正弦定理证明

1、CD由此，得矗二為同理可得純二岛a _ b sin A sin ZABC同理可得c _ b sin C sin ZABC故有a _ b _ csin A sin EABC sin C由(2)可知，在：ABC中,a _ bsin A sin Bsin C成立.一、正弦定理的几种证明方法1利用三角形的高证明正弦定理(1)当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD根据锐角三角函数的定义, 有CD=asinB,CD =bsinA。故有Si-siF -siFc.从而这个结论在锐角三角形中成立.(2)当厶ABC是钝角三角形时，过点C作AB边上的高，交AB的延长线于点D,根据锐角三角函数的定义， 有CD=

2、：asin . CBDasin . ABC CD =bsinA 。由此,从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即a b c sin A sin B - sin C2利用三角形面积证明正弦定理已知 ABC,设 BC = a, CA = b,AB = c,作 AD 丄 BC,垂足为 D 贝U Rt ADB中,sin B 一 AD ： AD=AB sinB=csinB,AAB/：11 1 1二 S abc二a *AD =-acsi nB| 同理,可证 SABC_absi nC=bcsi n A|丿2 2 2 2 / S“bc= absinC =丄bcsinA =acsinBl .

3、MbdM二b昂hA二dCsinK C2 2 2/ : bD在等式两端同除以a” r/曰 sinC sin A sin B口“ abcABC,可得=| 即=.c a bsin A sin B sin C3向量法证明正弦定理(" ABC为锐角三角形，过点A作单位向量j垂直于AC ,则j与AB的夹角为I190°-A,j与CB的夹角为90°-C由向量的加法原则可得AC C AB*为了与图中有关角的三角函数建立联系，我们在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算，得到j(AC CBH j AB由分配律可得AC jCB = j AB) j| AC Cos90°|j

4、 |CBCos(90 -C)=|j | AB Cos(90 -A) asi nC=cinA.a csin A sinC另外，过点C作与CB垂直的单位向量j，则j与AC的夹角为90°+C,j与AB的夹角为90°+B,可得csin Cbsin B(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提，防止误解为j与AC的夹角为90°-C,j与AB的夹角为90°-B)a b csin A sin B sin C ABC为钝角三角形，不妨设A>90°,过点A作与AC垂直的单位向量j，则j与AB的夹角为A-90 °与CB的夹角为90°-

5、C|由 AC CB 二 AB，得 j -AC即 a Cos(90°-C)=c Cos(A-9叫+jCB=jAB：. A asi nC=cinA.a _ csin A sin C另外过点C作与CB垂直的单位向量j，则j与AC的夹角为90O+C,j与AB夹角为90°-b.同理,可得b sin Bc sin Ca b c simAsin B sin C连结BO并延长交圆于B；设BB=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所 对的圆周角相等可以得到/ BAB =90° , / C =Z B', si nC=si nB'=si nC=si nB"

6、;=R| = 2R| 2R sinC同理，可得 a = 2R, b 2R) a b c 2R|si nAsi nBsi nA si nB si nC这就是说，对于任意的三角形，我们得到等式a b csin A sinBsinCC法一(平面几何)：在 ABC中，已知AC=b,BC=：a,及.C，求c。过 A 作 AD _ BC于 D,是 AD = AC si nC 二 BC si nC ,CD = AC cos = b cosc,在 Rt. ABD 中，AB?二 AD2 BD2 二(bsin c)2 (a - bcosc)2 二 a2 b2 - 2abcosc ,法二(平面向量)-* T T T

7、 T T T2 T T T2 T2 T T2 2 2c a b - 2ab coscAB AB 二(AC BC) (AC BC)二 AC 2AC BC BC AC 2| AC | | BC |cos(180 -B) BC 二 b2 -2abcosB a2，即:法三(解析几何)：把顶点C置于原点，CA落在x轴的正半轴上，由于ABC 的 AC=b，CB=a，AB=c，贝V A, B, C 点的坐标分别为 A(b，0)，B(acosC， asinC) , C(0 , 0).2 2 2|AB| =(acosC b) +(asi nC 0)2 2 2=a cos2C 2abcosC+b +a sin2C

8、即 c2=a2+b2 2abcosC .=a2+b2 2abcosC ,法五(用相交弦定理证明余弦定理)：如图，在三角形 ABC 中，/ A=a , AB=a , BC=b , AC=c。现 在以B为圆心，以长边 AB为半径做圆，这里要用长边的道理 在于，这样能保证 C点在圆内。BC的延长线交圆B于点D和E这样以来，DC=a-b, CE=a+b AC=co 因为 AG=2acosa，所以 CG=2acosa -c。根据相交弦定理有：DCX CE=A( CG 带入以后就是(a-b)(a+b)=c(2acos a -c)化简以后就得b2=a2+c2+2accos a。也就是我们的余弦定理。如图，在

9、 ABC中，AB= 4 cm, AC= 3 cm,角平分线 AD = 2 cm,求此三角形面积分析：由于题设条件中已知两边长，故而联想面积公式Sa abc = 丁 AB AC si nA,需求出1A1sin A, 而 ABC 面积可以转化为Sa adc + Sa adb，而 Sa adc = 2 AC ADsin , Sa adb =三AAB AD sin，A因此通过Saabc= Saadc + Saadb建立关于含有sinA, sin的方程，而sinA =A A2sing cosqsin2A +2Acos 2 = 1,故sinA可求，从而三角形面积可求解：在 ABC中，Sa abc= Sa

10、adb + Sa adc ,1 AB ACsi nA= 1 AC AD2 2sinA + 1 AB ADsi nA1 12 4 3sinA =A3 2s inqA/ 6si nA = 7sin212sin cosAA=7s ingsinAnV 2 sinA21 cos2A1 2-.j1'957T， si nA = 2sinA cosA7 .9572 ， G1Sa abc = 2 4 3sinA =哺（cm2）在厶ABC中，AB= 5, AC = 3, D为BC中点，且AD = 4,求BC边长.解：设BC边为x,则由D为BC中点，可得BD =AD2+ BD2 AB242+( x ) 2

11、522AD BD=x2 X4 X22 2 2AD + DC AC42+( - ) 2 32 2丿2AD DCx2总£在厶 ADB 中，cosADB =在厶 ADC 中，cosADC =ODC=x又/ ADB + Z ADC = 180 cosADB = cos (180° Z ADC)=cosADC.+( x ) 2 5242 +( 2)2 32解得，x= 2 所以，BC边长为2.2在 ABC中，已知角 B= 45 ° D是BC边上一点，AD = 5, 解：在 ADC中，AC2+ DC2AD2cosC =求AB.2AC DC72+ 32 522 X7 X311 14，AC = 7, DC = 3,D在厶ABC 中，-AC =-AB-si nB sinC:AB = SBAC= 54 护 7=導33.在 ABC 中，已知 cosA=¥5sinB=寻cosC的值.解：T cosA= 3 v 2= cos45°520v Av n 45° v Av 90° sinA=-5/ sinB = v113 v 2 0°v Bv 30°或 若B> 150°则=sin30 ,° 0 v B v