曹广福版实变函数第三章习题解答

1、第三章习题参考解答第三章习题参考解答1.设是上的可测函数，证明：，是可测集.解：，因为是上的可测，所以与均是可测集.从而可测.2.设是上的函数，证明：在上的可测当且仅当对一切有理数，是可测集.证：，取单调递减的有理数序列使得，则.由每个的可测性，知可测.从而，在上的可测.设在上的可测，即，可测.特别地，当时有理数时，可测.3. 设是上的可测函数，证明：对于任意的常数，是上的可测函数.为证上述命题，我们先证下面二命题：命题1.若是中的非空子集，则，有证明：当时，因为，则.不妨设，.因为，为开区间.,存在开区间序列，.又因为（注：若，则.所以.由得任意性，有为开区间故存在开区间，使，且.又因为，故

2、.由得任意性，有从而.命题2.设，则可测，可测.(由P54.19题的直接推论).证：是直接的，我们仅需证明，如果，则为零测集.故可测.不妨设.现在证明，.事实上，对于，则，因为在可测，所以，即即可测. 3.设是上的可测函数，证明：对于任意常数，仍是上的可测函数.解：记，对于，当时，.故可测所以：可测.当时，令，则=.在因为在可测，故可测，又由命题2，可测.从而使上哦可测函数.4.设是上的可测函数，证明：在上可测.证明：，因为在上可测.所以是可列集.即可测.从而在上可测.5.若上的函数在任意线段上可测，试证它在整个闭区间上也可测.证明：，在上可测，记，则.又因为，.由每个的可测性，得可测.所以在

3、可测.令，即.故可测，从而在上可测.7.设是上的可测函数，证明：（i）对上的任意开集，是可测集； (ii) 对中的任何开集，是可测集；（iii）对中的任何型集或型集，是可测集.证：（i）当时中有界开集时，由第一章定理11（P.30），是至多可数个互不相交的开区间的并，即.由在上哦可测性，知：每个可测，从而可测.若是的误解开集，记，则是中有界开集，且，故.故由得可测性，知可测.(ii) 设是中的任一闭集，记是中开集.=，即.由与得可测性，知，可测.（iii）设， 分别为中型集和型集.即，存在开集列，闭集列使得，从而，且.由与的可测性，知与均可测.8.证明：上两个可测函数的和仍是可测函数.证明：设

4、，是上的两个可测函数，令，=.由，在可测，知，在可测. 从而，与可测. 故可测.又因是零测集，故可测.从而在上可测.9.证明：若是及上的非负可测函数，则也是上的非负可测函数.证明：因为是及上的非负可测函数，则，与均可测.于是，记，则可测.从而在上非负可测.10.设是中有界可测集，是上几乎处处有限的可测函数，证明：，存在闭集，使得，而在上有界.证明：（法一）由定理，闭集，使得且在上连续，现在证在上有界.如果在无界，即，使得.特别的，当时，有；当，使得；当时，使得，从而，得中互异点列，使得，即.另一方面，因为为有界，且，故有一收敛子列，不妨设，则，又因为在连续.对，时，恒有，即.取，则，但由得定义

5、，有，这是一矛盾.从而在有界.证明：（法二）由定理，闭集，使得且在上连续，现在用有限覆盖定理证：在上有界.，因为在连续.所以对，使得，恒有：，即.从而.因为是有界闭集，故由有限覆盖定理，存在，使得.取，则，有，.从而在有界.11.设是上的可测函数序列，证明：如果，都有，则必有 .证：，因为，故.又因为故，故 12证明:如果是上的连续函数，则在的任何可测自己上都可测.证明：（1）先证：在上可测.令，因为.现在证：是一个开集.事实上，取.因为在连续，则对于，使时，即，故，从而为开集，可测.即，在上可测.(2)再证：可测，在可测.事实上，这是P59性质2的直接结果.14.设,是上的两个可测函数序列，

6、且，都是上的有限函数证明：（i）是上可测函数（ii）对于任意实数，若，则还有（iii）若，且，在上几乎处处不等于0，则（iv）.证明：（i）因为，是可测函数列，由定理，有一个子列，使得 .再由P62性质4，是在可测，同理，在可测.（ii）先证：当时，有.事实上，当时，.所以.当时，因为，故.从而.再证：.事实上，.所以：.（iii）现在证：.先证：，必有.事实上，若（对于某个）.因为，而，则是有界无穷数列.故存在的子列使得.事实上，如果每个的收敛子列都.故，时，恒有.倘若不然，无穷个，使得.即是有界无穷点列，它有一收敛子列.不妨设这收敛子列就是它本身.因为，故.故这与得每个收敛子列都为零极限矛盾，从而，使得时，有.即，这与矛盾.所以有子列使得.另一方面：因为，所以.故由定理有一子列，有 ，从而 .故这与矛盾.从而，最后证：.事实上，.习题14（iii）引理例1，设，都是上的可测函数列且，如果，则. 证明：设，若，即使得即，有.特别的，当时，有；当时，有；当时，有这样继续下去，得的一子列使得，即是一个有界的无穷数列，有一收敛子列，.另一方面，因为，所以，由定理，必有一子列使得 .所以 .从而.即，这与矛盾.例2，设，则证：因为15.设是上的可测函数，则当且是有限函数时，对于，有（i）（ii）对