几种构造辅助函数的方法及应用

1、几种构造辅助函数的方法及应用junmsm询败的方m及鹿jb许生虎(西北师范大学数学系，甘肃兰州730070)摘要：在对数学命题的观察和分析基础上给出了构造辅助函数的方法，举例说明了寻求辅助函数的几种方法及在解题中的作用。关键词：辅助函数弧弦差法原函数法几何直观法微分方程法1 .引言在解题过程中，根据问题的条件与结论的特点，通过逆向分析、综合运用数学的基本概念和原理，经过深入思考、缜密的观察和广泛的联想，构造出一个与问题有关的辅助函数，通过对函数特征的考查达到解决问题的目的，这种解决问题的方法叫做构造辅助函数法。构造函数方法在许多命题证明中的应用，使问题得以解决，如在微分中值定理、泰勒公式、中值

2、点存在性、不等式等证明。但构造辅助函数方法的内涵十分丰富没有固定的模式和方法，构造过程充分体现了数学的发现、类比、逆向思维及归纳、猜想、分析与化归思想。但如何通过构造，构造怎样的辅助函数给出命题的证明，是很难理解的问题之一，本文通过一些典型例题归纳、分析和总结常见的构造辅助函数方法及应用。2 .构造辅助函数的七中方法2.1 “逆向思维法”例1：设/(x)在0,1上可微，且满足/=,证明在0/内至少有一点。，使一早.证明：由所证明的结论出发,结合已知条件,探寻恰当的辅助函数.将变为/(。)+/'(。)=0，联想到=/e)+e/'®),可考虑辅助函数F(x)=#(x)xe

3、o,lj因为/(1)=夕6)，而对于"t),有耳。)=3(3，所以，尸G）=尸，由罗尔定理知，至少存在一点ew但1）,使得尸=o即：/，（。）=一等.证毕2.2 原函数法在微分中值定理（尤其是罗尔定理）求解介值（或零点）问题时要证明的结论往往是某个函数的导函数的零点，因此可通过不定积分反求出原函数作为辅助函数,用此法构造辅助函数的具体步骤如下：（1） 将要证的结论中的久必°）换用（2） 通过恒等变换，将结论化为易积分（或易消除导数符号）的形式；（3） 用观察法或凑微分法求出原函数（必要时可在等式两端同乘以非零的积分因子），为简便起见,可将积分常数取为零；（4） 移项,将等式

4、一边为零,则等式的另一边为所求的辅助函数.例2:幽止连续，在(凡。讷可导，其中>0,且/(a)>0,证明：菰wQW="且广(用a分析：a=./(x)a二a/(x)b-x积分>In/(x=-aheX)+In°=>(b-xyf(x)=c可令F(x)=(I)/(x)证明：作辅助函数E（x）=0-x）"（x）4r）在向上连续，在内可导，又aFabafa0(fa0)a_Fbbbfb0故Fx在a,b上满足罗尔定理的条件于是，a,b,使F0即：aba1fbf0亦即：f-fa证毕2.3 设置变量法当结论中含两个中值,时，我们常常联想到应用拉格朗日定理柯西定

5、理的证明，这是可用设置变量法作辅助函数Fx。即：将结论中的或看作变量,作包等变形后与中值定理的公式相对照，即可看出辅助函数的结构。例3:设函数fx,gx在a,b上连续，且gbga1,在a,b内fx,gx可导，且gxgx0,fx0.试证明：，a,b,feggfe分析：欲证等式ffegge将和均看作变量，则上式写成ffege辅助函数可取：(x)exg(x)(x)ex证明：令(x)exg(x),则由题设可知f(x),g(x)在a,b上满足柯西中值定理，于是，(a,b),使得f(b) f(a)ebg(b)eag(a)f ()e g( ) g ()因为g(a)g(b)1所以,f(b) f(a)ae e

6、g( ) g ()再令(x) ex,则 f(x),(x)在a, b上满足柯西中值定理，于是,(a,b),使得f(b)f(a)由(1), (2)得 e g()g ()eg()g()ey2.4 几何直观法对于某些证明题可以先从结论的几何意义进行分析，作为符合已知定义、定理的辅助曲线，再利用解析几何知识列出辅助曲线方程进而找出证明题所需要的辅助函数，打开证明思路。例4设函数f(x)在0,)内可导，f(x)严格递增，f(0)0.试证明：在(0,)内xf(x)f(x)0.分析：由f(x)严格递增知，f(x)是下凸函数.由图1知：xi0,)有f(x)(x)即：f(x)f(x)f(xi)(xxi)即：切线总

7、在曲线的下方(几何意义).八3Ayy 二/由图2知：由ki和k2分另1J表示li和l2的斜率.贝狄2ki.即：fX1fx0fx2fx0X2X0XiX0XiX20,证明：方法一：有分析及(1)知取x0,kx时f0fxf即:方法二：由(2)知，令X。f(Xi)f(0)x10f(Xi)xfxf0, f(X2)X2f(X2)则(2)式变为f(0)xX1X20,X2(Xi X2)再次引进辅助函数,fx一,x0,X则F(x)递增, 即：(x)0.xf XX0 xf x2.5微分方程法所谓“微分方程法”是指遇到诸如求证存在 (a,b),使得f ()G(x, y)例f(x), c，50, xf () ”之类的

8、问题时，可先解微分方程y (x, y),得其通解：则可构造辅助函数F(x) G(x, y).设 f (x)在a, b上连续，在 (a,b)内可导，且 (a,b),若f(a)f(b) 0,证明：对 k R, (a, b),使 f(X) k f(x)分析：将结论中的 换成X,得可分离变量的微分方程:dykdx.y其通解为f(x)cekx,即：ekxf(x)c于是可是辅助函数为kx则F(x)在a,b上连续，再(a,b)内可导,且F(a)F(b)0.由Rolle定理知，至少存在一点(a,b),使得即:f () f()k.2.6常数k值法此法适用于从结论中可分离出常数部分的命题，构造出辅助函数F(x)的

9、具体步骤如下：(1)从结论中分离出常数部分，将它令为k;(2)做包等变化，是等式(或不等式)一端为a及f(a)构成的代数式，另一端为b和f(b)构成的代数式；(3)分析端点a,b的表达式是否为对称式或轮换式。若是将端点改为x,相应的函数值f(a)(或f(b)改为f(x),则关于x,f(x)的表达式即为索求的辅助函数F(x).例6：设ba0,f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，证明：(a,b),使得af(b)bf(a)2abbaf()f().分析：分离a,b与，则待证式afbbfaffabba2则上式的左端显然是关于a,b的对称式.令其为k,得af(b)bf(a)kab(ba)f(b)k

10、b2f(a)ka2ba于是，可令F(x)f (x)kx2证明：作辅助函数F(x)3kx(其中kafbf(a)xab(ba)由题设条件可知F(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导,并且F(b)F(a)f(b)bf(b)bf(b)f(a)f(a)af(a)a(ba)kaf(b)bf(a)ab(ba)(ba)(a,b),使得 F ( )0可见，F(x)在a,b上满足罗尔中值定理条件,于是,af(b)bf(a)ab(ba)f()f()亦即af(b)bf(a)Key words: auxiliary function, arc-chord difference,original function me

11、thod, differential equation methodab(ba)f()f()2.7弧弦差法利用弧弦差来构造辅助函数，称为弧弦差构造函数法。微分中值定理的相关证明就采用种方法2,现以拉格朗日中值定理为例：(原定理叙述略)题7:f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，有向线段NM是x的函数，设直线AB的方程为yL(x).则L(x)f(a)fb一fa)(xa)ba由于点M,N的纵坐标分别为f(x),L(x).有向线段MN的重数(x)f(x)L(x)f(b)f(a)f(x)f(a)(xa)ba在xa及xb处点M与点N重合，明MN|0,也就是(a)(b)0则(x)满足Rolle定理条

12、件，故有(a,b),()0,于是就有拉格朗日中值定理的结论参考文献：1华东师范大学数学系.数学分析M.北京：高好教育出版社，2001.2杨根学.待证结论构造辅助函数法J.天水师皖学报，2001，:55-563裴礼文.数学分析中的典型问题与方法M.高等教育出版他1986.4王德利.证题中引进辅助函数的几种方法J.江汉大学学报.1995,(3):565尹必华.运用中值定理证题时构造辅助函数的三种方法J.自然科学报.2002:(6)29一31SeveralMethodsforConstructingtheAuxiliaryFunctionandtheirApplicationsXuShenghu(NorthwestNormalUniversity,GansuLanzhou730070)Abstract:Onthebasisofstudyingandanalyzingmathematical,somemethodsaboutconstruc