电动力学复习总结第一章电磁现象的普遍规律答案

1、第一章电磁现象的普遍规律一、填空题1. 已知介质中的极化强度 P AeZ ，其中 A 为常数，介质外为真空，介质中的极化电荷体密度P；与 P 垂直的表面处的极化电荷面密度P 分别等于和。答案: 0, A, -A2. 已知真空中的的电位移矢量 D =（5xy ex + z2 ey ） cos500t ，空间的自由电荷体密度为。答案 : 5 y cos500t3. 变化磁场激发的感应电场的旋度等于。答案 :vBt4. 介电常数为 的均匀介质球，极化强度 P Aez A 为常数，则球内的极化电荷密度为，表面极化电荷密度等于答案 0, Acos5. 一个半径为R 的电介质球 ,极化强度为 P Kr，电

2、容率为,则介质中的自由r 2电荷体密度为,介质中的电场强度等于.答案 :f（0）r2KrKr 20二、选择题1. 半径为 R 的均匀磁化介质球，磁化强度为 M ，则介质球的总磁矩为A MB.4R 3MC.3MD. 034 R3答案 :B2. 下列函数中能描述静电场电场强度的是A 2xex3yeyxezB.8cos eC. 6xyex3 y 2eyD.aez （ a 为非零常数）答案: D3. 充满电容率为的介质平行板电容器，当两极板上的电量qq0 sint （很小），若电容器的电容为 C，两极板间距离为 d，忽略边缘效应，两极板间的位移电流密度为：A q0cos tB.q0sin tC.q0s

3、in tD.q0 cos tdCdCdC答案 :A4. 下面矢量函数中哪一个不能表示磁场的磁感强度?式中的 a 为非零常数柱坐标)B.ayexaxeyC.axexayeyD.ar eA ar er (答案 :A5. 变化磁场激发的感应电场是A. 有旋场 , 电场线不闭和B.无旋场 , 电场线闭和C.有旋场 , 电场线闭和D.无旋场 , 电场线不闭和答案: C6. 在非稳恒电流的电流线的起点 . 终点处 , 电荷密度 满足A.JB.0C.0D.0tt答案: D7. 处于静电平衡状态下的导体 , 关于表面电场说法正确的是 :A. 只有法向分量 ;B.只有切向分量 ;C.表面外无电场 ;D.既有法向

4、分量 , 又有切向分量答案 :A8. 介质中静电场满足的微分方程是A.C.BE,E;0tE,E0;0B.D,E0;D.D,EB;t答案 :B9. 对于铁磁质成立的关系是A.BHB.B0HC.B0(HM)D.B(HM)答案 :C10. 线性介质中 , 电场的能量密度可表示为A.1;B.1D E;C.D.D E22答案 :B三、思考题1、有人说：“当电荷分布具有某种对称性时，仅要根据高斯定理的积分形式这一个方程就可以求解静电场的分布。 ”对此你的看法如何？答：从物理意义上看，高斯定理只反映了静电场性质的一个侧面（有源场） ，它对静电场性质的描述是不完备的， 只有在特殊情况下， 才能依据这种不完备的

5、描述，来确定电场的分布。 在电场分布不具有高度对称的情形下， 应配合环路定理，才能充分描述静电场。从数学上看，在积分结果一定情况下， 被积函数不能唯一确定， 一般情况下，v不能单靠高斯定理求解 E 的函数关系，只当电场分布高度对称时可以作出这样的高斯面。高斯面应满足：（1）高斯面一定要通过待求场强的那一点； （2）高斯面vvv的积分部分或者与E 垂直，或者与 E 平行；（ 3）与 E 垂直的那部分高斯面上各点v场强相等；（4）高斯面的形状比较简单， 只有这样 E 作为常量可从积分号中提出，v才能由高斯定理求解出E 。2、有人说：“只要力线不是涡旋状的，矢量场的旋度就一定等于零。”这句话对否？你

6、能否找到一个反例？答：这句话不对。力线是涡旋状的场，一定会有一些点的旋度不等于零。是有旋场；但力线不是涡旋状的场，却不一定处处无旋。例如：匀速运动的点电荷，电vvB0。场线仍然不是涡旋状的，但电场的旋度不等于零 , Et3、平行板电容器的极板面积为S，板间距离为 d，所带电荷为Q ，求任一板所Q 2Q2受的电场力是 0 s，还是 2 0s 。答：因每个极板受的力是另一板产生的电场对它的作用力，每个极板产生的电场为，所以F2 sQ2202 02 0s4、有人说：“当稳恒电流的分布具有某种对称性时， 只要根据安培环路定律就可以求解稳恒电流的磁场分布” 。对此你的看法如何？答：可以利用环路定理求解磁

7、场的电路，要求找到这样的积分路径在此路径上各vv v点 B 沿路径方向的分量B cos B, dl 相同，可以把它从积分号中提出来，即vvv vv，这时只对路径积分， 而这个路径积分很容易算出的；蜒LdlB cos B, dlLBdl还有一种情况是，在所选积分路径上的某些部分vv0 ，在其余部分B cos B, dlvvv，但是，如果电流回路是任意的，Bcos B, dl 为一恒量，这时也可以求出磁场 Bvvv磁场没有较强的对称性，我们就只能由安培环路定理计算B的环流 ?L Bdl ，而v求不出 B。5、有人说电磁场的场源是电荷、电流，有人说除此之外还有变化的电场和变化的磁场，你的看法如何？答

8、：后者说法正确。因为变化的磁场激发电场（法拉第电磁感应定律） ，变化的电场也激发磁场（麦克斯韦位移电流假设） 。6、说明传导电流和位移电流的异同。答：区别传导电流：（1）由电荷运动产生与电荷宏观定向移动相关； （2）存在于导体中，方向始终与电场方向相同，vjvE ；（3）有热效应，遵从焦耳楞次定律。位移电流：（ 1）由变化的电场产生，与电荷宏观运动无关；（2）可存在于真空、vvdD ；（ 3）在导体介质和导体中，方向与电场方向可以相同，也可以相反，j Ddt中无热效应，在介质中发热，不遵从焦耳楞次定律。联系：（1）都可以激发磁场；（2）都遵从安培环路定理； （3）都具有相同的单位安培。7、有人

9、说：“高斯定理本是由库仑定律推证出来的， 当 随时间改变时， 高斯定理仍然成立，但库仑定律却需要修改。推证出发点的适用范围小于结果的适用范围，这不合逻辑。应该如何解释这个问题。答：库仑定律是直接从实验中总结出来的， 是整个静电学理论的实验基础， 由于它只是从电荷相互作用的角度研究静电现象局限性较大， 只适用于相对静止的点电荷的场。高斯定理和环路定理是库仑定理的推论， 由于它们是用场的观点， 从两个不同侧面， 对静电场的基本性质给出了完整描述。适用于一切场源电荷激发v的场，这是经过实验验证，说明高斯定理E更具有普遍意义。0当然，从另外一个角度， 也可以先从实验中总结出高斯定理和环路定理， 再由它

10、们导出库仑定律。 比如：可根据检验空腔导体内不带电的实验得出高斯定理， 再将高斯定理应用于中心置一点电荷的闭合球面， 即可导出库仑定理， 因此高斯定理和环路定理又叫静电场第一、二定律，此时库仑定理只处于推论地位。v8、有人说：“只要自由电荷分布相同， 有介质存在时静电场中 D 矢量与真空中静vvv电场 E0 的关系都是 D0 E0 ”。这种说法对吗？正确的说法是什么？答：不对 . 正确的说法是 :当自由电荷分布相同时， 而且均匀介质充满整个空间或vv者分区充满整个空间 ,但分界面必须是等势面, 才有 D0 E0 .9、根据边值关系完成下列场矢量图。1）3）22 1 ，f0 ，已知 D 2，画出

11、 D 1； 2）22 1 ，f0 ，已知 H 2，画出 H 1； 4）22 1 ，f22 1 ，f0 ，已知 E1，画出 E2；0 ，已知 B1，画出 B2。答：（a）D2 nD1n , D2t2D1t ，（b） E1n 2E2 n , E2tE1t （ c） H 1n 2H 2n , H 2tH 1t ，（ d） B1nB2 n , B2t 2B1tnnD 2E2DtEt1(a)(b)nnH2B2ttBH 1(c)(d)思考题 2-910、 说明体电荷密度和面电荷密度的定义和它们之间的关系。答：所谓电荷的体密度，就是单位体积内的电荷。考虑带电体内某点P，取一体积元v 包含 P 点，设v 内全

12、部电荷代数和为q ，则 P 点电荷体密度定义为elimq ， v0 是数学上抽象，实际只要v 宏观上看足够小即可。e 称v 0vq ， s也应是宏观看很为电荷面密度，它的物理意义是单位面积电荷e lims 0s小，微观看很大。我们可以将表面层抽象出一个没有厚度的几何面，如下，可以设表面层厚度为，层内电荷体密度e ，取面积为s的一块表面层，它的体积为s ，其中包含电荷qes ， eq,设想0 ， e，保持乘积 elimes 0 s为有限值。11、 在双线传输的直流电路中，电磁能流是由电源流向负载的，还是由正极流向负载，再把剩余的带回负极？答：是由电源流向负载的。 在直流电路中电磁能并非通过电流传

13、输， 而是通过导线周围的电磁场场从电源传输至负载。12、 通过导体中各处的电流密度不同，那么电流能否是恒定电流？为什么？举例说明。答: 可以是恒定电流。 恒定电流只是要求 ,v0, J 0 . 某处电流密度t与时间无关 . 但可以是空间坐标的函数.如恒定电流通过粗细不均的导体，导体中各处的电流密度不同.13、 简述真空中麦克斯韦方程组的建立过程。由高斯定理和库仑定律得真空中静电场的微分方程：vv0E，E0由毕奥萨伐尔定律得真空中静磁场的微分方程：v0, ，vvBB0 J加上电磁感应定律和位移电流假设得真空中麦克斯韦方vvv,BEEt0vvvvEB 0,B0 J0 0t14、 考察真空中的麦克斯

14、韦方程组,总结电场、磁场的产生方式及性质。电场有两种产生方式：a. 电荷产生的电场是有源无旋场，b .变化的磁场产生的电场是无源有旋场。磁场有两种产生方式：a .电流产生的磁场是有旋无源场，b. 变化的磁场产生的电场是有旋无源场。15、 介质中可以有几种电流密度？v答：三种（ 1）自由电流密度 J f ；（2）在外磁场下分子电流的规则取向形成的磁v化电流密度 JM ；（3）电场变化时介质的极化强度P 发生变化产生的极化电流密v度 JP。16、 麦克斯韦方程组描述了电磁场的规律,而微分形式的麦克斯韦方程组却不能用于介质界面上，是否能得出在介质界面上电磁规律失效？答：不能，在介质界面上，场量会有跃

15、变，因而场量的微分不再存在，使微分方程失效，而不是电磁规律失效；积分形式的麦克斯韦方程组仍然有效。17、 什么因素引起界面两侧D ， E ， P 法向分量跃变？什么因素引起界面两侧 H ,B,M 切向分量跃变？ruuruurf 引起 D 法向分量的跃变。答： nD2D1f：自由电荷面密度rvv, 极化电荷面密度 p 引起 P 法向分量的跃变。pnP2P1rvvfp；总电荷面密度p 引起 E 法向分量的跃变。nE2E1f0rvvvf, 自由电流线密度 v f引起 H 切向分量的跃变。n( H 2H 1 )rvvvM ; 磁化电流线密度 vM 引起 M 切向分量的跃变。n( M 2M 1)rvv0

16、 ( v fvM ) ；总电流线密度 vfvM 引起 B 切向分量的跃变 .n( B2B1)18、 静场中存在能流吗？试证明在同一空间中存在静止电荷的静电场和永久磁vvvvv铁的磁场 .此时可能存在物理量 E, H，以及 SEH ,但没有能流。对空间任vvv?(E H)dS 0意闭和曲面，有 s答：静场中不存在能流， 因为能流是描述电磁场的能量运动的物理量，静场虽然具有能量，但能量是静态分布，不传播，不运动。vvvvv(vvvv证明： ( E H ) dS( EH ) dvE)HE (H )蜒ss对静电场，vvE0 ，又因为空间只有 永久磁铁，传导电流 J 0 。且为静场vvv根据 Maxwe

17、ll 方程DHJ0vvvt故?(EH )dS0svvrvB?E dltdS19、 我们在推导 Maxwell 方程 Ls，应用了电磁感应定律rururdvdBd Sdt, ?EdldtL当回路相对于观察者（实验室）静止不动时，上式变为vrvvvvB，B?EdldSEtLst我们有知道不仅磁场变化可以产生感应电动势， 导体回路运动时也可以产生感应电动势，显然上式推导过程中未考虑动生电动势，那么的出的结果具有普遍性吗？你怎样理解？答：虽然结果是从特殊情况得出的，但却是普遍成立的。下面来讨论普遍情况：当回路相对于观察者 （实验室）以速度 v 沿着某一方向运动时， dt 时间内回路上vvv线元 dl

18、运动过的位移 dlvdt ，则ur urvvd B d Svv d vvv dv vBBdtstdSB SstdSB(dl dl )sdtsdtssvvvvvBtdSB (dlv)svvvvvBtdS(vB)dlsvvvv( vvv所以B)?EdlstdSvBdlLs第一项代表回路 L 不动 ,而磁场 B 变化产生的感生电动势 .第二项代表磁场 B 恒定v不变而回路 L 运动产生的动生电动势，但等式左端的 E 是相对于 回路 L 的感生电场，不是相对于 实验室的， 磁场 B 是实验室参考系中的测量结果。vvvvvvB，?(EvB) dltdSLs令vvvvEEvB ，则有：vvvvBE dld

19、S?stLvvvv其中 EEvB 即是实验室参考系中的测量的 感生电场。 变换式就是不考虑相对论效应时，不同 参考系中电磁场的变换关系，参阅第七章狭义相对论内容。四、计算与证明1. 若干运算公式的证明( )(c)(c )cc( f )( f c )( c f )() f ccf() ff( f )( fc )( c f )()f ccf() ff( fg)( fgc )( f cg)gc (f )f c (g)(f ) gf(g)( fg)( fgc )( f cg)(gc) f(f ) gc(g) f c( f c) g( g ) f(f ) g ( g) f( f) g( f g)( f

20、c g)( fgc )(g f c )( f gc )（利用公式a(bc)c(ab)(ca)b 得）f c(g)( f c) ggc(f )( gc) ff(g) ( f)gg (f )( g) f2. 根据算符 的微分性与向量性，推导下列公式：(AB) B (A) (B)AA(B) (A )BA(A)1A2( A)A2解：（1）( AB)(A Bc )(BAc )Bc(A) ( Bc) A Ac (B) ( Ac) BB (A) (B)AA(B) (A)B（ 2）在（ 1）中令 AB 得：(AA) 2A(A) 2(A )A，所以A (A)1(A A) (A )A2即A (A )1A2( A)

21、 A23. 设 u 是空间坐标 x, y, z 的函数，证明：f (u)dfu，A(u)udA ，A(u)udAdududu证明：（1）f (u)f (u)f (u)dfudfudfuf (u)xexyeyzezdux exdu y eydu z ezdf ( u exu eyu ez )dfuduxyzduAx (u)A (u)Az (u)dAxudAyudAzu（2）A(u)yxyzduxduyduz( dAx exdAydAz ez ) (u exu eyu ez )udAeydududuxyzdudAexeyez（3）uu / xu / yu / zdudAx/ dudAy / dud

22、Az / dudAzudAyudAxudAzudAyudAu()ey(xy)exduzduxxdu)ezdudu zduyAz (u)Ay (u)exAx (u)Az (u)Ay (u)Ax (u)yzzx ey xyezA(u)4. 设 r( xx) 2( yy) 2( zz)2为源点 x 到场点 x 的距离， r 的方向规定为从源点指向场点。（1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：rrr / r；(1 / r ) (1/ r )r / r 3；(r / r 3 )0 ；（2）求(r / r 3 )r， (r / r 3r，)(a0 ，)r，(r(a0) 。r ) ，

23、 E 0 sin( kr ) 及 E 0 sin( kr )，其中 a、 k及 E 0均为常向量。（1）证明： r(xx) 2( yy)2( zz) 21rr) (xx)e(y y )e(zz )e r /r(1/xyz r(1/ r ) ( xx )ex( yy ) ey( z z )ez r / r2可见rr1d11rrrdrrr 2r 3r 1d1 r1 rrrdrrr 2r 3可见1/ r 1/ r34(r / r 3 )(1/ r 3 ) r d1r rdrr 3(r / r 3 )(1/ r 3 ) r (1/ r 3 )r(1/ r 3 )r3r004rrr3r1r(1/ r )

24、3r3 rr30，(r0)（2）解：r 4rr 31r(xeyeze) ( x x )e( y y )e( z z )e 3xyzxyzexeyez2r/ x/y/z0xxyyzz3(a)r(axa yaz)( xx )ex ( yy) ey( zz )ez xyzax exay eya zeza4(a r )r (a) ( r)a a (r ) (a)r因为， a 为常向量，所以，a0 ，(r)a0，又r 0 ，(ar ) ( a )ra5 E0sin(k r )(E)sin( kr )E0sin( k r )0E0 为常向量，E00 ，而sin(kr )cos(kr )(kr )cos(k

25、 r )k ，所以 E0 sin( kr )k E 0 cos(kr )6 E 0 sin(kr )sin(kr )E 0kE0 cos(k r )dVfdSf ，应用斯托克斯（）定理证明5. 应用高斯定理证明VSStokesdSdlSL证明：（I）设 c 为任意非零常矢量，则cdVfdV c (f )VV根据矢量分析公式(AB)(A)BA(B)，令其中 Af ， Bc，便得( f c)(f ) cf (c)(f ) c所以cdVfdV c (f )dV( fc)( fc)dSVVVc(dSf )cdS f因为 c 是任意非零常向量，所以dVfdSfV（II ）设 a 为任意非零常向量，令 F

26、a ，代入斯托克斯公式，得dSFd（1）SFl（1）式左边为：S(a) dSaadSSSa dSSadSSadSSa dSadSS（ 2）（1）式右边为：adladl（ 3）所以adSadlS（ 4）因为 a 为任意非零常向量，所以dSdlS6. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为p(t)( x, t)x dV V，利用电荷守恒定J0dpJ ( x ,t )dVt律证明 p 的变化率为： dtV证明：方法（ I）dpd(x ,t)x dV(x , t) x dV( x ,t) x dV( J )x dVdtdtVVtVtVdpe1( J )x1 e1dVx1( J)dV (x1J )( x1 )J

27、 dV dtVVVS x1JdSV J x1 dV 因为封闭曲面 S 为电荷系统的边界，所以电流不能流出这边界，故Sx1JdS0 ，dpe1VJ x1dV dtdp e2dp e3同理VJ x2 dV ，J x3dV dtdtV所以dpJdV dtV方法（ II）dpd(x ,t) x dV(x ,t)x dV(x ,t)( J)x dVdtdtx dVVV tVtV根据并矢的散度公式( fg )(f ) g( f) g 得：( Jx )( J ) x (J) x (J )x Jdp (Jx )dV dtV7. 若 m 是常向量，证明除 Rm R / R3 的梯度的负值， 即方向由原点指向场点。JdV dS (Jx )JdV JdV VVV0 点以外，向量 A （ mR）/ R3的旋度等于标量A ，其中 R 为坐标原点到场点的距离，证明：（1/ r )r / r 3A( m r ) m (1 )(1 ) m r 3rr(m )1(m)1 (1 )m (1 )mrrrr(m )1 2 1 m2 (1/ r )rr其中0 ， （ r0 ）A(m)1，（ r0 ）( m3 r )r1)又 m (rrm (1) (1 ) (m ) (m)(1) (1) mrrrr(m)(1)所以，当 r0 时，rA8