函数的基本性质及常用结论

1、函数的单调性函数的单调性反映了函数图像的走势，求最值。定义：(略)定理 1 ： xi x2a,b ,xi x2 那么(xix2)f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2)0x x2(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2)0x x2定理2:(导数法确定单调区间)若x a,b ,那么f x 0f(x)在a,b上是增函数；f x 0函数的基本性质及常用结论、函数的单调性高考中常考其一下作用：比较大小，解不等式,f(x)在a,b上是增函数；f(x)在a,b上是减函数.f(x)在a,b上是减函数.1 .函数单调性的判断(证明)(1)作差法(定义法)(2)作商法(3)导数法2 .复合函数的单

2、调性的判定对于函数yf(u)和ug(x),如果函数ug(x)在区间(a,b)上具有单调性，当xa,b时um,n,且函数yf(u)在区间(m,n)上也具有单调性，则复合函数yf(g(x)在区间a,b具有单调性。3 .由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断对于两个单调函数f(x)和g(x),若它们的定义域分别为I和J,且IJ:(1)当f(x)和g(x)具有相同的增减性时，Fi(x)f(x)g(x)的增减性与f(x)相同，Fz(x)f(x)g(x)、F3(x)f(x)g(x)、F,(x)f区(g(x)0)的增减性不能确定；g(x)(2)当f(x)和g(x)具有相异的增减性时，我们假设f(x)

3、为增函数，g(x)为减函数，那么:Fi(x)f(x)g(x)、F2(x)f(x)g(x)、F4(x)fx)(g(x)0)、Fs(x)幽(f(x)0)的增减性g(x)f(x)不能确定；F3(x)f(x)g(x)为增函数。4.奇偶函数的单调性奇函数在其定义域内的对称区间上的单调性相同，偶函数在其定义域内的对称区间上的单调性相反。二、函数的对称性函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能够更简捷的使问题得到解决，对称关系同时还充分体现数学之美。1.函数yf(x)的图象的对称性(自身)：ab定理1:函数yf(x)的图象关于直x对称f(axf(bx)f(a

4、bx)f(x)特殊的有：函数yf(x)的图象关于直线xa对称f(ax)f(ax)f(2ax)f(x)。函数yf(x)的图象关于y轴对称(偶函数)f(x)f(x)。函数yf(xa)是偶函数f(x)关于xa对称。定理2:函数yf(x)的图象关于点(a,b)对称f(x)2bf(2ax)f(ax)f(ax)2b特殊的有：函数yf(x)的图象关于点(a,0)对称f(x)f(2ax)。函数yf(x)的图象关于原点对称(奇函数)f(x)f(x)o函数yf(xa)是奇函数f(x)关于点a,0对称。定理3:(性质)若函数y=f(x)的图像有两条对称轴x=a和x=b,(awb),那么f(x)为周期函数且2|a-b

5、|是它的一个周期。若函数y=f(x)的图像有一个对称中心M(m,n)和一条铅直对称轴x=a,那么f(x)为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。若函数y=f(x)图像同时关于点A(a©和点B(b©成中心对称(awb),则y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是其一个周期。若一个函数的反函数是它本身，那么它的图像关于直线y=x对称。2.两个函数图象的对称性：函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线x0(即y轴)对称.ab函数yf(mxa)与函数yf(bmx)的图象关于直线x对称.2m特殊地：yf(xa)与函数yf(ax)的图象关于直线xa对称函数yf(x)的图象关于直线x

6、a对称的解析式为yf(2ax)函数yf(x)的图象关于点(a,0)对称的解析式为yf(2ax)函数y=f(x)与ax=f(ay)的图像关于直线x+y=a成轴对称。函数y=f(x)与x-a=f(y+a)的图像关于直线xy=a成轴对称。函数y=f(x)的图像与x=f(y)的图像关于直线x=y成轴对称。三.奇偶函数性质对于两个具有奇偶性的函数f(x)和g(x),若它们的定义域分别为I和J,且IJ(1)满足定义式子f ( x)f(x)(偶)f(x)f( x) 0 (奇)(2)在原点有定义的奇函数有f(0)0当f(x)和g(x)具有相同的奇偶性时，假设为奇函数，那么：函数F1(x)f(x)g(x)、F3

7、(x)f(x)g(x)也为奇函数;f(x);简单地说：奇函数垃函数=奇函数，:偶函数土禺函数二偶函数，：奇函数X奇函数二偶函数，(偶函数X偶函数二偶函数， L奇函数居函数.三奇函数".F2(x)f(x)g(x)、F,(x)(-)(g(x)0)为偶函数；g(x)两个偶函数之和、差、积、商为偶函数(4)当f(x)和g(x)具有相异的奇偶性时，那么： Fi(x)f(x)g(x)、F3(x)f(x)g(x)的奇偶性不能确定; F2(x)f(x)g(x)、F4(x)山(g(x)0)、Fs(x)也(f(x)0)为奇函数。g(x)f(x)(5)常见的奇偶函数11(6)任息函数f(x)均可表不成一个

8、前函数g(x)-f(x)f(x)与一个偶函数h(x)-f(x)f(x)的和。22(7)一般的奇函数都具有反函数，且依然是奇函数，偶函数没有反函数(8)图形的对称性关于y轴对称的函数(偶函数)关于原点0,0对称的函数(奇函数)(9)若f(x)是偶函数，则必有f(axb)f(axb)若f(x)是奇函数，则必有 f(ax b)f (ax b)(10)若f(axb)为偶函数，则必有f(axb)f(axb)若f(axb)是奇函数，则必有f(axb)f(axb)四、函数的周期性函数的周期性反映了函数的重复性，在试题中它的主要用途是将大值化小，负值化正，求值。1 .周期性的定义对于函数yf(x),如果存在一

9、个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)都成立，那么就把函数yf(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。如果非零常数T是函数f(x)的周期，那么T、nT(nN)也是函数f(x)的周期。2 .函数的周期性的主要结论：结论1：如果f(xa)f(xb)(ab),那么f(x)是周期函数，其中一个周期Tab结论2：如果f(xa)f(xb)(ab),那么f(x)是周期函数，其中一个周期T2ab结论3：如果定义在R上的函数f(x)有两条对称轴xa、xb对称，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T2ab结论4：如果偶函数f(x)的图像关于直线xa(a0)对称，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T2a结论5：如果奇函数f(x)的图像关于直线xa(a0)对称，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T4a结论6：如果函数同时关于两点a,c、b,c(ab)成中心对称，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T2ab结论7：如果奇函数f(x)关于点a,c(a0)成中心对称，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T2a结论8：如果函数f(x)的图像关于点a,c(a0)成中心对称，且关于直线xb(ab)成轴对称，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T4ab，