二元一次方程组(难点、考点、易错点)

1、二元一次方程组（难点、考点、易错点）DSE金牌数学专题系列、导入:讲个故事：从前有个太监有人耐不住问：下面呢？”继续讲故事：下面？没了啊一、知识点回顾（一）二元一次方程组1 .二元一次方程：像x+y=2这样的方程中含有两个未知数（x和y）,并且未知数的指数都是1,这样的方程叫做二元一次方程.2 .二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.r3 .二元一次方程组：把两个方程x+y=3和2x+3y=10合写在一起为为像这样，把两个二元一次方程组合在一起，就组成了一个二元一次方程组4 .二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一

2、次方程组的解5 .代入消元法：由二元一次方程组中的一个方程，把一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.6 .加减消元法：两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程.这种方法叫做加减消元法，简称加减法.（二）二元一次方程组的实际应用列方程组解应用题的常见类型主要有：1 .行程问题.包括追及问题和相遇问题，基本等量关系为：路程=速度刈寸问；2 .工程问题.一般分为两类，一类是一般的工程问题，一类是工作总量为1的工程问题.基本

3、等量关系为：工作量=工作效率X工作时间；3 .和差倍分问题.基本等量关系为：较大量=较小量+多余量，总量=倍数X1倍量；4 .航速问题.此类问题分为水中航行和风中航行两类，基本关系式为：顺流（风）：航速=静水（无风）中的速度+水（风）速逆流（风）：航速=静水（无风）中的速度水（风）速5 .几何问题、年龄问题和商品销售问题等.专题讲解努力+勤奋+信心= 成功5戴氏教育集团专题一错题分析【例1】方程组I:句:的解是()【误解】A或D.【思考与分析】二元一次方程组的解是使方程组中的每一个方程的左右两边的值都相等的*T0或|5r都只是方程组|两个未知数的值，而尸15尸2丁&中的一个方程的解，并不能让另

4、一方程左、右两边相等，所以它们都不是这个方程组的解，只有C是正确的.验证方程组的解时，要把未知数的值代入方程组中的每个方程中，只有使每个方程的左、右两边都相等的未知数的值才是方程组的解.)【正解】C.【例2】用代人法解方程组产一文+3了二8【孱解】由式f导行8-打把式代入式得8-3y+3y=8,0xy=0.所以y可以为任何值.所以原方程组有无数组解.【正解】由式得x=8-3y把式代入式得2(8-3y)+5y=-21,解得y=37.把y=37代入式得x=8-337,解彳#x=-103.所以卜二$工Ix-2y=2【例3】解方程组匕尸T【错解】方程-得：3y=0,所以y=0,把y=0,代入得x=-2

5、,所以原方程组的解为后【分析】在-时出错.【正解】-得：(x2y)(xy)=2(2)x2yx+y=4y=4把y=4代入得x=6,所以原方程组的解为尸一心【小结】两方程相减时，易出现符号错误，所以要特别细心.【例4】某化妆晚会上，男生脸上涂蓝色油彩，女生脸上涂红色油彩.游戏时，每个男生都看见涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的2倍少1人；而每个女生都看见涂蓝色油彩的人数是涂红色油彩的人数的5,问晚会上男、女生各有几人?错解：设晚会上男生有x人，女生有y人.|尸r把代入，得x=5(2x-1),解得x=3.把x=3代入，得y=5.所以片答:晚会上男生3人，女生5人.【分析】本题错在对题中的数量关系没

6、有弄清.每个男生都看见涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的2倍少1人，这里涂蓝色油彩的人数不是题中所有的男生人数，而是除自己之外的男生人数，同理，女生看到的人数也应是除自己以外的女生人数.正解：设晚会上男生有x人，女生有y人.)-1r力=1-(尸把代入，得x=彳2(x-1)-1-1,解得x=12.把x=12代入，得y=21.3CI2.F所以答：晚会上男生12人，女生21人.解二元一次方程组的问题看似简单，但如果你稍不注意，就有可能犯如下错误【例5】解方程组产4产2 z-7=2 【错解】方程+得：2x=4,原方程组的解是：x=2【错因分析】错解只求出了一个未知数x,没有求出另一个未知数y.所以求

7、解是不完整的工二2【正解】（接上）将x=2带入得：y=0.所以原方程组的解为产5【小结】用消元法来解方程组时，只求出一个未知数的解，就以为求出了方程组的解，这是对二元一次方程组的解的意义不明确的表现.应牢记二元一次方程组的解是一组解，而不是一个解.【例6】解方程组2尸畀为3厂也）士I0【错解】由式得y=2x-19票”3-如备）把式代入式得2（2x19218所以粤1%即”&杷各代A式利导产2x6-19所以7.所以二什二-工【错因分析】错解”在把变形后的式代入式时，符号书写出现了错误.当解比较复杂的方程组时，应先化简，在求出一个未知数后，可以将它代入化简后的方程组里的任意一个方程中，求出第二个未知

8、数，这样使得运算方便，避免出现错误.及十四5讣斤=0【正解一】化简原方程组得由导丁所以诟臂.杷X=件代入得L1rxI14_95TTn所以原方程组的解为2#十凶【正解二】化简原方程组得g+WRX6+得17x=114,所以算二号.把冲悍代人到中得2所以产一詈一所以原方程组的繇为【小结】解二元一次方程组可以用代入法，也可以用加减法.一般地说，当方程组中有一个方程的某一个未知数的系数的绝对值是1或有一个方程的常数项是0时，用代入法比较方便；当两个方程中某一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法比较方便.专题二思维点拨【例1】小红到邮局寄挂号信，需要邮资3元8角.小红有票额为6角和8角的邮票若干

9、张，问各需多少张这两种面额的邮票?【思考与解】要解此题，第一步要找出问题中的数量关系.寄信需邮资3元8角，由此可知所需邮票的总票额要等于所需邮资3.8元.再接着往下找数量关系，所需邮票的总票额等于所需6角邮票的总票额加上所需8角邮票的总票额.所需6角邮票的总票额等于单位票额6角与所需6角邮票数目的乘积.同样的，所需8角邮票的总票额等于单位票额8角与所需8角邮票数目的乘积.这就是题中蕴含的所有数量关系.第二步要抓住题中最主要的数量关系，构建等式.由图可知最主要的数量关系是：所需邮资二所需邮票白总票额.第三步要在构建等式的基础上找出这个数量关系中牵涉到哪些已知量和未知量.已知量是所需邮资3.8元，

10、两种邮票的单位票额0.6元和0.8元，未知量是两种邮票的数目.第四步是设元（即设未知量），并用数学符号语言将数量关系转化为方程.设0.6元的邮票需x张，0.8元的邮票需y张，用字母和运算符号将其转化为方程：0.6x+0.8y=3.8.第五步是解方程，求得未知量.由于两种邮票的数目都必须是自然数，此二元一次方程可以用列表尝试的方法求解.方程的解是M产L第六步是检验结果是否正确合理.方程的两个解中两种邮票的数目均为正整数，将两解代入方程后均成立，所以结果是正确合理的.第七步是答，需要1张6角的邮票和4张8角的的邮票，或需要5张6角的邮票和1张8角的的邮票.【例2】小聪全家外出旅游，估计需要胶卷底片

11、120张.商店里有两种型号的胶卷：A型每卷36张底片，B型每卷12张底片.小聪一共买了4卷胶卷，刚好有120张底片.求两种胶卷的数量.【思考与解】第一步：找数量关系.A型胶卷数+B型胶卷数=胶卷总数，A型胶卷的底片总数+B型胶卷的底片总数=底片总数.A型胶卷的底片总数=每卷A型胶卷所含底片数乂A型胶卷数，B型胶卷的底片总数=每卷B型胶卷所含底片数XB型胶卷数.第二步：找出最主要的数量关系，构建等式.A型胶卷数+B型胶卷数=胶卷总数，A型胶卷的底片总数+B型胶卷的底片总数=底片总数.第三步：找出未知量和已知量.已知量是：胶卷总数，度片总数，每卷A型胶卷所含底片数，每卷B型胶卷所含底片数；未知量是

12、：A型胶卷数，B型胶卷数.第四步：设元，列方程组.设A型胶卷数为x,B型胶卷数为y,根据题中数量关系可列出方程组：产*2解得13+12y=120.丁=一努力+勤奋+信心=成功6戴氏教育集团第五步：答：A型胶卷数为3,B型胶卷数为1.【小结】我们在解这类题时，一般就写出设元、列方程组并解出未知量和答这几步，如有必要可以加上验证这一步.其他步骤可以省略.例3用加减法解方程组货+2尸九尸5.【思考与分析】经观察，我们发现两个方程中y的系数互为相反数，故将两方程相加，消去y.3解：+，得4x=8.解得x=2.把x=2代入，得2+2y=3.nq解得y=.所以，原方程组的解为：I4三2r【例口用加减法解方

13、程组必:一?片8,|4n+5y=-6.【思考与分析】经观察，我们发现x的系数成倍数关系，故先将方程浸再与方程作差消去x较好.解：X2,得4x-6y=16.一，得11y=-22.解得y=-2.把y=-2代入，得2x-3x(-2)=8.解得x=1.所以原方程组的解为X-_t工-N【例5】解方程组24力21r#+2y二1【思考与分析】如果用代入法解这个方程组，就要从方程组中选一个系数比较简单的方程进行变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数，然后代入另一个方程.本题中，方程的系数比较简单，应该将方程进行变形.如果用加减法解这个方程组，应从计算简便的角度出发，选择应该消去的未知数.通过观察发现，消去

14、x比较简单.只要将方程两边乘以2,然后将两方程相减即可消去x.解法1:由得x=8-2y.把代入得2(8-2y)+5y=21,解得y=5.把y=5代入得x=-2.所以原方程组的解为：X=-2r解法2:2得2x+4y=16.-得2x+5y-(2x+4y)=21-16,解得y=5.把y=5代入得x=-2.|x=-2r所以原方程组的解为【小结】我们解二元一次方程组时，用到的都是消元的思想，用代入法还是加减法解题，原则上要以计算简便为依据.【例6】用代入法解方程组*寸+3r3x-8jr=L4.【思考与分析】经观察，我们发现方程为用y表示x的形式，故将代入，消去x.解：把代入，得3(y+3)-8y=14.

15、解得y=-1.把y=-1代入，得x=2.|X=2r所以原方程组的解为-14ac-2r=lOriT；,【例7】用代入法解方程组卜父7尸2.【思考与分析】经观察比较，我们发现方程更易于变为用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，故选择变形，消去y.解：由，得y=2x-5.把代入，得3x+4(2x-5)=2.解得x=2.把x=2代入，得y=-1.所以原方程组的解为：Ir【例8】甲、乙两厂，上月原计划共生产机床90台，结果甲厂完成了计划的112%,乙厂完成了计划的110%,两厂共生产机床100台，求上月两厂各超额生产了多少台机床?【思考与分析】我们可以采用两种方法设未知数，即直接设法和间接设法.

16、直接设法就是题目要求什么就设什么为未知数，本题中就是设上月甲厂超额生产x台，乙厂超额生产y台;而间接设法就是问什么并不设什么，而是采用先设出一个中间未知数，求出这个中间未知数，再利用它同题中要求未知数的联系，解出所要求的未知数，题中我们可设上月甲厂原计划生产x台，乙厂原计划生产y台.解法一：直接设法.设上月甲厂超额生产x台，乙厂超额生产y台，则共超额了10090=10（台），而甲厂计交了划生产的台数是卜2%-1台，乙厂计划生产的台数是11皿-1台.根据题意，得京+y=lGOTO,-f内以化衙得5Q解得_-*+尸9jr-4-.答：上月甲厂超额生产6台，乙厂超额生产4台.解法二：间接设法.设上月甲

17、厂原计划生产x台，乙厂原计划生产y台.根据题意，得磨上y二，口.密MllZ47Ml土十尸go.化而得36II解得所以xX(112%1)=50X12%=6,yX(110%-1)=40X10%=4.答：上月甲厂超额生产6台，乙厂超额生产4台.【例9】某学校组织学生到100千米以外的夏令营去，汽车只能坐一半人，另一半人步行.先坐车的人在途中某处下车步行，汽车则立即回去接先步行的一半人.已知步行每小时走4千米，汽车每小时走20千米（不计上下车的时间），要使大家下午5点同时到达，问需何时出发.【思考与分析】我们从行程问题的3个基本量去寻找，可以发现，速度已明确给出，只能从路程和时间两个量中找出等量关系，

18、有题意知，先坐车的一半人，后坐车的一半的人，车三者所用时间相同，所以根据时间来列方程组.如图所示是路程示意图，正确使用示意图有助于分析问题，寻找等量关系.1车+我jr-by-2OD0去r3-+W工5钝MBOy=2042.732OTO.I*=1500,解得ly-500.答：存教育储蓄的钱为1500元，存一年定期的钱为500元.【反思】我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不容易找出其等量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中的相等关系随之浮现出来.专题三竞赛数学2#+3尸kr【例1】已知方程组1-4尸十II的解x,y满足方程5x-y=3,求k

19、的值.【思考与分析】本题有三种解法，前两种为一般解法，后一种为巧解法.(1) 由已知方程组消去k,得x与y的关系式，再与5x-y=3联立组成方程组求出x,y的值，最后将x,y的值代入方程组中任一方程即可求出k的值.(2) 把k当做已知数，解方程组，再根据5x-y=3建立关于k的方程，便可求出k的值.(3) 将方程组中的两个方程相加，得5x-y=2k+11,又知5x-y=3,所以整体代入即可求出k的值.2*十3尸匕-4厅上,L5x-.解法一：g,得曳7尸”一-jcSf得34尸-52P解得尸一韦一杷产省代人，得5日鲁本，解得厂号一_1-3s2x十3不(一26)一k把一17,丁7代入，得TT万万,解

20、得k=-4.解法二：那X2,彳#17y=k-22,解得尸上举-杷产券代入，得/十3书之解得74+3317努力+勤奋+信心= 成功13戴氏教育集团杷但耳支和X守代人博爷工-小/3廨得心。解法三：+，得5x-y=2k+11.又由5x-y=3,得2k+11=3,解彳#k=-4.【小结】解题时我们要以一般解法为主，特殊方法虽然巧妙，但是不容易想到，有思考巧妙解法的时间，可能这道题我们已经用一般解法解了一半了，当然，巧妙解法很容易想到的话，那就应该用巧妙解法了.【例2】某种商品价格为每件33元，某人身边只带有2元和5元两种面值的人民币各若干张，买了一件这种商品.若无需找零钱，则付款方式有哪几种（指付出2

21、元和5元钱的张数）？哪种付款方式付出的张数最少？【思考与分析】本题我们可以运用方程思想将此问题转化为方程来求解.我们先找出问题中的数量关系，再找出最主要的数量关系，构建等式.然后找出已知量和未知量设元，列方程组求解.最后，比较各个解对应的x+y的值，即可知道哪种付款方式付出的张数最少.解：设付出2元钱的张数为x,付出5元钱的张数为y,则x,y的取值均为自然数.依题意可得方程：2x+5y=33.因为5y个位上的数只可能是0或5,所以2x个位上数应为3或8.用=4.尢=14,又因为2x是偶数，所以2x个位上的数是8,从而此方程的解为：I尸51尸34产L|?t=4rj 曰I at=9r得X=也由由I

22、尸5尸3得x+y=12;*二14,由1二1得x+y=15.所以第一种付款方式付出的张数最少.答：付款方式有3种，分别是：付出4张2元钱和5张5元钱；付出9张2元钱和3张5元钱；付出14张2元钱和1张5元钱.其中第一种付款方式付出的张数最少.努力+勤奋+信心= 成功21戴氏教育集团【例3】解方程组为+51位【思考与分析】本例是一个含字母系数的方程组.解含字母系数的方程组同解含字母系数的方程一样，在方程两边同时乘以或除以字母表示的系数时，也需要弄清字母的取值是否为解：由，得y=4mx,把代入，得2x+5(4-mx)=8,解得（25m）x=-12,当25m=0,2即m=亍时，方程无解，则原方程组无解

23、.212当25m0,即m时，方程解为5m-2_12_S-Sju将豆口厂代入，得“有广2故当m3时，原方程组的解为5型一2【小结】含字母系数的一次方程组的解法和数字系数的方程组的解法相同，但注意求解时需要讨论字母系数的取值情况.口曲+E产ti,对于x、y的方程组中，a、bi、ci、32、b2、02均为已知数，且ai与bi、a2与b2都至少有一个不等于零，则i声bi出片时，原方程组有惟一解；1440,所以建造的4道门符合安全规定.答:平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过120名学生、80名学生；建造的这4道门符合安全规定.【例5】某水果批发市场香蕉的价格如下表：的买香首赖千克不富比20千克领千克

24、以上但不困过40千克始千克以上骞千克价格5元4元张强两次共购买香蕉50千克(第二次多于第一次)，共付款264元，请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？【思考与分析】要想知道张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克，我们可以从香蕉的价格和张强买的香蕉的千克数以及付的钱数来入手.通过观察图表我们可知香蕉的价格分三段，分别是6元、5元、4元.相对应的香蕉的千克数也分为三段，我们可以假设张强两次买的香蕉的千克数分别在某段范围内，利用分类讨论的方法求得张强第一次、第二次分别购买香蕉的千克数.解：设张强第一次购买香蕉x千克，第二次购买香蕉y千克.由题意，得0x25.武尸5】解得产4当0x20yW4叫，

25、由题意，得血十5尸264产3&工通解得产32当040时，由题意，得金M尸264.上底（与0x020y04M矛盾，不合题意，舍去）.当20x25时，25y30.此时张强用去的款项为5x+5y=5（x+y）=5X50=25034即，1ste经检验，符合题意.所以甲组单独完成需300M2=3600（元），乙组单独完成需14024=3360（元）.故从节约开支角度考虑，应选择乙组单独完成.答：这家店应选择乙组单独完成.3 .【解题思路】由题意我们只要求出贪污受贿的官员和廉洁官员中的健康人数再分别与各自的总数作比即可得到贪污受贿的官员和廉洁官员中的健康人数各自占统计人数的百分比.解：设贪污受贿的官员中健

26、康人数有x人，廉洁官员中健康人数有y人，根据题意，得睡得丁23工（况600-y）444.|丁二54一。00%=40弱，骞-*0%=的缸580600答：贪污受贿的官员中健康人数占统计人数的40%,廉洁官员中健康人数占统计人数84%四、拓展训练%4勿Wr1 .解关于x,y的方程组ST产一I伙并求当解满足方程4x3y=21时的k值2 .有两个长方形，第一个长方形的长与宽之比为5：4,第二个长方形的长与宽之比为3：2,第一个长方形的周长比第二个长方形的周长大112cm,第一个长方形的宽比第二个长方形的长的2倍还大6cm,求这两个长方形的面积.3 .甲乙两人做加法，甲在其中一个数后面多写了一个0,得和为

27、2342,乙在同一个加数后面少写了一个0,得和为65,你能求出原来的两个加数吗？4 .某校2006年初一年级和高一年级招生总数为500人，计划2007年秋季初一年级招生人数增加20%,高一年级招生人数增加25%,这样2007年秋季初一年级、高一年级招生总数比2006年将增加21%,求2007年秋季初一、高一年级的招生人数各是多少?答案1煤“十心-32,解:设第一个长方形的长与宽分刖为治七巾和4缸f第二个长方形的长与宽分别为沙m和根据题意，得2x(5t+4jvJ-2火124=2濡3产6一7=5.从而第一个长方形的面积为：5xX4x=20x2=1620(cm2);第二个长方形的面积为：3y2y=6

28、y2=150(cm2).答：这两个长方形的面积分别为1620cm2和150cm2.lOti-y=2342.I尸230.5 .解：设两个加数分别为x、y.根据题意，得而片.解得*72.所以原来的两个加数分别为230和42.6 .解：设2007年初一年级秋季招生人数为x,高一年级招生人数为y.根据题意得十一心十r%1+W%解得答：2007年初一年级秋季招生人数为480人，高一年级招生人数为125人.努力+勤奋+信心=成功20戴氏教育集团六、反思总结当堂过手训练（快练5分钟，稳准建奇功）1 .甲、乙两人分别从相距30千米的A、B两地同时相向而行，经过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到B地所剩路程

29、是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度.3雷+匚岳*112 .2.小华不小心将墨水溅在同桌小丽的作业本上，结果二元一次方程组1口K2产2中第一个ml.方程y的系数和第二个方程x的系数看不到了，现在已知小丽的结果是1片2你能由此求出原来的方程组吗？x=lr3 .若=2是关于x,y的二元一次方程3x-y+a=0的一个解，求a的值.4 .已知方程组（1） .y4-2=74-3尸51，=L,5-2户7ry=0%-5y二12其中正确的说法是（）A.只有（1）、（3）是二元一次方程组；B.只有（1）、（4）是二元一次方程组；C.只有（2）、（3）是二元一次方程组；D.只有（2）不是二元一次方程组.答案1 .解：设甲、乙的速度分别为x千