二项式定理(测试卷含答案)

1、 学习目标】1能熟练地掌握二项式定理的展开式及有关概念 式有关的简单问题. 知识梳理 1.二项式定理及其相关概念 二项式定理 公式(a+ b)n= Can+ Cnan 1b + + C-San kbk+ Cnbn,称为二项式定理 二项式系数 C k= 0,1，n) 通项 Tk+1 = CSan-kbk(k= 0,1,n) 二项式定理 的特例 (1 + x)n= CS+ Cnx+ Cnx2 + + Cxk+ + Qx 2二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律) (1) 对称性：Cm = cnm ； 性质：cin+1=Cp + Cn； 二项式系数的最大值：当 n是偶数时，中间的一项取得最大值，即 n

2、 1 n 1 时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即 c最大; (4)二项式系数之和： C+cn+ C+ C+-+ C=2n,所用方法是赋值法. B题型探究 类型一二项式定理的灵活应用 命题角度 1 两个二项式积的问题 例 1 (1)在(1 + x)6(1 + y)4 的展开式中，记 xmyn项的系数为 f(m, n),贝 U f(3,0) + f(2,1) + f(1,2) + f(0,3) = _ . 已知(1 + ax)(1 + x)5的展开式中 x2的系数为 5,则 a = _ . 答案(1)120 (2) -1 解析 (1)f(3,0) + f(2,1) + f(1,2) + f(

3、0,3) =c6C + C2C1+ c6c2+ c6c3= 120. CH F1E- It 第一章 计数原理 习题课二项式定理 2 会用二项式定理解决与二项 n C2最大；当 n是奇数 (1 + ax)(1 + x)5= (1 + x)5+ ax(1 + x)5. x2的系数为 c2+ aC5, 则 10+ 5a= 5，解得 a=- 1. 反思与感悟 两个二项式乘积的展开式中特定项问题 (1) 分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点. (2) 找到构成展开式中特定项的组成部分. (3) 分别求解再相乘，求和即得. 跟踪训练 1 (x+ a)(2x- x)5的展开式中各项系数的和为

4、2，则该展开式的常数项为( ) A 40 B. 20 c . 20 D . 40 答案 D 解析令 x= 1,得(1 + a)(2 1)5= 2, a= 1, 1 1 1 1 故(x+ _)(2x -)5的展开式中常数项即为(2x -)5的展开式中-与 x的系数之和. x x x x 1 (2x -)5 的展开式的通项为 Tk+1 = c525 kx52k( 1)k, x 令 5 2k = 1,得 k= 2, 展开式中 x的系数为 C 25 2X ( 1)2= 80, 令 5 2k = 1,得 k= 3, 1 展开式中-的系数为 c3X 25-3X ( 1)3 = 40, x 1 1 (x+

5、-)(2x -)5的展开式中常数项为 80 40= 40. x 命题角度 2 三项展开式问题 例 2 x+x+2 5的展开式中的常数项是 答案 63,2 2 解析 方法一 原式=2+ x +V25, 展开式的通项为 Tk1+1 = c51 2+1 5%（伍）兔1= 0,1,2,，5）. 当 ki = 5 时，T6= ( 2f= 4 2, 当 OW ki5 时，x + X 5-k1的展开式的通项公式为 T k2+1 = C；2k鳥5T-k21 k2 = c5 i 5 Lk2 *5- A2k2(k2= 0,1,2,，5- ki). 令 5-ki- 2k2= 0，即 ki+ 2k2= 5. 0 ki

6、5 且 ki Z , ki = 1, ki = 3, 或 k2= 2 k2= i. i 4 常数项为 4,2+ c5c4 2 .2+ c5C；X ( 2)3 =4 .2+ 竽+ 20 2 =筈2 方法二 原式=X+ 22；X+ 2 5 =占，+ . 2)25 i =莎X+ 2)i0 求原式的展开式中的常数项，转化为求 (X+ 2)i0的展开式中含 X5项的系数，即 Ci0(2)5. 反思与感悟 三项或三项以上的展开问题， 应根据式子的特点， 转化为二项式来解决， 转化 的方法通常为配方法，因式分解，项与项结合，项与项结合时，要注意合理性和简捷性. 跟踪训练 2 求(x2+ 3X- 4)4的展开

7、式中 X 的系数. 解 方法一 (x2+ 3X- 4)4= (x2 + 3X) - 44= C0(x2 + 3X)4 C“x2+ 3X)3 - + C4(x2 + 3X)2 - 4- C3 (X2 + 3X) + C4 - 4, 显然，上式中只有第四项中含 X 的项，所以展开式中含 X 的项的系数是一 C4 - 337- 768. 方法二 (X2 + 3X- 4)4= (x- i)(x+ 4)4= (X- i)4 -X(+ 4)4= (C4x4 Cx3+ C4X2 C4X + C4)(C0X4 + clx3 - + C2X2 - 4+ C3X - 4+ c4 - 4)，所以展开式中含 X 的项

8、的系数是一 c444 + C?43= 768. 命题角度 3 整除和余数问题 例 3 今天是星期一，今天是第 i 天，那么第 8i0天是星期( ) A .一 B .二 C.三 D .四 所求的常数&0 . 2 5 32 答案 A 解析求第 810天是星期几，实质是求 810除以 7 的余数，应用二项式定理将数变形求余数. 因为 810= (7 + 1)10 = 710 + CloX 79+ + CloX 7+ 1 = 7M + 1(M N*), 所以第 810天相当于第 1 天，故为星期一. 反思与感悟 (1)利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数 (或与除数密切关联的 数)与

9、某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了. (2) 解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式. 跟踪训练 3 设 a Z,且 0 a13，若 512 015+ a 能被 13 整除，则 a= _ . 答案 1 解析/ 512 015 + a = (52 1)2 015+ a= C2 015522 015- C2 015522 014+ &015522 013+ C2 014521 1 + a, 能被 13 整除，0W a CI21 V1, 由 C12 4 c1扌1 4+1, 解得 9.4w kw 10.4. T 0w kw n, k N*

10、, k= 10. 展开式中系数最大的项是第 11 项, 1 即 T11= (2)12 d0 4 x10= 16 896x10. 反思与感悟 解决此类问题，首先要分辨二项式系数与二项展开式的项的系数， 其次理解记 忆其有关性质，最后对解决此类问题的方法作下总结， 尤其是有关排列组合的计算问题加以 细心. 1 跟踪训练 4 已知 2x灵“展开式中二项式系数之和比 (2x + xlg x)2n展开式中奇数项的二项 式系数之和少 112,第二个展开式中二项式系数最大的项的值为 1 120 ,求 x. 解 依题意得 2n 22n- 1= 112, 整理得(2n 16)(2n+ 14) = 0，解得 n

11、= 4, 所以第二个展开式中二项式系数最大的项是第五项. 依题意得 C8(2x)4(xlg x)4= 1 120, 化简得 x4(1 +lg x) = 1, 所以 x= 1 或 4(1 + lg x) = 0, 1 故所求 x的值为 1 或 10. 当堂训练 1在 x(1 + x)6的展开式中，含 x3项的系数为( ) A. 30 B. 20 D. 10 答案 C 解析 因为(1 + x)6的展开式的第(k+ 1)项为 Tk+1 = Cxk, x(1 + x)6的展开式中含 x3的项为 C2C. 15 x3= 15x3，所以系数为 15. 1 2. x2 + X2 - 2 3的展开式中常数项为

12、( ) A 8 B 12 C. 20 D . 20 答案 C 1 1 解析 X2 + X2 2 3= x x 6展开式的通项公式为 Tk+1 = Ce( 1)kx6 2k.令 6 2k= 0 解得 k = 3. 故展开式中的常数项为一 C6= 20. 3当 n为正奇数时，7n+ C71 + C2 72+ Cn1 被 9 除所得的余数是( ) A. 0 B. 2 C. 7 D. 8 答案 C 解析 原式=(7 + 1)n cn = 8n 1 = (9 1)n 1 = 9n C1 - 91+ cn 92 + Cn 1 1)n1 + ( 1)n 1.因为 n为正奇数，所以(一 1)n 1 = 2=

13、9+ 7,所以余数为 7. 厂 a 卫 3. 已知X x 5的展开式中含x2的项的系数为 30，贝U a 等于( ) A. ,3 B. ,3 C . 6 D. 6 答案 D 厂 a U - - k 5 3 解析 & 破 5 的展开式通项 Tk+1 = C5x 2 ( 1)kak -x 2 = ( 1)kakc5x2 ，令-k=-, 则 k= 1, 3 T2= aC1 x2 ,.一 aC1= 30,二 a= 6,故选 D. 4. 若(x m)8= a+ a1x+ a2x2 + + a8x8,其中 a5= 56,贝 U ao+ a2+_ a4 + a6 + a8= . 答案 128 解析

14、由已知条件可得 a5= C3 m)3= 56m3= 56, / m= 1, 规律与方法 - - 1.两个二项展开式乘积的展开式中特定项问题 (1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点. (2)找到构成展开式中特定项的组成部分. 贝 U ao+ a2 + a4+ a6+ a8= 128. (3) 分别求解再相乘，求和即得. 2 三项或三项以上的展开问题 应根据式子的特点，转化为二项式来解决 (有些题目也可转化为计数问题解决 )，转化的方法 通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时要注意合理性和简捷性. 3 用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数 (或与除数密切关联的数)

15、与某数的和 或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面 (或者前面)一、二项就可以了. 4求二项展开式中各项系数的和差：赋值代入. 5确定二项展开式中的最大或最小项：利用二项式系数的性质. 课时作业 一、选择题 1 已知 C0+ 2Cn + 22C2+ 2ncn= 729，则 C*+ CiUC5的值等于( ) A 64 B 32 C. 63 D 31 答案 B 解析 由已知条件得(1 + 2)n = 3n = 729，解得 n= 6. cn+ C + Ci= C6 + C6+ C6= 32. 1 2二项式 x2 1 6的展开式中不含 x3项的系数之和为( ) 入 A 20 B 24 C. 30

16、 D 36 答案 A 解析 由二项式的展开式的通项公式 Tk+1= C 1)kx12-3k, 令 12 3k= 3，解得 k= 3, 故展开式中 x3项的系数为 C6 1)3= 20, 而所有系数和为 0,不含 x3项的系数之和为 20. 3. 在(1 + x)6(2 + y)4的展开式中，含 x4y3项的系数为( ) A 210 B 120 C 80 D 60 答案 B 解析 在(1 + x)6(2 + y)4的展开式中，含 x4y3的项为 C4x4C32 y3 = 120 x4y3. 故含 x4y3项的系数为 120. 4在(1 + x)n(n为正整数)的二项展开式中，奇数项的和为 A,偶

17、数项的和为 B，则(1 x2)n 的值为( ) A 0 B. AB C. A2 B2 D. A2 + B2 答案 C 解析 T (1 + x)n= A+ B, (1 x)n= A B, / (1 x2)n= (1 + x)n(1 x)n= (A + B)(A B)= A2 B2. 5. 9192被 100 除所得的余数为( ) A. 1 B. 81 C. 81 D. 992 答案 B 解析 利用 9192= (100 9)92的展开式，或利用(90 + 1)92的展开式. 方法一 (100 9)92= C92 10092 C$210091 X 9 + %10090 X 92C9100 x 99

18、1 + C92992. 展开式中前 92 项均能被 100 整除，只需求最后一项除以 100 的余数. 由 992 = (10 1)92=C921092 + C92102C9210 +1. 前 91 项均能被 100 整除，后两项和为一 919，因原式为正，可从前面的数中分离出 1 000 , 结果为 1 000 919 = 81, 9192被 100 除可得余数为 81. 方法二(90+ 1)92= C929092 + C929091 + + C90902+ C9190 + C92. 前 91 项均能被 100 整除，剩下两项为 92 X 90 + 1 = 8 281，显然 8 281 除以

19、 100 所得余数为 81. 6. 设 m 为正整数，(x+ y)2m展开式的二项式系数的最大值为 a, (x+ y)2m+1展开式的二项式 系数的最大值为 b,若 13a = 7b，则 m 等于( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 答案 B 解析/ (x + y)2m展开式中二项式系数的最大值为 cmm, a = Cmm.同理，b= C2m+11. / 13a= 7b, 13 %= 7 C+1, 2m ! 2m + 1 ! 13 = 7 , - m = 6. m! m! m+ 1 ! m! 7 (x2 x y) 5的展开式中， x5y2 的系数为 ( ) A10 B20 C 30

20、D60 答案 C 解析 易知 Tk+1= c5(x2+ x)5kyk, 令 k= 2，贝 U T3= Cs(x2+ x)3y2, 对于二项式(x2 + x)3，由 Tt+ 1= C3(x2)3t xt = c3x6- 令 t= 1，所以 x5y2 的系数为 C52C13= 30. 二、填空题 &已知(a x)5= ao+ aix+ a2x2+ + a5x5，若 a2= 80，贝 U ao+ ai+ a2+ a5 = _ . 答案 1 解析 (a x)5的展开式的通项公式为 Tk+1= ( 1)ka5kCk5xk， 令 k= 2，得 a2 = a3C52= 80， 知 a= 2， 令二项

21、展开式的 x= 1，得 15= 1= a0+ a1+ + a5. 9在(a+ b)n的二项展开式中，若奇数项的二项式系数的和为 128，则二项式系数的最大值 为 _ 答案 70 解析 由题意知，2n-1 = 128，解得 n= 8. 展开式共 n+ 1 = 8+ 1 = 9 项. 得中间项的二项式系数最大， 故展开式中系数最大的项是第 5 项，最大值为 C84=70. 10. (1.05)6的计算结果精确到 0.01 的近似值是 _ . 答案 1.34 解析 (1.05)6= (1 + 0.05)6= C6+ d X 0.05 + C2X 0.052+ C6x 0.053+ =1 + 0.3

22、+ 0.037 5 + 0.002 5 + 1.34. 11. 已知(1 2x)7= a+ a1X + a2X2+ a7x7,贝 V a1+ a2+ + a7 的值是 _ . 答案 2 解析 在(1 2x)7的二项展开式中，令 x= o,贝 y ao= 1,令 x= 1,贝 U ao+ ai + a2+ a7 = 1，所以 ai + a2 + a7= 1 一 1 = 2. 三、解答题 12. 已知(1 2x+ 3x2)7= ao + a1x+ a2x2+ a13x13 + a14x14. 求：(1)a1 + a2+ a14； (2) a1 + a3 + a5 + a3 解 (1)令 x= 1，

23、得 ao+ a1+ a2+ a14 = 27, 令 x= 0，得 ao = 1,所以 a1+ a2+ au= 27 1. 由(1)得 ao+ a1 + a2+ + a14= 27, 令 x= 1 得 ao a1+ a2a13+ a14= 67, 由一得：2(a1+ a3+ a5+ + a13)= 27 67, 27 67 所以 a1 + a3+ a5+ + a13=-2 13. 若等差数列an的首项为 a1= C1m2m A2mn(m N*)，公差是 5 23 x2 k展开式中的 2x 5v 常数项，其中 k 为 7777 15 除以 19 的余数，求通项公式 an. 5m 11 2m, 解由

24、题意可得 11 3m 2m 2, m N , /. m= 2,二 a1 = C7o A2= 100, 又 7777 15= (1 + 19 X 4)77 15 = Co7+ C?7(19 X 4) + + C7“19X 4)77 15= (19X 4)C77 + 己i (19 X 4) + + C77(19 X 4)76 19+ 5, 7777 15 除以 19 的余数为 5,即卩 k= 5. 又 Tk，+1= c5 5一k 2 飯2 k . 5k 15 =c5 5 5-2k x 3 ( 1)k , 令 5k 15= 0 可解得 k = 3, d = C I 56( 1)3= 4, 二 an=

25、 a1+ (n 1)d= 104 4n.四、探究与拓展 11 13 解得 J71 mw 13, 14. 若(x+ 2+ m)9= ao+ ai(x+ 1) + a2(x+ 1)2+ + a9(x+ 1)9,且(ao + 生 + + a8)2 (ai+ a3 + + a9)2= 39,则实数 m = _ . 答案 3 或 1 解析 在(x + 2 + m)9= ao+ ai(x+ 1) + a2(x+ 1)2+ + a9(x+ 1)9 中， 令 x= 2, 可得 ao a1+ a2 a3 + + a8 a9= m9, 即(ao+ a2 + + a8) (a1+ a3+ + a9) = m9, 令 x= o，可得(ao + a2 + + a8)+ (a1+ a3+ + a9) =(2 + m)9. T (a+ a2 + a8)2 (a1 + a3+ + a9)2= 39, -(ao+ a2 + + a8) + (a1 + a3+ + a9)(ao + a2 + + a8) (a1 + a3 + a9) = 39, (2 + m)9m9= (2m + m2)9= 39, 可得 2m+ m2 = 3,解得 m= 1 或3.