正弦余弦换算公式

1、三角函数诱导公式 常用的诱导公式有以下几组：公式一：设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin (2k n+ a) = sin aCOS (2k n+ a)= COS atan (2k n+ a) = tan aCOt (2k n+ a) = COt a公式二：设a为任意角，n +a的三角函数值与a的三角函数值之间的关系： sin ( n+ a) =一 sin aCOS ( n+ a) =一 COs atan ( n+ a) = tan aCOt (n+ a) = COt a公式三：任意角a与-a的三角函数值之间的关系：sin (一 a) 一 sin aCOs ( a) COs

2、atan ( a) 一 tan aCOt ( a) =一 COt a公式四：利用公式二和公式三可以得到n- a与a的三角函数值之间的关系：sin (冗一 a) sin aCOs (n-a) = COs atan (n-a) = tan aCOt (n-a) = COt a公式五：利用公式一和公式三可以得到 2 n- a与a的三角函数值之间的关系: sin (2 n a) sin aCOs (2 na) COs atan (2 n a) tan aCOt (2 na) COt a公式六：n /2 土与a的三角函数值之间的关系：sin ( n /2a) cos acos ( n /2 a) sin

3、 atan ( n /2 a) cot acot ( n /2 a) tan asin ( n /2 a) cos acos ( n /2 a) sin atan ( n /2 a) cot acot ( n /2 a) tan a诱导公式记忆口诀规律总结 上面这些诱导公式可以概括为：对于k n /2 土SZ(I的个三角函数值， 当k是偶数时，得到a的同名函数值，即函数名不改变； 当k是奇数时，得到a相应的余函数值，即sin f cos;cos sin;tan cot,cot tan.(奇变偶不变)然后在前面加上把a看成锐角时原函数值的符号。(符号看象限)例如：sin(2 沪 a#sin(4

4、n/2x， k = 4 为偶数，所以取 sin a当 a 是锐角时，2n a (270 ° 360°), si n(2 a 来0，符号为 ”。所以sin(2 a )sin a上述的记忆口诀是：奇变偶不变，符号看象限。公式右边的符号为把 a视为锐角时，角k 360° +a Z)，-a、180°±,c360° a 所在象限的原三角函数值的符号可记忆水平诱导名不变；符号看象限。各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀一全正；二正弦；三为切；四余弦”这十二字口诀的意思就是说：第一象限任何一个角的四种三角函数值都是牛”；第二象限只有

5、正弦是 牛”，其余全部是”；第三象限只有正切是 牛”，其余全部是”；第四象限只有余弦是 牛”，其余全部是”上述记忆口诀，一全正,二正弦,三正切，四余弦1. 诱导公式sin (-a)=-si n(a) cos(-a)=cos(a) sin(2 -a)=cos(a) cos(2 na)=sin(a) sin(2 n +a)=cos(a) cos(2 n +a)=sin(a) sin( -a)=sin(a) cos( n-a)=-cos(a) sin( +a)=-s in(a) cos( n +a)=cos(a) tgA=ta nA=si nAcosA2. 两角和与差的三角函数sin(a+b)=si

6、n(a)cos(b)+cos(a )sin(b)cos(a+b)=cos(a)cos(b)-s in( a)s in(b) sin (a-b)=si n(a)cos(b)-cos(a)si n(b)cos(a-b)=cos(a)cos(b)+s in( a)s in(b)tan (a+b)=ta n(a)+ta n( b)1-ta n(a)ta n(b)tan (a-b)=ta n(a)-ta n(b)1+ta n(a)ta n(b)3. 和差化积公式sin (a)+si n(b)=2si n(a+b2)cos(a-b2)sin (a)-si n( b)=2cos(a+b2)si n(a -b

7、2) cos(a)+cos(b)=2cos(a+b2)cos(a-b2) cos(a)-cos(b)=-2s in( a+b2)s in( a-b2)4. 积化和差公式(上面公式反过来就得到了)sin(a)sin(b)=-12 ?cos(a+b)-cos(a-b) cos(a)cos(b)=12 ?cos(a+b)+cos(a-b)sin(a)cos(b)=12 ?sin(a+b)+sin(a-b)5. 二倍角公式sin( 2a)=2s in( a)cos(a)cos(2a)=cos2(a)-si n2(a)=2cos2(a)-1=1-2si n2(a)6. 半角公式sin 2(a2)=1-c

8、os(a)2cos2(a2)=1+cos(a)2tan (a2)=1-cos(a)si n(a)=si na1+cos(a)7万能公式sin( a)=2ta n(a2)1+ta n2(a2)cos(a)=1-ta n2(a2)1+ta n2(a2)tan (a)=2ta n(a2)1-ta n2(a2)8.其它公式(推导出来的)a?>in(a)+b ?sos(a)=a2+b2sin(a+c)其中 tan(c)=baa?>in(a)-b ?:os(a)=a2+b2cos(a-c)其中 tan(c)=ab1+si n(a)=(s in (a2)+cos(a2)21-si n(a)=(s

9、 in (a2)-cos(a2)2csc(a)=1s in(a)sec(a)=1cos(a)常用的诱导公式有以下几组：公式一：设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin (2k n+ a) = sin acos (2k n+ a) = cos atan (2k n+ a) = tan acot (2k n+ a) = cot a公式二：设a为任意角，n +a的三角函数值与a的三角函数值之间的关系:sin ( n+ a) =一 sin aCOS ( n+ a) =一 COS atan ( n+ a) = tan aCOt (n+ a) = COt a公式三：任意角a与-a的三角函数

10、值之间的关系：sin (一 a) 一 sin aCOS ( a) COs atan ( a) 一 tan aCOt ( a) =一 COt a公式四：利用公式二和公式三可以得到n- a与a的三角函数值之间的关系：sin (冗一 a) sin aCOs (n-a) = COs atan (n-a) = tan aCOt (n-a) = COt a公式五：利用公式一和公式三可以得到 2 n- a与a的三角函数值之间的关系: sin (2 n a) sin aCOs (2 na) COs atan (2 n a) tan aCOt (2 na) COt a公式六：n /2 土与a的三角函数值之间的关

11、系：sin ( n /2a) cos acos ( n /2 a) sin atan ( n /2 a) cot acot ( n /2 a) tan asin ( n /2 a) cos acos ( n /2 a) sin atan ( n /2 a) cot acot ( n /2 a) tan a诱导公式记忆口诀规律总结 上面这些诱导公式可以概括为：对于k n /2 土SZ(I的个三角函数值， 当k是偶数时，得到a的同名函数值，即函数名不改变； 当k是奇数时，得到a相应的余函数值，即sin f cos;cos sin;tan cot,cot tan.(奇变偶不变)然后在前面加上把a看成

12、锐角时原函数值的符号。(符号看象限)例如：sin(2 a sin(4 n/2x， k 4 为偶数，所以取 sin a 当a是锐角时，2na (270 ° 360°), sin(2旷a来0，符号为 ”。 所以 sin(2 a )sin a上述的记忆口诀是： 奇变偶不变，符号看象限。公式右边的符号为把 a视为锐角时，角k 360° +a Z)，-a、180°±,q360° a 所在象限的原三角函数值的符号可记忆 水平诱导名不变；符号看象限。各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀 “一全正；二正弦； 三为切；四余弦 ”这十二字

13、口诀的意思就是说： 第一象限任何一个角的四种三角函数值都是 “”； 第二象限只有正弦是 “”，其余全部是 “”； 第三象限只有正切是 “”，其余全部是 “”； 第四象限只有余弦是 “”，其余全部是 “” 上述记忆口诀 ,一全正,二正弦 ,三正切,四余弦 其他三角函数知识： 同角三角函数基本关系1同角三角函数的基本关系式倒数关系 :tan a cotasin a csclacos a sec a商的关系：sin a /cosctan c sec a /csc acos a /sin ccot c csc a /sec a平方关系：sE2( -)cosA2( aC11 + tanA2( oCsec

14、A2( a)1 cotA2( acccscA2( ac 同角三角函数关系六角形记忆法 六角形记忆法：(参看图片或参考资料) 构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。(1 )倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；(2) 商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函 数值的乘积。(主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积)。由此，可得商数关系式。(3) 平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的 平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。两角和差公式2两角和与差的三角函数公式sin ( a+ B) = sin a cos-p

15、 cos a sin Bsin ( a B) = sin a cos cos a sin Bcos(a+B)c cosa cosBsin a sin Bcos(aB)c cosa cosB+sin a sin Btan a tan Btan ( a+ B)=1 tan a tan Btan tan Btan ( a B)1 + tan a tan B倍角公式3二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幕缩角公式) sin2 a 2sin acosacos2 a cosA2( a sinA2( a2cosA2( a 1 1 2sinA2( a)2tan atan2 a 1tanA2( a)半角公式4半角的

16、正弦、余弦和正切公式(降幕扩角公式)1cosasinA2( a /2)21+cosacosA2( a/2) 21cosatanA2( a /2)1+cosa万能公式5万能公式2tan( a/2)sin a 1+tanA2( a/2)1tanA2( a/2)cos a 1+tanA2( a/2)2tan( a/2)tan a1tanA2( a/2) 万能公式推导 附推导：sin2 a=2sin acosa=2sin a cos a /(cosA2( a)+sinA2，( a )*(因为 cosA2( a)+sinA2( a)=1再把*分式上下同除 cosA2( a,可得 sin2 2tan a

17、/(+ tanA2( a ) 然后用a /2代替a即可。同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。 三倍角公式6三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3 a3sin a4sinW( a)C0S3 a= 4COSA3( a -) 3C0S a3tan a tan 八3( a)tan3 a1 3tan"2( a)三倍角公式推导 附推导：tan3 a= sin3 a /cos3 aa (si n2 a cos七 cos2 a sin a )/(cos2 a-s0s2 a sin a)=(2sin a cosA2(七)sA2( a )sincsin八3( a )/(cosA3

18、( cos a sin八2( a ) 2si nA2( a )cos a)上下同除以cosA3( a ,得:tan3 a (3tan tan八3( a )/-3ta门八2( a )sin3 a sin(2 oP a ) sin2 a cos-a cos2 a sin a=2sin a cosA2( -)1 2si门八2( a )sin a=2sin a2si门八3( a0sin 2si门八2( a)=3sin 4si门八3( a)cos3 a= cos(2 c a ) cos2 a cos sin2 a sin aa (2cosA2( o 1)cos o 2cos a sin A2( a)a2

19、cosA3( acos a (2cos a 2cosA3( a )a4cosA3( a3cos a即sin3 a3sin 4si门八3( a)cos3 a 4cosA3( a 3cos a三倍角公式联想记忆记忆方法:谐音、联想正弦三倍角: 3 元 减 4 元 3 角(欠债了 (被减成负数 )，所以要 “挣钱”音(似“正 弦”)余弦三倍角: 4 元 3 角 减 3 元(减完之后还有 “余”)注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示， 余弦的三倍角都用余弦表示。 和差化积公式7三角函数的和差化积公式a B Psin sin a 2sin - cos -2 2a p psin a sin a 2cos

20、 - sin -2 2a p apcosa cos pa2cos cos2 2a p apcosa cos pa 2sin sin2 2积化和差公式8三角函数的积化和差公式sin acos05sin (a+®+ sin (a® cos ashn®5sin ( a+ sin ( a ® cos acos ®.5cos ( a+ ®)+ cos ( a ®)sin asin® 0.5cos ( a+®) cos ( a®)和差化积公式推导附推导：首先,我们知道 sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb 我们把两式相加就得到 sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb所以,si