）（D）(4) 【 同数学、第五（2）题 】十、（本题满分 10 分）在第一象限内，求曲线 y = -x2 +1上的一点，使该点处切线与所给曲线及两坐标围成的面积为最小，并求此最小

32、面积.解：设切点的横坐标为a ，则切线方程为 y - (1- a2) = -2a(x - a) ，即 y = -2ax + a2 +1a +1231aa121. 令 s¢ = 0 得驻点a = 3 .òs =(a +1)-(-x +1)dx =+-22故所围面积22a424a303> 0 ，故所求点的坐标为( 3 , 2) ，其最小值为 s33493 - 2 .3由于 s¢¢=a= 3 / 3a=3 / 31987 年 第 9 页数 学（ 试卷 ）一、题（每小题答对得 2 分，答错得-1 分，不答得 0 分，全题最低 0 分）1(1) limex

33、=¥ （ ´）x®0pò(2)x4 sin xdx = 0（ ）-p¥¥¥若级数åan 与åbn 均发散，则级数å(an + bn ) 必发散´(3)（）n=1n=1n=1(4) 假设 D 是矩阵 A 的 r 阶子式，且含 D 的一切r +1 阶子式都等于 0，那么矩阵 A 的一切r +1 阶子式都等于 0（）(5)连续型随量取任何给定实数值的概率都等于 0（）二、选择题（每小题 2 分，满分 10 分.）下列函数在其定义域内连续的是(1)(A)x £ 0x > 0x

34、¹ 0（B） f (x) = ìsin x（A） f (íîcos xì1x0ìx +1x < 0x = 0x > 0ïï（D） f (x) =íïî（C）f (x) = í 0ïx -1x = 0î若函数 f(x)在区间(a, b) 内可导，x1 , x2 是区间内任意两点，且 x1< x2 ，则至少存一点x ，(2)（C）使得(A) f (b) - f (a) = f ¢(x )(b - a), a < x <

35、b .f (b) - f (x1) = f ¢(x)(b - x1), x1 < x < b .(B)(C) f (x2 ) - f (x1) = f ¢( )(D) f (x2 ) - f (a) = f ¢(x)(x2 - a),(3) 下列广义积分收敛的是1 < x < x2 .a < x < x2 .（C）+¥ ln xdxdxdx+¥+¥+¥（A） òedx（B） òe（C） òe（D） òex(ln x)2xx ln xx ln x(4)

36、 设A 是n 阶方阵，其秩 r < n ， 那么在A 的n 个行向量中(A) 必有 r 个行向量线性无关(B) 任意 r 个行向量线性无关(A)1987 年 第 10 页(C)(D)(5) 若二(A)(C)任意 r 个行向量都极大线性无关向量组任意一个行向量都可以由其它 r 个行向量线性表示A 和B 同时出现的概率P( A B ) = 0 , 则(C)A 和B 互不相容（互斥）AB 未必是不可能(B) AB 是不可能(D) P ( A ) = 0 或 P ( B ) = 0三、计算下列各题（每小题 4 分，满分 16 分）1(1) 求极限 lim (1 + xex ) x .x®

37、;0ln(1+ xex )x1ln(1+ xex )解：因 (1+ xe xex（当 x ® 0 ），1，而xln(1+ xex )xex= lim= lim ex = 1， 从而lim(1+ xex )x = e .故 lim®0x®01 + x 2 -1求 y¢ .(2) 已知 y = ln，1 + x 2 + 12x2x2 1+ x22 1+ x22解： y = ln( 1+ x2 -1) -ln( 1+ x2 +1) ， y¢ =- ln=.1+ x2 -11+ x2 +1x 1 + x 2(3) 已知 z = arctg x + y

38、，求dz .x - yd ( x + y )(x - y)(dx + dy) - (x + y)(dx - dy) (x - y)2x - y- ydx + xdy解： dz =x + y x - yx + y x - yx2 + y21+ (1+ (22)(4) 求不定积分òe2 x-1 dx .解：令 2x -1 = t ，有òe 2x-1dx = òettdt = tet - òetdt = tet - et + c = ( 2x -1 -1)e四、（本题满分 10 分）考虑函数 y = sin x (0 £ x £ p / 2

39、) ，问：2x-1 + c，图中阴影部分的面积 s1 与 s2 之和 s = s1 + s2 最小？， s = s1 + s2 最大？t(1) t 取(2 ) t 取òs = t sin t -sin xdx = t sin t + cos t -1解：因，101987 年 第 11 页pppòs =sin xdx - (- t) sin t = cos t + t sin t -sin t ，2222tpp故 s = s1 + s2 = 2t sin t + 2cos t - 2 sin t -1, (0 £ t £ 2 ) .令 s¢ =

40、0 ，得 s 在(0, p ) 内的驻点t = p . 而 s( ) =2 -1， s( ) =-1 ， s(0) = 1 ，ppp24422因此 t = p 时， s 最小； t = 0 时， s 最大.4五、（本题满分 6 分）1f (x) =展成 x 的级数，并指出收敛区间.将函数x2 - 3x + 2f解：因，2n ， x Î(-2, 2) ， 1¥而= å1xn ， x Î(-1,1) ， 且1- x1-n=002¥¥¥= ån=0(1+ 1 )xn ，其收敛区间为(-1,1) .故 f (n2 n=0

41、2n2n+1n=1六、（本题满分 5 分）计算二重积分òòD e dxdy ，其中D 是第一象限中由直线 y = x 和 y = x 围成的封闭区域.x23解：联立 y = x 和 y = x 3 ，可解得两曲线交点的横坐标 x = 0 和 x = 1 ，于是213x2edy =(x - x )e dx =-1òòDò0òx3òe20七、（本题满分 6 分）已知某商品的需求量 x 对价格P 的弹性为（），求需求函数.h = -3p3 ，而市场对商品的最大需求量为 1px dp3 ，即2dp ，解：由弹性的定义，有x3于是有

42、x = ce- p ， c 为待定.3由题意 p = 0 时， x = 1 ，故c = 1，因此 x = e- p .1987 年 第 12 页八、（本题满分 8 分）2x1 -+-3x 4 =-4- x 4 =-3= 13æ x öæöæ -1ö3ï1ç÷【 xç -8÷ç2 ÷ ，k 为任意ï1x3解线性方程组】íïç 2 ÷ = ç÷ + k ç÷+ x +ç

43、x3 ÷0ç÷ç1 ÷2ç x ÷ç÷ç 0 ÷ï7=3î6è 4 øèøèø4解：对方程组的增广矩阵进行初等行变换，有-4 öæ131-3÷÷ ®L÷÷ø10113-3故原方程组与下方程组同解：ìx1 = 3 - x3ïx= -8 + 2x ，令 x = 0 ，可得原方程组的特解 b = (3, -8, 0

44、, 6)T .í233ïx= 6î 4又显然原方程组的导出组与下方程组同解：ìx1 = -x3ïx= 2xí，令 x = 1，可得导出组的基础解系h = (-1, 2,1,0)T .233ïx= 0î 4, x ) = (3, -8,0,6)T +：(，其中k 为任意因此原方程组的通.34九、（本题满分 7 分）é 42123ù设矩阵 A 和 B 满足 AB = A + 2B ，求矩阵 B ，其中 A = ê 10ú .êêë-1解：因 AB =

45、 A + 2B ，故 AB - 2B = A ，即( A - 2E)B = A ，ú3úû-8-6öæ3故 B = (A- 2E)-1 A = ç-9 -6÷2ç÷ç-29 ÷12è十、（本题满分 6 分）øé-3-1-1 02ù求矩阵 A = ê 04ú 的实特征值及对应的特征向量.êêë-1ú1úû1987 年 第 13 页lE - A = 0 ，即(l -1)(

46、 l 2+4 l +5) 0=,可见矩阵 A 只有一个实特征值l = 1 .解：令易见，线性方程组(l E - A) X= 0 的基础解系为(0, 2,1)T ，故 A 对应特征值l = 1 的特征向量为k(0, 2,1)T ，（其中k 为非零任意十一、（每小题 4 分，满分 8 分）.量 X 的概率分布为 P( X = 1) = 0.2, P( X = 2) = 0.3, P( X = 3) = 0.5 ，试写(1) 已知随出 X 的分布函数 F (x) .x < 11 £ x < 22 £ x < 3x ³ 3ì0,ï0.

47、2,解： X 的分布函数为 F (x) =ï.í0.5,ïïî1,ìy 22a 2y ³ 0,y < 0-ï1 y (2) 已知随量 Y 的概率密度为 f ( y) = í a 2ïî期望 EZ .e量 Z =的数学Y求随0y 2y 22a 2 2p1+¥ 1+¥ 1y-1-+¥EZ = E( ) = ò-¥f ( y)dy = ò0× 2 edy =2p × ò0Yyy a2a 2dy =

48、e2p a2解：.2a十二、（本题满分 8 分）设有两箱同种零件.第一箱内装 50 件，其中 10 件一等品；第二箱内装有 30 件，其中18 件一等品.现从两箱中随机挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回），试求:(1) 先取出的零件是一等品的概率 p ；(2) 在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的条件概率q .= 取出的零件为第i 箱中的， Aj =第 j 次取出的是一等品， i, j = 1, 2 ，解：设 Bi显然 B1, B2 为正概完备组，故公式得B ) = 1 × 10 + 1 × 18 = 2 ；p = P(

49、A ) = P(B )P(AB ) + P(B )P(A(1)11112122 502 3051 10´91 18´17276(2) P(A1 A2 ) = P(B1)P(A1 A2B1) + P(B2 )P(A1 A2B2 ) =×+×=，2 50´ 492 30´ 291421A ) = P( A1 A2 ) = 690公式得q = q = P( A» 0.48557 .于是，由21P( A )142111987 年 第 14 页数 学（ 试卷 ）一、题（每小题答对得 2 分，答错得-1 分，不答得 0 分，全题最低 0 分）(1)(2)【 同数学 第一（1）题 】【 同数学 第一（2）题 】若函数 f (x) 在区间(a, b) 严格单增，则对区间(a, b) 内任何一点 x 有 f ¢(x) > 0 . （´ ）´ ）(3)(4)A 和 kA 为 A 和kA 的行列式，则 kA = k若 A 为 n 阶方阵， k 为A .，而（(5)【 同数学 第一（5）题 】二、选择题（每小题 2 分，满分 10 分）(1)(2)(3)(4)【同数学第二（1）题第二（2）题第二（3）题第二