二次函数最大利润问题

1、二次函数最大利润问题 44某企业设计了一款工艺品，每件的成本是 50 元，为了合理定价，投放市场进行试销据 市场调查，销售单价是 100 元时，每天的销售量是 50 件，而销售单价每降低 1 元，每天就 可多售出5 件，但要求销售单价不得低于成本. (1) 求出每天的销售利润 y (元)与销售单价 x (元)之间的函数关系式； (2) 求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ (3) 如果该企业要使每天的销售利润不低于 4000 元，且每天的总成本不超过 7000 元，那 么销售单价应控制在什么范围内？(每天的总成本 =每件的成本X 每天的销售量) 45某水果批发商场经销一

2、种高档水果，如果每千克盈利 10 元，每天可售出 500 千克经市 场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价 1 元，日销售量将减少 20 千克. (1) 设每天盈利 w 元，求出 w 关于 x的函数关系式，并说明每天盈利是否可以达到 8000 元？ (2) 若该商场要保证每天盈利 6000 元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少 元？ 46某市政府大力扶持大学生创业. 李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件 20 元的护 眼台灯销售过程中发现，每月销售量 y (件)与销售单价 x (元)之间的关系可近似的看 作一次函数：y=-10 x+500 (1 )设李明每月获得利润为

3、w (元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ (2) 如果李明想要每月获得 2000 元的利润，那么销售单价应定为多少元？ (3) 根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于 32 元，如果李明想要每月获得 的利润不低于 2000 元，那么他每月的成本最少需要多少元？ (成本=进价X销售量) 47某商场将每件进价为 160 元的某种商品原来按每件 200 元出售，一天可售出 100 件，后 来经过市场调查，发现这种商品单价每降低 2 元，其销量可增加 10 件. (1) 求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？ (2 )设后来该商品每件降价 x元，商场一天可获利润 y 元.

4、若商场经营该商品一天要获利润 4320 元，则每件商品应降价多少元？ 求出 y 与 x 之间的函数关系式，当 x取何值时，商场获利润最大？并求最大利润值. 48某工艺品厂生产一款工艺品. 已知这款工艺品的生产成本为每件阿元.经市场调研发现： 该款工艺品每天的销售量鬥件与售价工元之间存在着如下表所示的一次函数关 系. 售价兀元 70 90 销售野件 Idf 3000 1000 11 (1) 求销售量鬥件与售价口元之间的函数关系式； (2) 设每天获得的利润为元，当售价为多少时，每天获得的利润最大？并求出最大值 . 49某商场要经营一种新上市的文具，进价为 20 元/件。试营销阶段发现：当销售单价

5、是 25 元时，每天的销售量为 250 件；销售单价每上涨 1 元，每天的销售数量就减少 10 件。 (1 )写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润 w (元)与销售单价囚(元)之间的函 数关系式； (2 )求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大 50某市政府大力扶持大学生创业. 李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件 20 元的护 眼台灯销售过程中发现，每月销售量 y (件)与销售单价 x (元)之间的关系可近似的看 作一次函数：T + 1 . (1 )设李明每月获得利润为 w (元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ (2) 如果李明想要每月获得 2000 元的利润

6、，那么销售单价应定为多少元？ (3) 根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于 32 元，如果李明想要每月获得 的利润不低于 2000 元，那么他每月的成本最少需要多少元？(成本=进价 堆肖售量) 51. 某宾馆有 50 个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天 180 元时，房间会全部住满.当 每个房间 每天的房价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房 间每天支出 20 元的各种费用.根据规定，每个房间每天的房价不得高于 340 元.设每个房 间的房价增加 x元(x 为 10 的正整数倍). (1 )设一天订住的房间数为 y,直接写出 y 与 x 的函数关系

7、式及自变量 x的取值范围； (2)设宾馆一天的利润为 w 元，求 w 与 x的函数关系式； (3 )一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？ 52. 某文具店销售一种进价为每本 10 元的笔记本，为获得高利润，以不低于进价进行销售， 结果发现，每月销售量 y 与销售单价 x之间的关系可以近似地看作一次函数： y=-5x+150 , 物价部门规定这种笔记本每本的销售单价不得高于 18 元. (1 )当每月销售量为 70 本时，获得的利润为多少元？ (2) 该文具店这种笔记本每月获得利润为 w 元， 求每月获得的利润 w 元与销售单价 x之间 的函数关系式，并写出自变量的取值范围

8、. (3) 当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润，最大利润为多少元？ 53. 某种商品的进价为每件 50 元，售价为每件 60 元，每个月可卖出 200 件；如果每件商品 的售价上涨 1 元，则每个月少卖 10 件(每件售价不能高于 72 元)，设每件商品的售价上涨 x元(x 为整数)，每个月的销售利润为 y 元。 (1) 求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x的取值范围； (2) 每件商品的售价定为多少时每个月可获得最大利润 ？最大利润是多少。 54某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共 20 台，空调的采购单价乃（元冶）与采 购数量帀（台）满足川二一 2 財+1 咒（0

9、弋可玄 20 ,阳为整数）；冰箱的采购单价片（元 /台）与采购数量乃（台）满足丹二-1%+1300 （Of 可兰 20，帀为整数）. （1） 经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的 ”， 且空调采购单价不低于 1200元，问该商家共有几种进货方案？ （2） 该商家分别以 1760 元/台和 1700 元/台的销售单价售出空调和冰箱， 且全部售完.在 （1 ）的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润. 55.张经理到老王的果园里一次性采购一种水果 ，他俩商定：张经理的采购价元/吨与采购量 x 吨之间函数关系的图象如图中的折线段 ABC所示（不包含端点 ，但包含端点 0 ）.

10、 （1 ）求与之间的函数关系式； （2）已知老王种植水果的成本是 2800 元/吨，那么张经理的采购量为多少时，老王在这次 买卖中所获的利润門最大？最大利润是多少？ 56某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为 2400 元，销售单价定为 3000 元在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品， 公司决定商家一次购买这 种新型产品不超过 10 件时，每件按 3000 元销售；若一次购买该种产品超过 10 件时，每多 购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低 10 元，但销售单价均不低于 2600 元. （1） 商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为 2600 元？

11、（2） 设商家一次购买这种产品 x件，开发公司所获的利润为 y 元，求 y （元）与 X （件） 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围. （3） 该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一 次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况 为使商家一次购买的数量越多， 公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元 ？（其它销售条件不变） 57. 国家推行节能减排低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进 A , B 两种型号的低排量汽车， 其中 A 型汽车的进货单价比 B 型汽车的进货单价多 2 万元，花 50 万元购进 A 型

12、汽车的数量与花 40 万元购进 B 型汽车的数量相等，销售中发现 A 型汽车的 每周销量 I丿（台）与售价匡（万元/台）满足函数关系式 1_ _ 销量口(台) 与售价 pr 万元/台)满足函数关系式 + 1 列. (1 )求 A、B 两种型号的汽车的进货单价； (2)已知 A 型汽车的售价比 B 型汽车的人售价高 2 万元/台，设 B 型汽车售价为 万元/台每 周销售这两种车的总利润为 F 了万元，求*与，的函数关系式，A、B 两种型号的汽车售价 各为多少时，每周销售这两种车的总利润最大？最大总利润是多少万元？ 2 2 58. (1)已知方程 x + px + q = (p 4q0 的两根为

13、Xi、X2，求证：xi + X2 =- p, xi X2= q . 2 (2)已知抛物线 y= x + px + q 与 x轴交于点 A、B，且过点(一1, 1),设线段 AB 的 2 长为 d,当 p 为何值时，d 取得最小值并求出该最小值. 2 59. 已知关于 x的一元二次方程 kx + (3k+1 ) x+3=0 (k 旳。 (1) 求证：无论 k 取何值，方程总有两个实数根； 一 2 (2) 若二次函数 y= kx + (3k+1) x+3 的图象与 x 轴两个交点的横坐标均为整数，且 k 为整 数，求 k 的值。 60. 某商品的进价为每件 40 元，售价为每件 50 元，每个月可

14、卖出 210 件；如果每件商品的 售价每上涨 1 元则每个月少卖 10 件(每件售价不能高于 65 元).设每件商品的售价上涨 x元(x 为正整数)，每个月的销售利润为 y 元. (1 )求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围； (2 )每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润 ？最大的月利润是多少元 ？ (3) 每件商品的售价定为多少元时， 每个月的利润恰为 2200 元？根据以上结论，请你直接 写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于 2200 元？,B 型汽车的每周 44. 考点：2.4 二次函数的应用 试题解析： 试题分析：(1)根据 利润=(售价-成本)

15、X销售量”列出方程； (2 )把(1)中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答； (3)把 y=4000 代入函数解析式，求得相应的 x 值；然后由 每天的总成本不超过 7000 元” 列出关于 x的不等式 50 (-5X+550 ) 7000 通过解不等式来求 x的取值范围. 试题解析：(1) y= (x-50) 50+5 (100-x) =(x-50) ( -5x+550) 2 =-5x +800 x-27500 2 二 y=-5x +800 x-27500 (50 x 100 2 (2) y=-5x +800 x-27500 2 =-5 (x-80) +4500

16、 -a=-5 v 0, 二抛物线开口向下. T 50w x 100 对称轴是直线 x=80 , /当 x=80 时， y最大值 =4500; 2 (3 )当 y=4000 时，-5 (x-80) +4500=4000 , 解得 X1=70, X2=90. 当 70 x82 82w xw 90 / 50w xw 100 -销售单价应该控制在 82 元至 90 元之间. 2 答案：(1) y=-5x +800 x-27500 ; ( 2) x=80 时，y最大值=4500; ( 3)销售单价应该控制在 82 元至 90 元之间. 45. 考点：2.4 二次函数的应用 试题解析： 试题分析：(1)设

17、每千克涨价 x元，利润为 y 元，根据总利润=每千克利润 X 数量建立式子， 求出 y 与x 之间的关系，化成顶点式即可求出结论， (2 )把 y=6000 代入(1)的解析式，根据题意使顾客得到实惠就可以得出结论. 试题解析：(1)设每千克涨价 x元，利润为 y 元，由题意，得： y=(10 + xX50 - 20 x) = -20(x-y)3 +6125 a= - 20v 0, 抛物线开口向下，当 x=7.5 时，y最大值=6125，每天盈利不能达到 8000 元. (2)当 y=6000 时，6000 = (10 +(5(X1-20 力，解得：珂二 10 ,勺二 5 要使顾客得到实惠，

18、x=5 . 答：每千克应涨价为 5 元. 答案： （1） ：.:二，不能；（2） 5. 46. 考点：2.4 二次函数的应用 试题解析： 试题分析：（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润 =（定价-进价）X销售量，从而列出关系式，然后求二次函数的最大值；（ 2）令 w=2000 , 然后解一元二次方程，从而求出销售单价；（ 3）根据抛物线的性质和图象，求出每月的成 本. 试题解析： 解：（1）由题意，得：w = （x 20） = （x 20） （ 0 50U ） =-1 衣+ ?囿工-血血 r - - - 35 2a 答：当销售单价定为 35 元时，每月可获得最

19、大利润. （2）由题意，得： 丨| J丨丨 II ； I I解这个方程得: 答：李明想要每月获得 2000 元的利润，销售单价应定为 30 元或 40 元. （3） 抛物线开口向下. 当 30W x2000, /XW 32 当 30W x2000. 设成本为 P （元），由题意，得: 宀巫1卄 颈|二-加+1 叽叩 丨：-： , P 随 x的增大而减小.当 x = 32 时，P最小=3600. 答：想要每月获得的利润不低于 2000 元，每月的成本最少为 3600 元. 答案：见解析 47. 考点：2.4 二次函数的应用 试题解析: 试题分析：（1）利润=单价利润 X 数量；（2）根据题意列出

20、关于 x的一元二次方程进行求 解；利用二次函数的性质求出 x 和 y 的值. 试题解析： （1） 100X （200 160） =4000 （元） 、根据题意得： （200 160 x） （ 100+5x ） Xi = 30, X2 = 40 . =4320 化简得：.20 x+64=0 解得：可=4 帀=16 经检验工=4，可=16 都是原方程的解，且符合题意 . 答：商店一天要获利 4320 元，则商品应降价 4 元或 16 元. 、根据题意得： y ( 200 160 x)( 100+5x) =-1 卯 +4500 当 x=10 时，商场获得最大利润为 4500 元. 答案：(1) 40

21、00 元 (2)4 或 16 x=10 时，4500 元 48. 考点：2.4 二次函数的应用 试题解析： 试题分析：(1)设 y=kx+b (k0，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答; (2)根据定价求出销售量，再根据利润等于每一件的利润乘以销售量计算即可得解. 试题解析：(1)设 y=kx+b (k0 , /x=70 时,y=3000 , x=90 时,y=1000 , = 3000 = 1000 = -100 b10000 ， 所以 y=-100 x+10000 ； (2)定价为 80 元时，y=-100 X80+10000=2000 , 每天获得的利润=(80-60) X2000=

22、40000 元. 答案：(1) y=-100 x+10000 ; ( 2) 定价为 80 元,40000 元. 49. 考点：2.4 二次函数的应用 试题解析： 试题分析：(1)根据利润=(单价-进价)X销售量，列出函数关系式即可； (2)根据(1)式列出的函数关系式，运用配方法求最大值； 试题解析：(1)由题意得，销售量 =250-10 (x-25) =-10 x+500 , 则 w= (x-20) ( -10 x+500) 2 =-10 x +700 x-10000 ; 2 2 (2) w=-10 x +700 x-10000=-10 ( x-35) +2250 . / -10 v 0,

23、-函数图象开口向下，w 有最大值， 当 x=35 时，w max=2250 , 故当单价为 35 元时，该文具每天的利润最大 2 答案：(1) w=-10 x +700 x-10000;(2)单价为 35 元时，该文具每天的利润最大 50. 考点：2.4 二次函数的应用 试题解析： 试题分析：（1）根据每月获得利润=一件的利润X每月销售量，用 X 表示出 W，然后根据二 次函数知识解决问题；（2）令 W=2000.得 r - .!，解方程即可；（3） 由（2）可得 ，又物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于 32 元，所以 兀2 ,】30兰X兰32. (2)令 W=2000，则(x-20

24、X-10 x+ 50) - 2000，解得:可=30 （3）由题意得：和 UD 且 R 邙丁|, .孔WE乞卫，当 180y 200，成本满 足- -1 -,所以成本最少要 3600 元 答案：见解析 51. 考点：2.4 二次函数的应用 试题解析： 试题分析：（1）理解每个房间的房价每增加 x 元，则减少房间间，则可以得到 y 与 x 10 之间的关系； （2） 每个房间订住后每间的利润是房价减去 20 元，每间的利润与所订的房间数的积就是利 润； （3） 求出二次函数的对称轴，根据二次函数的增减性以及 x 的范围即可求解. 试题解析：（1）由题意得： 2 (3) w=- x +34x+80

25、00=- 抛物线的对称轴是：x=170，抛物线的开口向下，当 xv 170 时，w 随 x的增大而增大, 但 0W xw 16,0因而当 x=160 时，即房价是 340 元时，利润最大，试题解析：（1）怵=（工-20）=（x 20） (-10 X +500) = . : I ，所以 当 x =35 时, =2250 y=50- 且 0 x0 r18 -自变量的取值范围为 (3) - - - - - 7 a=-50 当1 :一二._1:时，w 随 x的增大而增大， 当 x=18 时，w 有最大值=480 元 答：当销售单价定为 18 元时，每月可获得最大利润，最大利润为 480 元. 答案：(

26、1) 420 元；(2) - . I (M】.)；(3)当销售单价 定为 18 元时，每月可获得最大利润，最大利润为 480 元 53. 考点：2.4 二次函数的应用 试题解析： 试题分析：(1)根据题意，y= (60-50+x )( 200-10 x), 2 此时一天订住的房间数是: 答案：(1 )y=50-】，且0 “ 160且x为10的正整数倍. (2) w= x +34x+8000 ； (3) 2 整理得，y=10 x +100 x+2000 (0 x 12 ； 2 (2 )由(1) 得 y=-10 x +100 x+20002 =10 (x-5) + 2250, 当 x=5 时，最大

27、月利润 y 为 2250 元。定价 65 元 2 答案： (1) y 10 x +100X+2000 ( 01200 解不等式得,吐 1 仁 解不等式得，曲兰”， 所以，不等式组的解集是 二_匸， /x为正整数， 二 x 可取的值为 11、12、13、14、15, 所以，该商家共有 5 种进货方案； (2)设总利润为 W 元，空调的采购数量为 x台， ，出=-102 +1300 = -10(20-T)-F1300= 1+1100 则 w= ：一一一 | _|11 -T： -= 1760 x-(-204-1500)z-FC1700-10 x-l 100)(20-z) =丸”= 30J-劳+975

28、0 , 当k A 9时，W 随 x的增大而增大， 二 当 x=15 时，W 最大值= | | J I _ I (元)， 答：采购空调 15 台时，获得总利润最大，最大利润值为 10650 元. 答案：(1) 5；( 2) 15, 10650. 2 55. 考点：2.4 二次函数的应用 试题解析： 试题分析：(1)根据函数图象得出分段函数解析式，注意 X 的取值范围; (2)利用函(1)中函数解析式表示出 w，进而利用函数性质得出最值. (2 )根据上式以及老王种植水果的成本是 2 800 元/吨， 由题意得：当 0 v x 20 时， W= (8000-2800) x=5200 x , W 随

29、 x的增大而增大，当 x=20 时，W最大=5200X20=104000 元, 当 20v x 40 时， 2 W= (-200X+12000-2800 ) x=-200 x +9200 x , 当 x=23 时， W最大 =105800 元. 故采购量为 23 吨时，老王在这次买卖中所获的利润 W 最大，最大利润是 105800 元. r=3oooCoxso), 一 答案： j- - x 采购量为 23 吨时，老王在这次买卖中所获的利 y = -200 x-：2000(20J: 50 时，y= ( 2600 2400) x=200 x。 E盂为域) .萝=：护十700(10 v富兰5山 且筈

30、为整数) 如吆(血朋为整数) 2 (3) 由 y= 10 x+700 x 可知抛物线开口向下，当 此时，销售单价为 3000 10 (x 10) =2750 元, 答：公司应将最低销售单价调整为 2750 元。试题解析: 1)根据图象可知当 0 v XW 20时, r=8000C0 x20), =-200J+12000C2040) 时，利润 y 有最大值, 2x(-10) 答案：（1 商家一次购买这种产品 50 件时，销售单价恰好为 2600 元。（2） 聶盒1Q,且蛊为斟） y = 50,且 Z 为整数） 57. 考点：2.4 二次函数的应用 试题解析： 试题分析：（1 ）设 A 种型号的汽

31、车的进货单价为 m 万元，根据花 50 万元购进 A 型汽车的 数量与花 40 万元购进 B 型汽车的数量相等，可列出方程 据每周销售这两种车的总利润 ！=每周销售 A 型汽车的利润+每周销售 B 型汽车的利润，可 求出尸与，的函数关系式，然后利用二次函数的性质可解决问题 试题解析：解：（1）设 A 种型号的汽车的进货单价为 m 万元， 解得：m=10, 检验：m=10 时，m0, m - 2 工0 故 m=10 是原分式方程的解， 故 m - 2=8 . 答：A 种型号的汽车的进货单价为 10 万元，B 种型号的汽车的进货单价为 8 万元；6 分 （2 ）根据题意得出： W= （t+2 -

32、10） -（t+2） +20+ （t- 8）（ - t+14） 2 =-2t +48t - 256, 2 =-2 （t- 12） +32 , a= - 2v 0，抛物线开口向下， 当 t=12 时，W 有最大值为 32, 12+2=14, 答：A 种型号的汽车售价为 14 万元/台，B 种型号的汽车售价为 14 万元/台时，每周销售这 两种车的总利润最大，最大总利润是 32 万元. 答案：（1 ）A 种型号的汽车的进货单价为 10 万元，B 种型号的汽车的进货单价为 8 万元（2） A 种型号的汽车售价为 14 万元/台，B 种型号的汽车售价为 14 万元/台时，每周销售这两种 车的总利润最大

33、，最大总利润是 32 万元. 58. 考点：2.5 二次函数与一元二次方程 试题解析： （1）根据一元二次方程根与系数的关系可直接证得。 50 r ID m _ 2 5 40 m m - 2 依题意得: ? ，解方程即可；（2）根 【教材中没有元二次方程根与系数的关系可先根据求根公式得出 X1、X2的值，再求出两根的 和与积即可】 2 (2)解：把(-1 , - 1)代入 y=x +px+q 得 p-q=2，即 q=p - 2。 、 2 设抛物线 y=x +px+q 与 x 轴交于 A、B 的坐标分别为(xi, 0)、( X2, 0)。 T d=|xi - X2|, 2 2 2 2 2 2 二

34、 d = (xi - X2)= (xi+X2) - 4 Xi?x=p - 4q=p - 4p+8= ( p - 2) +4。 2 当 p=2 时，d 的最小值是 4。 答案： 2 be (1)证明： T a=1, b=p , c=q, p - 4q0, 迺十签 = _ = _ P，两-耳=_=号(2) a a 2 当 p=2 时，d 的最小值是 4。 59. 考点：2.5 二次函数与一元二次方程 试题解析： 2 2 试题分析：(1)先计算判别式得值得到 = (3k+1 ) -4k %= ( 3k-1 )，然后根据非负数的 性质得到AAQ则根据判别式的意义即可得到结论； 1 (3k+1 ) x+3 的图象与 x 轴两个交点的横坐标分别为 -,和-3，然后根据整数的整除性可确 定整数 k 的值. 2 试题解析：(1)证明： = (3k+1 ) -4k 為 2 =(3