函数与方程经典例题及答案

1、例1：已知二次函数y(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)的零点；(3)比较f(2)f(4),函数与方程典型例题习题f(x)的图象经过点(0,8),(1,5),(3,7)三点,f(1)f(3),f(5)f(1),f(3)f(6)与0的大小关系.分析:【解】可设函数解析式为(1)设函数解析式为2axbxc,将已知点的坐标代入方程解方程组求a、b、c.2yaxbxc,15解得9a3bf(x)c72x2x(2)令f(x)0得X4,，零点是x12,x24.(3)f(2)f(4)0,f(1)f(3)97630,f(5)f(1)350,f(3)f(6)1120.点评：当二次函数yf(x)的两个零点有且

2、只有一个零点在区间例2:分析:已知函数f(x)(m,n)中时,kx2(k3)xXi,X2(Xif(m)f(n)1的图象与x2)都在(或都不在)区间(m,n)中时,0.x轴在原点的右侧有交点，试确定实数(1)当k0时,f(x)3x11与x轴的交点为(-,0),符合题意;3(2)0时,f(0)1,f(m)f(n)0;k的取值范围.k0时,f(x)的图象是开口向下的抛物线,它与x轴的两交点分别在原点的两侧；k0时,f(x)的图象是开口向上的抛物线,必须(k3)2U02k4k综上可得k的取值范围为(,1.追踪训练一'f(x)log2(x24x5)的图象与x轴交点横坐标为)A.12.已知A.1B

3、.0C.2或0D.23.直线20只有一个公共点,a1则方程axlogax0的解的个数是(AB.2C.3D.不确定3f2kx一与曲线y2yx3k的值为A.0,1C.2-2-4B.0,1D.02A)-4144.函数y6x5与x轴交点坐标是(1,0)(5,0),方程6x50的根为1或5.5.已知方程kx20在区间(0,3)中有且只有一解，则实数11k的取值范围为k36.已知函数f(x)ax2过点(1,0),则方程f(x)x的解为1.7.27.求万程2x8x50的近似解(精确到0.1).答案：3.2和0.828.判断万程x(2a2)x2a50(其中a2)在区间(1,3)内是否有解.答案：有解.函数与方

4、程测试题(时间45分钟)一、填空题(共计6小题，每题10分)1、函数f(x)=x22x1在区间(2,3)上零点的个数为.2、已知：f(x)=axb的图象如图所示，则a与b的值分别为3、设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=ex+1,则f(x)=3120元和4、建造一个容积为8m,深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为80元，则水池的最低造价为元215、右不等式x+ax+1>0对于一切xC(0,成立，则a的取小值是6、如果y=x2mx,x1,1的最小值为一4,则m的值为.二、解答题(共计2小题，每题20分)7、设集合P=x|4x2x2+a=0,x

5、CRR.(1)若P中仅有一个元素，求实数a的取值集合Q;(2)若对于任意aCQ,不等式x2-6x<a(x-2)恒成立，求x的取值范围.一一，一118、已知函数f(x)=-(a>0,x>0).ax(1)求证：f(x)在(0,+8)上是增函数；(2)若f(x)在m,n上的值域是mn(mn),求a的取值范围试题答案:1、根据求根公式得方程两根x1,21短,故答案为1个。另法：因为f(2)=-1<0,f(3)=2>0,而二次函数2f(x尸X2x1在区间(2,3)上的图象是连续的，表明此函数的图象在区间(2,3)上一定穿过x轴，而另一解显然不在(2,3)内。2、由图象可知，

6、函数图象过(2,0),(0,-2)两点，从而得a,b的方程组，解得a=J3,b=-3.3、提示：构造f (x)与g (x)的方程组.答案：f(x)4、提示：因水池容积是定值8m3,高度也是定值2m所以底面积是定值4m2,而底面积一定时，只有底面周长最小时，才能使总造价最低，从而建立周长l与池底矩形一边长x的函数关系：4，一一八，l一，l2(x-)(x0),进而得l8,当l8,x2.lmin8,此时水池的总造价最低，为x4120480281760(元),5、分离变量有a>-(x+1),xC(0,工恒成立.右端的最大值为故答案为-另法：设f(x)x222=x2+ax+1结合二次函数图象，分对

7、称轴在区间的内外三种情况进行讨论26、解：原式化为.y(xm)2m24当m1,ymin1m4,故m=-52当-1W<1时，ymin=-4故m=±4不符，24当m>1时，ymin=1m=-4m=5.答案：±5.。27. (1)令2x=t(t>0),设f(t)=t2-4t+a.由f(t)=0,在(0,+8)有且仅有一根或两相等实根，则有f(t)=0有两等根时，A=0164a=0a=4;验证：12-4t+4=0t=2C(0,这时x=1;f(t)=0有一正根和一负根时，f(0)<0a<0;若f(0)=0,则a=0,此时4x-42x=02x=0(舍去)，

8、或2x=4,x=2,即P中只有一个元素2;综上所述，awo或a=4,即Q=a|a<0或a=4.(2)要使原不等式对任意aC(oo,ou4恒成立.即g(a)=(x-2)a-(x2-6x)>0恒成立.x20只须g(4)0得5-J17<x<2g(0)08. (1)证明：任取xi>X2>0,1111Xix?_f(x1)-f(X2)=()=>0,f(x1)>f(x2)ax1ax2x1x2故f(x)在(0,+8)上是增函数.(2)解：由(1)f(x)在定义域上是增函数.，m=f(mj),n=f(n),即R-1m+1=0n2-n+1=0.aa故方程x2-1x+1=0有两个不相等的正根m,n,注意到m-n=1,则只需要A=()2-4>0,aa由于a>0,则0<a<i.2(备)1、已知对一切xCR,都有f(x)=f(2-x)且方程f(x)=0有5个不同的根，则这5个不同根的和为.提示：由函数方程f(x)=f(2x),可知，y=f(x)的图象关于x=1对称，故图象与x轴的交点关于x=1对称，所以5个根之和为5。2、若关于x的方程3tx2+(3-7t