空间向量及其运算知识总结

1、空间向量及其运算1空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：空间的一个平移就是一个向量向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下OB OA AB a b ; BA OA OBab ; OPa(R)运算律：加法交换律：abbaDC加法结合律： (ab )ca(bc )A数乘分配律：(ab)abBa3平行六面体：平行四边形 ABCD平移向量 a 到 A B C D 的轨迹所形成的几何体，DC叫做平行六面体，并记作：ABCDA BCD它的

2、六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱AB4. 平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量向量 b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数，使 b a .要注意其中对向量a 的非零要求5 共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量 a 平行于 b 记作 a / b 当我们说向量 a 、 b 共线（或 a /b ）时，表示 a 、 b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线6 共线向量定理： 空间任意两个向量a 、b（ b 0 ）

3、，a / b 的充要条件是存在实数，使 a b .推论：如果 l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对于任意一点 O，点 P 在直线 l上的充要条件是存在实数t 满足等式OPOA t a 其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量 .空间直线的向量参数表示式：OP OAt a 或 OP OAt (OBOA ) (1 t)OA t OB ，中点公式 OP1 (OA OB )27向量与平面平行：已知平面和向量 a ，作 OAa ，如果直线 OA 平行于 或在 内，那么我们说向量 a 平行于平面 ，记作： a / 通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量BpPbMaA A说明：空间

4、任意的两向量都是共面的8a, b 不共线，pO与向量共面向量定理：如果两个向量a,b 共面的充要条件是存在实数x, y 使 p xayb推论：空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对x, y ，使 MP xMA yMB或对空间任一点O，有 OPOMxMAyMB或 OP xOAyOB zOM ,( xy z 1)上面式叫做平面MAB 的向量表达式9空间向量基本定理：如果三个向量a, b, c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组 x, y, z ，使 pxaybzc若三向量 a,b,c不共面，我们把 a, b, c 叫做空间的一个基底， a, b,c

5、叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底推论：设 O, A, B, C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x, y, z，使OPxOAyOBzOC10空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,b ，在空间任取一点O ，作 OAa,OBb ，则AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角，记作a, b；且规定 0a, b，显然有a,bb , a；若a,b，则称 a 与 b 互相垂直，记作：ab .211向量的模：设OAa ，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：| a | .12向量的数量积：已知向量a, b ，则 | a | |b | cos

6、a ,b叫做 a,b 的数量积，记作a b ，即a b| a | |b | cos a ,b已知向量 ABa 和轴 l ，e 是 l 上与 l 同方向的单位向量，作点 A 在 l 上的射影A ，作点 B 在 l上 的 射 影 B ， 则 A B 叫 做 向 量 AB 在 轴 l 上 或 在 e 上 的 正 射 影 .可以证明 AB 的长度| A B | | AB | cosa,e| a e | 13空间向量数量积的性质：（1） a e | a | cos a, e（ 2） a ba b0 （ 3） | a |2 a a 14空间向量数量积运算律：（1） ( a) b(a b)a ( b ) （

7、 2） a b ba （交换律） （3） a (b c)a b ac （分配律）z空间向量的直角坐标及其运算1 空间直角坐标系：（ 1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直， 且长为 1，这个基底叫单位正交基底，用 i, j, k 表示；（ 2 ）在空间选定一点 O 和一个单位正交基底 i , j , k ，以点 O 为原点，分别以 i, j , k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、 y 轴、 z 轴，它们都叫坐标轴我们称建立了一个空间直角坐标系Oxyz，点 O 叫原点，向量i , j ,k 都叫坐标向量通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为 xOy 平面， yOz 平面， zOx 平

8、面；2空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系Oxyz 中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组 ( x, y, z) ，使 OAxiyjzk，有序实数组(x, y, z) 叫作向量A 在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标，记作A( x, y, z) ， x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标A(x,y,z)ki OjyxzDCABDC yx ABzA常见坐标系正方体：如图所示，正方体 ABCD A B C D 的棱长为 a ，一般选BDOyCx择点 D 为原点， DA 、 DC 、 DD 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 D xyz ，则各点坐标为亦可选 A

9、点为原点 . 在长方体中建立空间直角坐标系与之类似.正四面体： 如图所示， 正四面体 ABCD 的棱长为 a ，一般选择 A 在BCD 上的射影为原点，OC 、 OD （或 OB ）、 OA 所在直线分别为x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ，则各点坐标为正四棱锥：如图所示，正四棱锥PABCD 的棱长为 a ，一般选择点 P 在平面 ABCD 的射影为原点， OA（或 OC ）、OB（或 OD ）、OP 所在直线分别为x 轴、 y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ，则各点坐标为正三棱柱： 如图所示， 正三棱柱ABCA B C 的底面边长为a ，高为 h ，一般选择 AC

10、 中点为原点， OC （或 OA）、 OB 、 OE （ E 为 O 在 A C 上的射影）所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz ，则各点坐标为3空间向量的直角坐标运算律：（1）若 a (a1 ,a2, a3 ) ， b (b1, b2 , b3 ) ，则 a b (a1 b1, a2 b2 , a3 b3 ) ，zPDCx AOB yzAEa b (a1 b1, a2b2 , a3b3 ) ， a ( a1, a2 , a3 )(R) ，CBa b a1b1 a2b2a3b3 ， a / ba1b1, a2b2 ,a3b3 (R) ，AOa b a1b1 a

11、2b2a3b30 CB（2）若 A( x1, y1, z1) ， B( x2 , y2 , z2 ) ，则 AB ( x2x1, y2y1, z2z1 ) yx一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标4 模长公式 ：若 a( a1 ,a2 , a3 ) ， b(b1, b2 ,b3 ) ，则 | a |a aa12a2 2a3 2 ， |b |b bb12b2 2b325夹角公式 ： cos a ba ba1b1a2b2 a3b3| a | | b |a12a2 2a3 2 b12b2 2b326两点间的距离公式 ：若 A( x1 , y1, z1 )

12、， B(x2 , y2 , z2 ) ，2( x2 x1 )2 ( y2 y1)2(z2 z1)2，或 dA ,B( x2x1 )2( y2 y1 )2( z2 z1 )2则|AB|AB空间向量应用一、直线的方向向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量. 在空间直角坐标系中，由A( x1, y1, z1) 与 B( x2 , y2 , z2 ) 确定直线AB 的方向向量是AB( x2x1 , y2y1 , z2z1 ) .平面法向量如果 a，那么向量a 叫做平面的法向量 .法向量的求解 :_.二、证明平行问题1 线线平行 ：证明两直线平行可用 a/ b a1 b1,a2b

13、2, a3b3( R) 或 a / ba1a2a3 .b1b2b32.线面平行 ：直线 l 的方向向量为a ，平面的法向量为 n ，且 l，若 an 即 an0 则 a/.3.面面平行 ：平面的法向量为 n1 ，平面的法向量为 n2 ，若 n1/ n2 即 n1n2 则/ .三、证明垂直问题1 线线垂直 ：证明两直线垂直可用aba b a1b1 a2 b2a3b302 线面垂直 ：直线 l的方向向量为 a ，平面的法向量为 n ，且 l，若 a / n 即 an 则 a.3. 面面垂直 ：平面的法向量为 n1 ，平面的法向量为 n2，若 n1n2 即 n1n20 则.四、求夹角1线线夹角 ：设

14、 a(a1,a2,a3) b (b1,b2,b3)(0 ,90 为一面直线所成角，则：a b |a| |b| cosa,b；cosa, ba ba1b1 a2 b2 a3b3； cos| cosa, b| .| a | |b |a12a22a32b12b22b322 线面夹角 ：如图，已知 PA 为平面的一条斜线， n 为平面的一个法向量，过 P 作平面的垂线 PO，连结 OA则PAO 为斜线 PA 和平面所成的角，记为易得sin|sin(OP, AP) | cosOP, AP|2P| n PA |n| cos n, AP| | cosn, PA |.| n |PA |O3 面面夹角 ：设 n

15、1 、 n2分别是二面角两个半平面、 的法向量，A当法向量 n1 、 n2同时指向二面角内或二面角外时，二面角的大小为n1, n2；当法向量 n1 、 n2一个指向二面角内，另一外指向二面角外时，二面角的大小为n1, n2.五、距离1 点点距离 ：设 A( x1 , y1, z1 ) ， B( x2 , y2 , z2 ) ， d A,B( x2x1 )2( y2 y1 ) 2( z2z1 )2|AB|AB AB( x2x1 )2( y2y1 )2( z2z1) 22 点面距离 ： A 为平面任一点， 已知 PA 为平面的一条斜线， n 为平面的一个法向量，过P作平面的垂线 PO ，连结 OA 则PAO 为斜线 PA 和平面所成的角，记为易得| PO | | PA | sin| PA | | cosPA, n| PA | | PA n | PA n | .|PA| n | n |3 线线距离： 求异面直线间的距离可以利用向量的正射影性质直接计算.设两条异面直线a 、 b 的公垂线的方向向量为 n ,这时分别在 a 、b 上任取 A 、 B 两点，则向量在 n 上的正射影长就是两条异面直线 a 、 b 的距离 .即两