正弦定理和余弦定理知识点总结(学案)附答案

1、高频考点一利用正弦定理、余弦定理解三角形例1、(1)在厶ABC中，已知a= 2, b= .：6, A= 45°,则满足条件的三角形有()A. 1个B. 2个C. 0个D.无法确定(2) 在厶 ABC中，已知 sin A： sin B= ,；2 : 1, c2= b2+ :'2bc,则三角 A B, C的度数依次是.1n(3) (2015)设厶 ABC的角A,B, C的对边分别为a,b,c.若 a=、:3,sinB=刁C=-,则 b=.答案(1)B(2)45 ° , 30°, 105°(3)1解析 (1) t bsinA=x¥ = 3，二

2、 bsin A<a<b.满足条件的三角形有 2个.(2)由题意知 a= 2b, a2= b2 + c2-2bccosA2 2 2即 2b = b + c - 2bccos A,又 c2= b2 +2bc,< 2 o . 1 o o- cosA= 2 , A= 45 , sin B= ?, B= 30 , C= 105 .（3）因再应二担施（山 叭 所以砂和占二萨 又B+gr,所以时吝丄=!1一芳一匸=于一 又片低由正竝理得益二着即一V三51H 石-511173解得41 一【感悟提升】（1）判断三角形解的个数的两种方法代数法：根据大边对大角的性质、三角形角和公式、正弦函数的值域

3、等判断.几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数.（2）已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个 数.【变式探究】 已知在 ABC中，a= x, b= 2, B= 45°,若三角形有两解，则 x的取 值围是（）A. x > 2B. xv 2C. 2 v xv 2 2D. 2vx v 2 3在厶 ABC中, A= 60°, AO 2, BO 羽，则 AB=答案(1)C(2)1解析(1)若三角形有两解，则必有a>b,. x>2,丄ax

4、 -U2又由 sin A= bSin B= < v 1,可得xv2 2, x的取值围是 2v xv 2 2./ A= 60°, AO 2, BO 3,设AB= x，由余弦定理，得bC= aC+ aB 2AC" ABCosA,2 化简得x 2x+ 1 = 0, x= 1，即 AB= 1.高频考点二和三角形面积有关的问题例2、（2015 -）在厶ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知A=n4,b2 a2(1)求tan C的值; 若厶ABC勺面积为3，求b的值.1解(1)由b2 - a2= 2c2及正弦定理得sin2 11.B 2 = 2sin所以cos2B=

5、 sin 2C n3又由A= 4，即B+ C= 4 n,得3cos2B= cos2 4n C3=cos 2 n 2C=sin2 C= 2sin CcosC,由解得tan C= 2.i -j 由 ianCi匕：、二i得dy因为十j十 J,所以迪=響， 由正眩定理得尸羊4 乂因対良二？ g浊血二比 所以故占=3»【感悟提升】(1)对于面积公式 S= 1absin C= gacsin B= jbcsin A 一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.（2）与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.【变式探究】四边形 ABCD勺角A与C互补，AB= 1，BC= 3, CD=

6、DA= 2.（1）求C和BD求四边形ABCD勺面积.解（1）由题设A与C互补及余弦定理得bD= bC+ CD 2BC- CtCosC= 13- 12cosC,bD= aB + dA 2AB DAcosA= 5+ 4cosC.1厂由得cosC= 2， BD=“7,因为C为三角形角，故 C= 60°.四边形ABCD勺面积11S=cAB' DAsin A+小BC CDsinC2 2D. 等腰直角三角形答案A(2)B-. r.解析 已知萨匚0 3，宙正弦定理j得T-<coxJ即sinCCsinc-os,所決sin上+戲飞:皿即SlIL+ Cp 15 SIE-S COi4<

7、Cl所以 CO iS 510.4-0.又 iLIL>0 ,于是有 C0i3<f J 日为钝角，所以,JBC 是钝角三角形.丁碎昨，品占.7C0s5 f'.£+ t=£-，心兀为直角三角形【举一反三】(2015 课标全国n )如图，在 ABC中, D是BC上的点，AD平分/ BAC ABD面积是 ADO积的2倍.(1)求普sin C若AD= 1,d"，求BD和AC的长.解 &AB片；AB Atsin / BADS ADG=AC- ACSin / CAD因为 SABD= 2& ADC, / BAD=Z CAD所以AB= 2AC由正弦

8、定理可得sin B AC 1sin C= ABT 2因为& ABD : SADCT BD： DC 所以 BD=寸2.在厶ABDDA ADC中，由余弦定理，知aB=aD+ BD 2AD- BCCosZ ADBaC= aD+ DC 2AD- D(CosZ ADC故 AB+ 2ACt 3AD+ BD+ 2DCt 6,由(1)知 AB= 2AC 所以 ACT 1.【感悟提升】(1)判断三角形形状的方法 化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状. 化角：通过三角恒等变形，得出角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A+ B+ CTn这个结论.(2)求解几何计算问题要

9、注意 根据已知的边角画出图形并在图中标示； 选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理.【变式探究】 在厶ABC中,角A, B, C所对的边长分别是 a, b, c,若c acosB=(2a b)cos代则厶ABC的形状为()A. 等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形(2)如图，在A ABC中，已知点 D在 BC边上，ADLAC sin / BAC= , AB= 3頁，AD3T 3，贝y BD的长为.答案D(2)3解析北oco出=(加一3问辺'由正弦走理得sinC - sirUrofifi=2sin4eox4 f.sin-icas3 十 co 左乩n3 si

10、n.Jcoi32sirL4co 土！ sin5cos.J.'-co L4sin5 tin曲二 J.col40 或 sinB= iitL47 二二鐵S-A或舍去h ：4磁为等腰或直角三角形.n(2)sin / BAC= sin( 2 + Z BAD = cos / BAD/ cos / BAD=BD= AB+ AD 2AB- ADtosZ BAD=(3 寸 2)2+ 32 2x3/2 x 3X 警,冗1.已知 ABC 中，角A,B,C 所对边分别为a,b,c,若A3 ,b = 2acosB,c= 1,3则厶ABC的面积等于（）jgfj It解析：由正弦定理得朗田二m祖力曲，故肿E=2刚A

11、二S丐二,R 3 E > 丁卜所以B二亍.则ABC杲正三角形所次S_4B2=答案：3c2.在厶ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若C= 2B,则b为（）A.2sin CB. 2cosBC.2sin BD. 2cosC解析：由于sin cC= 2B,故 sin C= sin 2B= 2sin BcosB,所以一2cosB,由正弦定理可得 sin Bsin Csin B= 2cOsB,故选Bo答案：Bc b si nA3.已知 ABC的角A, B C的对边分别为a, b, c,且=则I解析:abc 亠c ba 22由 sin A= 2r, sin B= 2r, sin C= 2

12、R 代入整理得：c a= c + b? c - b= ac-所以 a2 + c2- b2= ac,即卩 cosB=所以 B=；。答案：C14.在厶 ABC 中，若 lg(a + c) + lg (a c) = lg b lg 片，贝卩 A=()A. 90°B. 60°C. 120°D. 150°解析；由题意可知/g(a-Fc>(a-门,.(a+c)ia-c=b(b + ch.'.lr-Fc: a: = btjb- + c- a- 1.示一-一严又 AE(O,上=120% 选 G答忌C5.在 ABC中，角A, B, C所对的边分别是a,b,

13、c.若 3a = 2b,则2 22sin B sin Asin 2A的值A.1B-37C. 1D. 2解析：由正弦定理可得2 22sin B sin A2 Asin A前 B21 = 2bsin AaK Q2- 1,因为 3a= 2b，所以a= 2,所以2 22sin B sin A.2 ” sin A=2X答案：D6.在厶ABC中，角A, B, C所对的边长分别为a, b, c,且满足 csinA=3acosC,则sin A+ sin B的最大值是（）A. 1B. 2C& D. 3解析：由 csin A=3acosC,所以 sin Csin A= 3sin AcosC,即 sin C

14、= /3cosC,所以 tan C=、J3, C=-3, a= 2nB,所以 sin A+ sin B= sin B + sin B=(-冗3sin B+,62 n nn 5 n Ov Bv小，6< B+6 v当 B+n即B= 3时，sin A+ sin B的最大值为3.故选G答案：Cj：L7.在厶 ABC中，若 A= ,B=,BC=3 .B.V3C.2j'3d.4x/3,贝 U AC=()A.【答案】CoBC AC【解析】由正弦定理可得：，=,即有AC= 曲8.在厶ABC中，若a2+b2<c2,则厶ABC的形状是 (A.锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D.不能确

15、定【答案】C【解析】由余弦定理:a 2+b2-2abcosC=c2,因为 a2+b2<c2,所以 2abcosC<0,所以C为钝角, ABC是钝角三角形9.已知 ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c.J.jiA.B.C.【答案】C.【解析】将己知等式利用正弦定理化简得匸二三:m cl la* +c5b" 1所決眄所以1BP c;-b：a=ac-a:因为砂刁形的内亀所以磅10.在厶ABC中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若C=120 ,c=a,贝U (A.a>bB. a<bC. a=bD.a与b的大小关系不能确定【答案】A【解析】由余弦定理得 2

16、a2=a2+b2-2abcos120° ,b 2+ab-a 2=0,b - 1 + p'5-1=0,=<1,故 b<a.(-h siA且 HE. " A：. 土,则 B=(11.在厶 ABC中,a=15,b= 10,A=60° ,则 cosB=【解析】由正弦定理可得,所以 sinB= 再由b<a,可得B为锐角,I'_2所以cosB=、1答案：sin Asi nC,12.在厶 ABC中,三个角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 若 sin 2A+sin 2C-sin 2B=-.'则B=【解析】在厶 ABC 中,因为

17、sin 2A+sin 2C-sin 2B=sinAsinC,所以利用正弦定理得：a2+c2-b2= ac.13. ABC中，点 D是 BC上的点,AD 平分/ BAC,BD=2DC.sinB(1)求 1 .若/ BAC=60 ,求 B.【解析】（1）如图，由正弦定理得：sinBBAD sinCCAD因为 AD平分/ BAC,BD=2DC,55sinfl DC 1(2)因为 C=180 -( / BAC+B),/ BAC=60 ,所以 sinC=sin( / BAC+B)=cosB+ si nB,由(1)知 2sinB=sinC,所以 tanB=,即 B=3014. 在厶 ABC中,角 A,B,

18、C 的对边分别为 a,b,c,且 bcosC=3acosB-ccosB.(1)求cosB的值.(2)若 BC=2,且 b=2©,求 a 和 c 的值.【解析】(1)由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,则 2RsinBcosC=6RsinAcosB-2RsinCcosB,故 sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB,可得 sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB,即 sin(B+C)=3sinAcosB,可得 si nA=3si nAcosB.又 si nA 丰 0,1因此cosB痕frT(2)由 =2,可得 accosB=2,

19、h又 cosB=:,故 ac=6,由 b2=a2+c2-2accosB,可得 a2+c2=12,所以(a-c) 2=0,即 a=c,所以 a=c=V®15. 在 ABC中，角 A,B,C 所对的边分另U为 a,b,c, 点(a,b) 在直线x(s in A-si nB)+ysi nB=csi nC上.(1)求角C的值.也 月国 Is(2)若 2cos22-2sin =2 ,且 a<B，求盘A2JIJIJEJIJIR求cos Z CAD的值.ai_ 养右)-13二=f 即 ab:-c:= ab3Al H(2)因为 2cos22-2sin ?=1+cosA-1 +16.如图，在平面四边形ABCD中 ,AD=1,CD=2,AC= .,sin Z