一道高考试题的多角度思考及教学启示

1、一道高考试题的多角度思考及教学启示 2009年浙江省高考理科第9题:过双曲线的右顶点A作斜率为-1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C.若,则双曲线的离心率是( )A. B. C. D.本题较好地关注解析几何的本质，很好地体现了坐标法的思想，主要考查了双曲线的有关几何性质，即渐近线，离心率，顶点等，同时又考查了已知两直线求交点，以及向量的坐标表示等问题，考查解析几何的基本思想方法和运算求解的能力，体现了数学知识交汇处命题的特色，解题入口宽，方法多，是考查学生灵活运用数学知识分析问题和解决问题能力的一道好题，具有较高的研究价值。本文就此题的多角度思考谈几点教学启示。1 试题的多角

2、度思考 本题是选择题倒数第2题，属于中档题，学生失分的主要原因是：一是缺乏必要的运算能力，运算出错，半途而废；二是缺乏必要的合理转化能力，不知道如何将复杂问题转化为简单问题求解；三是缺乏对解析几何本质的理解。其实从题中抓住核心的信息是过A的直线斜率为-1；.因此在解题时牢牢抓住这两个数量关系，目标是建立a,b,c的数量关系，可以通过求B，C的坐标联系平面几何知识，或运用解三角形知识直接在三角形中建立数量关系，从而产生了不同的解题思路。思路1 利用过A斜率为-1的直线与两条渐近线相交，求出交点B，C，再利用向量的坐标运算，求出a与b的关系，从而求得离心率.ABCOxy因为直线AC的方程为，渐近线

3、OB，OC的方程为，联立方程组得，联立方程组得，即，故双曲线的离心率是.思路2 由于解析几何的本质是利用代数的方法来研究平面几何问题，因此，解析几何的问题能否用平面几何的知识来解决呢？回答当然是肯定的，如本题辅之用平面几何的知识去解决，那就大大减少运算量，提高解题的速度。同思路1求出B，C两点的坐标，由题意知B,C两点在x轴的上方, ,由相似三角形知识可知:,即,下同思路1.思路3 由于求离心率的本质是求a，b，c三者的关系，如果还是沿着上述思路求B，C坐标的话，因题目给出的是解析几何和向量的综合问题，那么，可以从向量入手进行运算，从而求出B，C的坐标.ABCOxyM因渐近线OB，OC的方程为

4、，设，解得，即，过C作x轴的垂线，垂足为M，直线AC的斜率为-1，则AMC为等腰直角三角形，|MC|=|AM|，即,下同思路1.思路4 由于本题的条件也可看成是三角形中的数量关系即，又因直线的斜率与三角函数紧密相连，因此，也可以通过解三角形的方法建立a，b的数量关系.ABCOxyN设直线AC与y轴相交于N，则，在AOB和BOC中，由正弦定理可知：，即，得,下同思路1.2 试题给我们的教学启示21注重通性通法，淡化特殊技巧高中数学新课程理念告诉我们：要与时俱进地认识“双基”。我国的数学教学具有重视基础知识教学、基本技能训练和能力培养的传统，新世纪的高中数学课程应发扬这种传统。与此同时，随着时代的

5、发展，数学课程设置和实施应重新审视基础知识、基本技能和能力的内涵，形成符合时代要求的新的“双基”。高考试题也正是体现这一基本理念，试题是侧重于能力立意，注重对基础知识、基本技能和基本数学能力的考查。因此，我们在教学中要注重通性通法，淡化特殊技巧，力求让学生熟练掌握解决数学问题的常规方法。思路1看似计算复杂，但在考试中可能是最容易想到的很自然的思路，同时，我们看到此解法也恰恰体现了高考对数学基础知识、数学基本思想方法和运算求解能力的考查。因此，我们不能借口高考是考能力而忽视基础知识、基本技能和基本数学思想方法。特别是在高三复习阶段，要着力提升学生对数学基础知识、基本数学概念、基本技能和基本数学思

6、想方法的应用能力，通过典型例习题和历年经典高考试题的讲评与训练，让学生充分体会其中蕴涵的数学思想方法，熟练掌握解决一些常规数学问题的通性通法，才能在高考中立于不败之地。22强调数学本质，提高应变能力高考重视对数学能力的考查，强调“能力立意”，就是以问题为载体，以知识为基础，以思维为主线，以能力为目标，全面考查学生进一步学习的潜能。因此，高考试题必然会考查数学本质和学生的理性思维。在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但是我们不能只限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里。此题如果学生能清晰地理解解析几何的本质，那么思路2也显得很自然，

7、这样大大减少了运算量。2004年上海高考曾考过这样一题：教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是_。结果有不少学生不知道答什么。说明学生平时只知道埋头做题，而缺少对数学本质的反思，有的教师在平时教学中忽视强调数学本质，结果学生云里雾里，失掉了基本分。数学是一门思维的学科，学生只有在思维的过程中才能加深对数学本质的理解。高考每年在变，题目千变万化，我们的教学如何才能以不变应万变，这就要求我们在教学中要充分揭示数学思维的全过程，培养学生的理性思维，引导学生关注题后的反思和拓展，强调数学本质，提高学生的应变能力。23重视知识交汇，提升综合能力该试题的设计体现了国家考试中

8、心提出的“应更多地从知识网络的交汇点上设计题目，从学科的整体意义、思想含义上考虑问题”的思想。试题将向量知识与解析几何知识有机地结合在一起，考查学生综合运用数学知识的能力。思路3通过向量的运算求出B，C点的坐标，过程简洁，运算流畅，体现了向量的工具性作用，不失为一种好方法。近年来体现在数学知识交汇处的试题经常出现，而且常考常新，对学生综合运用数学知识解决问题的能力要求较高。高中数学中有代数、几何、三角等多个分支，不同分支之间既有区别也有联系，例如，我们把代数中求函数值域的问题可以转化到几何中求距离或斜率的问题，也可以通过三角换元转化为三角问题；几何中的距离或最值问题也可以通过三角问题或函数的知

9、识来解决；立体几何中空间距离或空间角可以通过空间向量的方法来解决；解析几何也常常与平面向量结合在一起。所有这些都体现了数学中各个分支是息息相关、一脉相承，是一个有机的整体。因此，我们在教学中要重视设计知识交汇处的例习题，充分挖掘知识点的内涵，通过变换条件、结论来设计一题多变、一题多问、一题多解，创设开放性数学情境，引导学生发挥联想，从多角度、多维度去考察问题，让学生在联想中把不同分支的知识有机地联系起来，提高学生综合能力和解决问题的能力。24强化数学思想，提高数学素养高中数学新课程标准告诉我们：“数学教学要体现课程改革的基本理念，在教学中要引导学生积极主动地学习，掌握数学的基础知识和基本技能以

10、及它们所体现的数学思想方法，发展应用意识和创新意识，对数学有较为全面的认识，提高数学素养。”数学教学的根本目的是培养学生的数学思想，提高学生的数学素养，通过数学学习，使学生能用数学的思考方式去观察问题、分析问题和数学地解决问题。高考试题确立以“能力立意”为指导思想，着重考查学生的数学基础知识、数学思想方法和数学能力，全面检测学生的数学素养。思路4是从直线斜率与三角函数紧密联系的基础上，将问题转化到三角形中运用解三角形的知识去解决，体现了将问题合理转化的思想。如果学生有了数学思想方法，就能指导自己解题。因此，我们在教学中应着力加强函数与方程思想、数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想以及归纳法、换元法、反证法、配方法