第五章平面向量与直线平面简单几何体

1、学习必备欢迎下载考前突破5 平面向量与直线、平面、简单几何体（B）考点阐释1.向量是数学中的重要概念，并和数一样， 也能运算.它是一种工具， 用向量的有关知识能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题.向量法和坐标法是研究和解决向量问题的两种方法.坐标表示， 使平面中的向量与它的坐标建立了一一对应关系，用“数” 的运算处理 “形”的问题，在解析几何中有广泛的应用.向量法便于研究空间中涉及直线和平面的各种问题.2.平移变换的价值在于可利用平移变换，使相应的函数解析式得到简化.试题类编一、选择题1（.2002上海春， 13）若 a、b、c 为任意向量， m R，则下列等式不一定成立的是 （）A. （

2、a+b）+c=a+（ b+c）B. （a+b）· c=a· c+b· cC.m（ a+b） =ma+mbD. （a· b） c=a（ b· c）2.（ 2002 天津文 12，理 10）平面直角坐标系中， O 为坐标原点，已知两点A（ 3， 1），B（ 1，3），若点 C 满足 OCOAOB ，其中 、 R，且 + =1 ，则点 C 的轨迹方程为（）A.3x+2y 11=0B. （x 1） 2+（ y2） 2=5C.2x y=0D. x+2y 5=03.（ 2001 江西、山西、天津文）若向量a=（ 3， 2）， b=（0， 1），则向量2b

3、a 的坐标是（）A. （3， 4）B.（ 3， 4）C.（3， 4）D. （ 3， 4）4.（ 2001 江西、山西、天津）设坐标原点为O，抛物线 y2=2 x 与过焦点的直线交于A、B 两点，则 OA OB 等于（）33C.3D. 3A.B.445.（ 2001 上海）如图5 1，在平行六面体ABCD A1 B1C1D 1 中，M 为 AC 与 BD 的交点，若 A1 B =a， A1D1 =b， A1 A =c.则下列向量中与 B1M 相等的向量是（）1111图 51A. a+ b+cB.a+ b+c22221111C.a b+cD. a b+c22226.（ 2001 江西、山西、天津理

4、，5）若向量 a=（ 1，1）， b=（1， 1）， c=（ 1， 2），则 c 等于（）学习必备欢迎下载1313A. a+bB. a b2222C.3131babD.a+22227.(2000 江西、山西、天津理，4)设 a、 b、c 是任意的非零平面向量,且相互不共线 ,则（ a· b） c（ c· a） b=0 |a| |b|<|a b| （ b· c）a（ c· a） b 不与 c 垂直（ 3a+2b）（ 3a 2b） =9|a|2 4|b|2 中，是真命题的有（）A. B.C.D.8.（ 1997 全国， 5）如果直线 l沿 x 轴负方向

5、平移3 个单位，再沿y 轴正方向平移 1 个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率为（）1B. 3C.1D.3A. 33二、填空题9（.2002 上海文，理 2）已知向量 a 和 b 的夹角为 120°，且 |a|=2，|b|=5，则（2a b）·a=_.10.（2001上海春， 8）若非零向量 、 满足 | + |=| |，则 与 所成角的大小为_.11.（2000 上海， 1）已知向量 OA =（ 1，2），OB =（ 3，m），若 OA AB ，则 m=.12.（ 1999 上海理， 8）若将向量 a=（ 2，1）围绕原点按逆时针方向旋转得到向量 b，4则向量

6、b 的坐标为 _.13.（1997 上海， 14）设 a=（m+1）i 3j ，b=i+（ m1）j，（ a+b）（a b），则 m=_.14.（ 1996 上海， 15）已知 a+b=2i 8j， a b= 8i+16j，那么 a· b=_.15（. 1996 上海， 15）已知 O（ 0，0）和 A（6，3）两点，若点 P 在直线 OA 上，且 OP1 ，PA2又 P 是线段 OB 的中点，则点 B 的坐标是 _. 三、解答题16.（ 2003 上海春， 19）已知三棱柱 ABC A1B1C1，在某个空间直角坐标系中， AB m ,3 ,0, AC m,0,0, AA1 =0 ，

7、 0， n.22（其中 m、 n>0） .如图 5 2.（ 1）证明：三棱柱ABCA1B1C1 是正三棱柱；图 52（ 2）若 m=2 n，求直线 CA 1 与平面 A1ABB1 所成角的大小 .17.（ 2002 上海春， 19）如图 5 3，三棱柱OAB O1A1B1，平面 OBB1O1平面 OAB ，O1OB=60 °， AOB=90°，且 OB=OO 1=2 ， OA=3 .求：（ 1）二面角O1 AB O 的大小；学习必备欢迎下载（ 2）异面直线A1B 与 AO1 所成角的大小.（上述结果用反三角函数值表示）18.（ 2002 上海， 17）如图 5 4，在

8、直三棱柱 ABO A B O中， OO =4， OA=4，OB=3， AOB=90°， D 是线段 A B的中点， P 是侧棱 BB 上的一点，若 OPBD，求 OP 与底面 AOB 所成角的大小 .（结果用反三角函数值表示）图 53图 54图 5519.（ 2002 天津文 9，理 18）如图 5 5，正三棱柱 ABCA1B1C1 的底面边长为a，侧棱长为 2 a.（ 1）建立适当的坐标系，并写出点A、B、 A1、 C1 的坐标；（ 2）求 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角 .20.（ 2002 天津文 22，理 21）已知两点M（ 1，0），N（ 1，0），且点 P 使 M

9、PMN ,PMPN, NMNP 成公差小于零的等差数列.（ 1）点 P 的轨迹是什么曲线？（ 2）若点 P 坐标为（ x0， y0）， 为 PM 与 PN 的夹角，求 tan .21.（ 2001 江西、山西、天津理）如图 5 6，以正四棱锥 VABCD 底面中心 O 为坐标原点建立空间直角坐标系 O xyz，其中 Ox BC，Oy AB，E 为 VC 的中点，正四棱锥底面边长为 2a，高为 h.（ 1）求 cos< BE, DE >；（ 2）记面 BCV 为 ，面 DCV 为 ，若 BED 是二面角 VC 的平面角，求 BED .图 56图 57图 5822.（ 2001 上海春

10、）在长方体ABCD A1B1C1D1 中，点 E、 F 分别在 BB1 、DD 1 上，且AE A1B， AF A1D.（ 1）求证： A1C平面 AEF ；（ 2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角）.则在空间中有定理： 若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等 .试根据上述定理，在AB =4，AD=3，AA 1=5 时，求平面AEF 与平面 D 1B1BD 所成角的大学习必备欢迎下载小.（用反三角函数值表示）23.（ 2001 上海）在棱长为a 的正方体OABC O AB C中， E、 F 分别是棱 AB 、BC 上的动点，且

11、AE=BF .如图 5 8.（ 1）求证： A F C E.（ 2）当三棱锥B BEF 的体积取得最大值时，求二面角B EF B 的大小（结果用反三角函数表示）24.（2000 上海春， 21）四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是一个平行四边形，AB =2 ， 1， 4 ， AD =4 ， 2， 0 ， AP = 1， 2， 1.（ 1）求证： PA底面 ABCD ；（ 2）求四棱锥 P ABCD 的体积；（ 3）对于向量 a= x1， y1， z1 ，b= x2， y2， z2 ， c= x3， y3， z3 ，定义一种运算：（ a× b）·c=x1y2z3+x2

12、y3z1+x3y1z2 x1y3z2 x2 y1z3 x3y2z1，试计算（ AB × AD ）· AP 的绝对值的值；说明其与四棱锥P ABCD 体积的关系，并由此猜想向量这一运算（AB ×AD ）· AP 的绝对值的几何意义 .25.（ 2000 上海， 18）如图5 9 所示四面体ABCD 中， AB、 BC、 BD 两两互相垂直，10，求四面体且 AB=BC=2，E 是 AC 中点， 异面直线 AD 与 BE 所成的角的大小为 arccos10ABCD 的体积 .图 59图 510图 51126.（ 2000 天津、江西、山西）如图 5 10 所

13、示，直三棱柱 ABC A1B1C1 中，CA=CB=1， BCA =90°，棱 AA1=2， M、 N 分别是 A1B1、 A1A 的中点 .（ 1）求 BN 的长；（ 2）求 cos< BA1 , CB1 >的值；（ 3）求证： A1B C1M.27.（ 2000 全国理， 18）如图 511，已知平行六面体ABCD A1B1C1D1 的底面 ABCD是菱形且 C1CB= C1CD=BCD =60° .（ 1）证明： C1C BD ；（ 2）假定 CD =2，CC1= 3 ，记面 C1BD 为 ，面 CBD 为 ，求二面角 BD 的2学习必备欢迎下载平面角的余

14、弦值；（ 3）当 CD 的值为多少时，能使A1C平面 C1BD？请给出证明 .CC128（.1999 上海，20）如图 5 12，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是一直角梯形， BAD=90 °， AD BC， AB=BC=a， AD =2a，且 PA 底面 ABCD ， PD 与底面成 30°角 .（ 1）若 AEPD ， E 为垂足，求证： BE PD；（ 2）求异面直线 AE 与 CD 所成角的大小 .29.（ 1995 上海， 21）如图 5 13 在空间直角坐标系中BC=2，原点图 512O 是 BC 的中点，点A 的坐标是（3 , 1 ，0），点 D

15、 在平面 yOz 上，22且 BDC =90°， DCB=30 ° .（ 1）求向量 OD 的坐标；图 513（ 2）设向量AD 和 BC 的夹角为 ，求 cos 的值 .答案解析1.答案： D解析：因为（ a· b） c=|a |·|b|· cos · c 而 a（ b· c） =|b|· |c|· cos· a 而 c 方向与 a 方向不一定同向 .评述：向量的积运算不满足结合律.2.答案： D解析：设 OC =（ x， y）， OA =（ 3，1）， OB =（ 1， 3）， OA =（3

16、 ， ）， OB =（ ，3 ）又 OA + OB =（3 ， +3 ）x3（ x， y） =（ 3 ， +3 ），3y又 +=1 因此可得 x+2y=5评述：本题主要考查向量法和坐标法的相互关系及转换方法.3.答案： D解析：设（ x， y）=2b a=2（ 0， 1）（ 3，2） =（ 3， 4）.评述：考查向量的坐标表示法.4.答案： B解法一：设 A（x1，y1 ），B（ x2，y2），AB 所在直线方程为y=k（ x 1 ），则 OA OB =x1x2+y1 y2.2学习必备欢迎下载y12k( x )=0 ， x1·x2= 1 ，而 y1y2=k（ x1 1 ）k（ x2又

17、2 ，得 k2x2 （ k2+2）x+ ky22x4421 ）=k2（ x1 1 ）（ x2 1 ） =1. x1x2+y1y2= 1 1= 3 .22244解法二：因为直线2同上 .AB 是过焦点的弦，所以 y1· y2= p = 1.x1·x2评述：本题考查向量的坐标运算，及数形结合的数学思想.5.答案： A解析：B1M B1B BM A1 A(BA BC) = +cab c11 （ a+b） =112222评述：用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力 .6.答案： B解析：设 c=ma

18、+nb，则（ 1， 2） =m（ 1， 1）+n（ 1， 1） =（m+n，m n） .1mn1m2n3m2n2评述：本题考查平面向量的表示及运算.7.答案： D解析：平面向量的数量积不满足结合律.故假；由向量的减法运算可知|a|、 |b|、 |a b|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故真；因为（ b·c）a（ c·a）b·c=（ b·c）a·c（ c·a）b·c=0 ，所以垂直 .故假；（ 3a+2b）（ 3a 2b） =9· a· a 4b· b=9|a|2 4|b|2

19、成立 .故真 .评述：本题考查平面向量的数量积及运算律.8.答案：A解析：设直线 l 的方程为移 1 个单位后，直线方程应为y=kx+b（此题 k 必存在），则直线向左平移y=k（ x+3）+b+1 即 y=kx+3 k+b+13 个单位，向上平1因为此直线与原直线重合，所以两方程相同.比较常数项得3k+b+1= b. k=.3评述：本题考查平移变换与函数解析式的相互关系.9.答案： 13解析：（ 2ab）· a=2a2 b· a=2|a|2 |a|· |b|· cos120° =2· 4 2· 5（ 1 ） =13.2评述

20、：本题考查向量的运算关系.10.答案： 90°解析：由 | + |=| |，可画出几何图形，如图514.学习必备欢迎下载| |表示的是线段AB 的长度， | + |表示线段 OC 的长度，由|AB|=|OC|平行四边形 OACB 为矩形，故向量 与 所成的角为 90°评述：本题考查向量的概念，向量的几何意义，向量的运算.这些知识不只在学习向量时用到，图 514而且在复数、 物理学中也是一些最基本的知识 .11.答案： 4解析： OA = 1，2 ， OB =3 ，m ， ABOB OA =4 ，m 2 ，又 OA AB ， 1× 4+2（ m 2）=0， m=4.

21、评述：本题考查向量的概念，向量的运算，向量的数量积及两向量垂直的充要条件.12.答案：（2 , 32 ）22解析：设 a= OA =2+i ， b= OB ，由已知 OA 、 OB 的夹角为，由复数乘法的几何意4义，得 OB = OA （ cos+isin） =（ 2+i ） (22 i)23 2i .442222 b=（2 , 32 ）22评述：本题考查向量的概念，向量与复数一一对应关系，考查变通、变换等数学方法，以及运用数学知识解决问题的能力 .13.答案： 2a+b=（m+2） i+（ m 4） j=（ m+2， m 4）解析：由题意，得a b=mi+（ m 2） j=（ m， m2）（

22、 a+b）（ a b），（ m+2）× m+（ m 4）（ m2） =0， m=2.评述：本题考查平面向量的加、减法,平面向量的数量积及运算,两向量垂直的充要条件.14.答案： 63a+b=2i 8j解析：解方程组a b= 8i+16 ja= 3i+4 j=（ 3，4）得b=5i 12j=（ 5， 12） a· b=（ 3）× 5+4 ×（ 12） = 63.评述：本题考查平面向量数量积的坐标表示及求法.15.答案：（ 4， 2）016013解析：设 P（ x， y），由定比分点公式 x22, y21，111122则 P（ 2， 1），又由中点坐标公式，

23、可得B（ 4， 2） .学习必备欢迎下载16.（ 1）证明： BCACABm3m ,0 ， | BC |=m，22又AB m3,0,0,0,m ACm2 2 | AB |=m， | AC |=m， ABC 为正三角形 .又 AB · AA1 =0，即 AA1 AB，同理 AA1 AC， AA1平面 ABC，从而三棱柱ABCA1B1C1 是正三棱柱 .（ 2）解：取AB 中点 O，连结 CO、 A1O. COAB ，平面 ABC平面 ABB1A1， CO平面 ABB1A1，即 CA1O 为直线 CA1 与平面 A1ABB1 所成的角 .在 RtCA 1O 中， CO=3m， CA1=

24、m2n2 ，2 sinCA1O= CO2 ，即 CA1 O=45° .CA1217.解：（ 1）取 OB 的中点 D ，连结 O1D ，则 O1D OB.平面 OBB 1O1平面 OAB， O1D 平面 OAB.过 D 作 AB 的垂线，垂足为E，连结 O1E.则 O1E AB.图 515 DEO1 为二面角 O1 AB O 的平面角 .由题设得 O1D=3 ，sinOBA=OA21 ，OA2OB2721 DE=DBsinOBA=7在 Rt O1DE 中， tanDEO 1= 7 ， DEO1=arctan7 ，即二面角 O1 AB O 的大小为 arctan 7.（ 2）以 O 点

25、为原点，分别以OA、OB 所在直线为 x、y 轴，过 O 点且与平面 AOB 垂直的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系如图5 15.则O（ 0，0，0），O1（ 0，1，3 ），A（3 ，0，0），A1（3 ，1，3 ），B（ 0，2，0）.设异面直线 A1B 与 AO1 所成的角为 ，学习必备欢迎下载则 A1BOB OA1 3,1 3, O1 AOA OO1 3, 1, 3，cos =A1B O1 A1 ，| A1B | |O1A|7异面直线 A1B 与 AO1 所成角的大小为 arccos1.718.解法一：如图516，以 O 点为原点建立空间直角坐标系.由题意，有B（ 3，0， 0），

26、D（ 3 ，2， 4），设 P（ 3，0， z），则2BD = 3 ， 2， 4 ， OP =3 ，0， z.2图 516 BD OP， BD · OP = 9 +4z=0，z= 9 .28 BB平面 AOB， POB 是 OP 与底面 AOB 所成的角 .tanPOB=3 ， POB=arctan3.88解法二：取 O B中点 E，连结 DE 、 BE，如图 5 17，则DE平面 OBB O， BE 是 BD 在平面 OBB O内的射影 .又 OP BD.由三垂线定理的逆定理，得OP BE.在矩形 OBB O中，易得RtOBP RtBB E，BPOB9图 517，得 BP= .B

27、EBB8（以下同解法一）19.解：（ 1）如图5 18，以点 A 为坐标原点O，以 AB 所在直线为Oy 轴，以 AA 1 所在直线为 Oz 轴，以经过原点且与平面ABB1A1 垂直的直线为 Ox 轴，建立空间直角坐标系 .由已知，得（ 0，0，2a），C（A（ 0，0，0），B（ 0，a，0），A113aa ）a, 2.图 51822（ 2）坐标系如图，取A1B1 的中点 M，于是有 M（ 0， a ,2 a），连 AM， MC 1 有2MC1 =（3a， 0，0），且 AB =（ 0， a， 0）， AA1 =（ 0， 0， 2 a）2学习必备欢迎下载由于 MC1· AB =0

28、， MC1 · AA1 =0，所以 MC1面 ABB1A1. AC1 与 AM 所成的角就是AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角 . AC1 =（3 a, a ,2a ）， AM =（ 0， a , 2 a），222 AC1· AM =0+a 229 2+2a =a .44而| AC1|=3a2a22a 23a.44|AM |=a22a23 a .429 a23 cos AC1 ， AM =43.3a2a2所以 AC1与 AM 所成的角，即 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为 30° .20.解：（ 1）记 P（ x，y），由 M（ 1，0），N（ 1，0

29、）得 PM = MP =（ 1 x， y）， PN = NP =（ 1 x， y）， MN = NM =（2， 0） MP · MN =2（ 1+ x）， PM · PN =x2+y2 1， NM · NP =2（ 1 x） .于是， MP·MN，PM ·PN， NM · NP 是公差小于零的等差数列等价于x2y211 2(1 x) 2(1x),22(1x)2(1 x) 0,x2y 23,即0x所以，点 P 的轨迹是以原点为圆心，（ 2）点 P 的坐标为（ x0， y0） .22 1=2.PM · PN =x0+y0| PM

30、 |·|PN |=(1 x0 ) 2y0 23 为半径的右半圆 .(1x0 )2y0 2 .学习必备欢迎下载PM PN1.tanx023 cos =|PM | |PB|4 x0 24 x0 221.解：（ 1）由题意知 B（ a，a，0），C（ a，a，0），D（ a，a，0），E（a , a , h ）.222由此得， BE( 3a ,a , h), DE( a , 3a , h )222222 BE DE ( 3aa) ( a 3a )h h3a 2h2，22222224|BE| |DE |(3a) 2(a)2(h ) 2110a 2h2.2222由向量的数量积公式有BE DE3

31、a 2h 26a2h2cos< BE, DE>241110a 2h2|BE| |DE |10a2h210a2h222（ 2）若 BED 是二面角 VC 的平面角，则 BE CV ，则有 BECV 0.又由 C（ a，a，0），V（0，0，h），有 CV （ a， a，h）且 BE(3a ,a , h) ，222BE CV3a2a2h20 .222即 h 2 a，这时有6a2h26a2(2a)21cos< BE, DE >h210a 2(2a) 23，10a2 BED < BE, DE > arccos（1） arccos133评述：本小题主要考查空间直角坐标

32、的概念、空间点和向量的坐标表示以及两个向量夹角的计算方法；考查运用向量研究空间图形的数学思想方法.22.（ 1）证明：因为CB平面 A1B，所以 A1C 在平面 A1B 上的射影为A1 B.由 A1B AE， AE 平面 A1B，得 A1C AE .同理可证 A1C AF .因为 A1C AF， A1 C AE，学习必备欢迎下载所以 A1C平面 AEF .（ 2）解：过 A 作 BD 的垂线交 CD 于 G，因为 D1D AG，所以 AG平面 D1B1BD .设 AG 与 A1C 所成的角为 ，则 即为平面 AEF 与平面 D1B1BD 所成的角 .由已知，计算得9DG= .4图 519如图

33、5 19 建立直角坐标系，则得点A（ 0，0， 0）， G（ 9 ，43， 0）， A1（ 0， 0， 5），C（4，3， 0）.AG= 9 ， 3， 0 ， A1C=4 ， 3， 5.4因为 AG 与 A1C 所成的角为 ，所以 cos=AG A1C12 2,arccos12 2.|AG| |A1C|2525122由定理知，平面 AEF 与平面 D 1B1BD 所成角的大小为 arccos.25注：没有学习向量知识的同学可用以下的方法求二面角的平面角.解法一：设AG 与 BD 交于 M，则 AM 面 BB1D 1D，再作 AN EF 交 EF 于 N，连接MN ，则 ANM 即为面 AEF

34、与 D 1B1BD 所成的角 ，用平面几何的知识可求出AM、AN 的长度 .解法二：用面积射影定理cos =SSABDAEF.评述：立体几何考查的重点有三个： 一是空间线面位置关系的判定； 二是角与距离的计算；三是多面体与旋转体中的计算 .23.建立坐标系，如图5 20.（ 1）证明： 设 AE=BF =x，则 A（ a，0，a），F（a x，a，0），C（ 0，a， a），E（ a，x， 0） A F = x，a， a ， C E = a， x a， a. A F · C E = xa+a（ x a）+a2=0 A FCE（ 2）解：设 BF=x，则 EB=a x三棱锥 B BEF

35、 的体积V= 1 x（a x）· a a （ a ） 2= 1a366224学习必备欢迎下载a当且仅当 x=时，等号成立 .2因此，三棱锥B BEF 的体积取得最大值时BE=BF= a ，过 B 作 BD EF 于 D ，连2B D，可知 B D EF. B DB 是二面角 B EF B 的平面角在直角三角形 BEF 中，a2直角边 BE=BF=， BD 是斜边上的高 .BD=a.24 tanB DB=B B22BD故二面角 B EF B 的大小为 arctan2 2 .评述：本题考查空间向量的表示、运算及两向量垂直的充要条件.二次函数求最值或均值不等式求最值，二面角等知识.考查学生

36、的空间想象能力和运算能力.用空间向量的观点处理立体几何中的线面关系，把几何问题代数化，降低了立体几何的难度.本题考查的线线垂直等价于 A F ·C E =0，使问题很容易得到解决.而体积的最值除用均值不等式外亦可用二次函数求最值的方法处理.二面角的平面角的找法是典型的三垂线定理找平面角的方法，计算较简单，有一定的思维量 .24.（ 1）证明： AP AB =2 2+4=0， AP AB.又 AP AD = 4+4+0=0 ， AP AD . AB、 AD 是底面 ABCD 上的两条相交直线，AP底面 ABCD .（ 2）解：设 AB 与 AD 的夹角为 ，则AB AD8 23cos

37、=4116164105|AB| |AD |121051941 16V= | AB |· | AD |· sin · | AP |=133105（ 3）解： |（ AB × AD ）· AP |=| 4 32 4 8|=48 它是四棱锥P ABCD 体积的 3倍.猜测： |（ AB × AD ）· AP |在几何上可表示以AB、 AD、 AP 为棱的平行六面体的体积（或以 AB 、 AD、 AP 为棱的直四棱柱的体积） .评述：本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、 空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与

38、平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.主要考查考生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力.学习必备欢迎下载25.解：如图5 21 建立空间直角坐标系由题意，有A（ 0， 2， 0）、 C（ 2， 0， 0）、 E（1， 1， 0）设 D 点的坐标为（0，0， z）（ z>0）则 BE =1 ， 1， 0 ， AD =0 ， 2， z ，设 BE 与 AD 所成角为 .则AD·BE= 2·4 22 ，且AD与BE所成图 521cos =2的角的大小为 arccos 10.cos2 =21， z=4，故 |BD|的长度为 4.104z210又 VABCD

39、=1|AB|× |BC |× |BD |=8 ，因此，四面体ABCD 的体积为 8.633评述：本题考查空间图形的长度、角度、体积的概念和计算.以向量为工具，利用空间向量的坐标表示、空间向量的数量积计算线段的长度、异面直线所成角等问题，思路自然，解法灵活简便 .26.解：如图5 22，建立空间直角坐标系Oxyz.（ 1）依题意得 B（ 0， 1， 0）、N（ 1， 0， 1）|BN |=(1 0)2(0 1)2(10)23 .（ 2）依题意得 A1（ 1， 0，2）、 B（ 0， 1， 0）、 C（ 0， 0， 0）、B1（ 0， 1，2）图 522 BA1 = 1， 1，2 ， CB1 =0 ，1，2， ， BA1 · CB1 =3 ，| BA1 |= 6 ，|CB1 |=5BA1CB1130. cos< BA1 ， CB1 >=|BA | |CB |1011（ 3）证明：依题意，得C1（0，0， 2）、M（ 1 , 1 ，2）， A1B = 1，1，2，22C1M =1,1，0.2211 A1B ·