选修2-3第一章∶“计数原理”教材分析与教学建议

1、选修2-3第一章：“计数原理”教材分析与教学建议房山教师进修学校中学数学教研室 张吉一、地位与作用计数问题是数学中的重要研究象之一，分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具。计数原理是学习统计与概率以及相关分支的基础。计数原理的思想方法独特灵活，有利于培养和发展学生的抽象能力和逻辑思维能力。二、本章重点、难点1重点：（1）分类加法计数原理、分步乘法计数原理；（2）排列与组合的意义；（3）排列数公式与组合数公式；（4）二项式定理。2难点：（1）如何利用原理和有关公式解决应用问题。三、课程标准1分类加法计数原理、分步乘法计数原理

2、通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题。2排列与组合通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题。3二项式定理能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。四、教学安排与课时分配本章教学约需14课时，具本分配时间如下，仅供参考：节次内容课时11基本计数原理2课时12排列与组合8课时13二项式定理3课时小结与复习1课时五、课标教材与大纲教材比较这部分的内容与大纲没有太大的区别，在处理方式上，相对于排列、组合来说，标准更强调

3、基本的计数原理，而把排列、组合、二项式定理的证明作为计数原理的应用实例。就计数原理本身而言，标准强调对计数思想的理解，两个版本相比，A版更加注重体现课标的精神，比如：从内容编排上看，非常强调基本计数原理的思想及其应用，第一节安排了有梯度的9个例题，计划用4课时，让学生通过丰富的实例来熟悉原理及其基本应用，而同样内容B版为3个例题，2课时；注重学生对新概念、新公式的探究。避免抽象的讨论计数原理，而且强调计数原理在实际中的应用。教学用时比大纲少了4课时。六、教材分析（一）计数原理1分类加法计数原理（1）原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法那

4、么完成这件事共有种不同的方法（2）特点：两类方案中的任何一类的任何一种方法都可以完成这件事，并且两类方案中所有方法互不相同（3）一般结论：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，在第n类方案中有种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法（4）注意事项：完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，即做到“不重不漏”，才能用分类计数原理2分步乘法计数原理（1）原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法（2）特点：两个步骤缺一不可，

5、并且经过两个步骤恰好完成这件事（3）一般结论：完成一件事需要n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，做第n步有种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法（4）注意事项：在分步乘法计数原理中，完成一件事分为若干个有联系的步骤，只有前一个步骤完成后，才能进行下一个步骤当各个步骤都依次完成后，这件事才算完成但每个步骤中可以有多种不同的方法，而这些方法之间是相互独立的3区别与联系（1）区别：在分类计数中，完成一件事，每一类中的每一种方法都可以达到目的，即都可以完成这件事在分步计数中，完成一件事，只有各个步骤都完成，才算完成此事（2）联系：都是探讨完成一件事情的方法种数，即计数问题 两

6、个原理在处理问题时相互交织、互相渗透4.特别提示（1）理解分类加法计数原理，要注意以下三点：清楚完成“一件事”的含意，即知道做“一件事”，或完成一个“事件”在每个题中的具体所指；解决“分类”问题用分类加法计数原理需要分类的事件不妨叫做“独立事件”，即完成事件通过途径A，就不必再通过途径B就可以完成，每类办法都可以完成这件事注意各类之间的独立性和并列性，否则，不独立会出现重复，不并列会出现遗漏；每个问题中，标准不同，分类也不同分类的基本要求是，每一种方法必属于某一类（不漏），任意不同类的两种方法是不同的（不重复）（2）理解分步乘法计数原理，要注意以下三点：清楚完成“一件事”的含意，即知道完成一个

7、事件，在每个题中需要经过哪几个步骤；“分步”用乘法原理，需要分成若干个步骤，每个步骤都完成了，才算完成了一个事件，不妨称此为“相关事件”要注意各步骤之间的连续性；每个问题中，标准不同，分步也不同分步的基本要求是完成一件事，必须且只需连续做完几步，既不漏步也不重复，二是两个步骤的方法之间是无关的，不能互相替代5典例分析a明确题目要完成什么事情，如何去完成例1 甲同学有若干本课外参考书，其中有5本不同的数学书，4本不同的物理书，3本不同的化学书，现在乙同学向甲同学借书（1）若借一本书，则有多少种不同的借法？（2）若每科各借一本，则有多少种不同的借法？（3）若借两本不同学科的书，则有多少种不同的借法

8、？解：（1）因为需完成的事情是“借一本”书，所以借给他数学、物理、化学书中的任何一本，都可以完成这件事情故用分类加法计数原理，共有5+4+3=12种不同的借法；（2）需完成的事情是“每科各借一本”书，意味着要借给乙3本书，只有从数学、物理、化学三科中各借一本，才能完成这件事情，故用分步乘法计数原理，共有5×4×3=60种不同的借法；（3）需完成的事情是“从三种学科的书中借两本不同学科的书”，要分三种情况：借一本数学书和一本物理书，只有两本书都借，事情才能完成，由分步计数原理，知有5×4=20种借法；借一本数学书和一本化学书，同理由分步乘法计数原理，知有5×

9、;3=15种借法；借一本物理书和一本化学书，同理由分步计数原理，知有4×3=12种借法而上述的每一种借法都可以独立完成这件事情，由分类计数原理，知共有20+15+12=47种不同的借法b“类与类”之间相互独立且并列，分类过程不重不漏14523例2 用4种不同的颜色对右图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能同色，则共有多少种不同的涂色方法？解：由题意知，必有两个区域涂相同的颜色，从图形的形状可知1与3；1与5；2与5；3与5的区域可涂相同的颜色这样可将问题分成四类，每一类均有4×3×2×1=24种涂色方法所以共有4

10、5;24=96种涂色方法c“步与步”之间相依且连续，但不能交叉重复例3 从3名男生，2名女生中选3名同学参加代表大会，要求3名同学的性别不全相同，有多少种选法？解：第一类：有1名女生，2名男生，选法为2×3=6（种）；第二类：有2名女生，1名男生，选法为1×3=3（种）所以共有6+3=9种选法（二）排列与组合1排列与组合的意义排列与组合是既有联系又有区别的两类问题，它们都是从n个不同元素中任取m个不同元素.但是前者要求将元素排成一个顺序，后者对此不做要求.若不理解排列问题和组合问题的区别，在分析实际问题时就会犯错误.2两类基本公式（1）排列数公式 规定：0！=1（2）组合数

11、公式 特别地：3两类基本性质（1）排列性质：（2）组合性质：性质1., 性质2.在解决排列组合的计算或证明以及解方程，解不等式等问题时，经常用排列数公式、组合数公式以及组合数的两个性质.解这类题的关键是准确、熟练地运用这些公式及性质，但是在使用公式时要注意：计算题与证明题的类型不同，要求选择公式的形式就不同.排列数公式与组合数公式都有两种形式：乘积形式和阶乘形式前者多用于数字计算，后者多用于证明恒等式，同时要注意公式的倒用，即由可得出.排列数与组合数中m、n的关系是 ；牢记：0！=1；组合数派生性质：4排列组合的综合应用排列与顺序有关，或者说与所有顺序有关.组合与顺序无关，或者说与一种顺序有关

12、.例如：从1、2、3、4四个数字中任取3个不同的数字，可组成多少个不同的三位数？这是排列问题，有个，而组成的三位数中个位、十位、百位上的数字递增的三位数有多少个？这是一种确定的顺序，是组合问题，有个不同的三位数.按元素的性质分类，按事件发生的连续过程分步，是处理排列组合问题的基本数学思想方法，要注意题设中“至少”、“至多”等限制词的意义.处理排列组合的综合性问题，一般的思想方法是对于要取出的元素不是一次完成的排列问题，要注意先选取元素，直到把应取的元素都取出来后，再进行排列在排列问题中，某几个元素必须在某几个固定位置，某几个元素不能在某几个位置，某几个元素必须在一起，某几个元素互不相邻等，是排

13、列中的几种基本类型.在组合问题中，某些元素必须在内，某些元素都不在内，某些元素恰有一个在内，某些元素至少有一个在内，某些元素至多有一个在内等，是组合的几种基本类型.5典例分析排列组合应用题的解题方法既有一般的规律，又有很多特别的技巧，它要求我们要认真地审题，对题目中的信息进行科学地加工处理。下面通过一些例题来说明几种常见的解法。运用两个基本原理 加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们都要考虑在记数的时候进行分数或分步处理。 例1：n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？ 解法1：用分类记数的原理，没有人通过，有种结果；1个人通过，有种结果，；

14、n个人通过，有种结果。所以一共有种可能的结果。 解法2：用分步记数的原理。第一个人有通过与不通过两种可能，第二个人也是这样，第n个人也是这样。所以一共有种可能的结果。 例2：同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（ ） （A）6种 （B）9种 （C）11种 （D）23种 解：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a、b、c、d。 第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式； 第二步，假设甲取b，则乙的取法可分两类： （1）乙取a，则接下来丙、丁的取法都是唯一的， （2）乙取c或d（2种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法

15、也都是唯一的。 根据加法原理和乘法原理，一共有种分配方式。特殊元素（位置）优先 例3：从0，1，9这10个数字中选取数字组成偶数，一共可以得到不含相同数字的五位偶数多少个？ 解：个位选0，有个，个位不选0且万位不能选0，有个，所以一共可以得到个偶数。 注 0，2，4，6，8是特殊元素，元素0更为特殊，首位与末位是特殊的位置。 例4：8人站成两排，每排4人，甲在前排，乙不在后排的边上，一共有多少种排法？ 解：先排甲，有种排法。再排乙，有种排法，再排其余的人，又有种排法，所以一共有种排法。捆绑法 例5：8人排成一排，甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁，有多少种排法？ 解：把甲、乙、丙先排好，有种排法，

16、把这三个人“捆绑”在一起看成是一个，与其余5个人相当于6个人排成一排，有种排法，所以一共有=1440种排法。插入法 例6：排一张有8个节目的演出表，其中有3个小品，既不能排在第一个，也不能有两个小品排在一起，有几种排法？ 解：先排5个不是小品的节目，有种排法，它们之间以及最后一个节目之后一共有6个空隙，将3个小品插入进去，有种排法，所以一共有=7200种排法。 注：捆绑法与插入法一般适用于有如上述限制条件的排列问题。排除法 例7；求以一个长方体的顶点为顶点的四面体的个数。 解：从8个点中取4个点，共有种方法，其中取出的4个点共面的有种，所以符合条件的四面体的个数为个。 例8：100件产品中有3

17、件是次品，其余都是正品。现在从中取出5件产品，其中含有次品，有多少种取法？ 解：从100件产品中取5件产品，有种取法，从不含次品的95件中取出5件产品有种取法，所以符合题意的取法有种。 例9：8个人站成一排，其中A与B、A与C都不能站在一起，一共有多少种排法？ 解：无限制条件有种排法。A与B或A与C在一起各有种排法，A、B、C三人站在一起且A在中间有种排法，所以一共有+=21600种排法。机会均等法 例10：10个人排成一队，其中甲一定要在乙的左边，丙一定要在乙的右边，一共有多少种排法？ 解：甲、乙、丙三人排列一共有6种排法，在这6种排法中各种排列顺序在10个人的所有排列中出现的机会是均等的，

18、因此符合题设条件的排法种数为。 例11：用1，4，5，四个数字组成四位数，所有这些四位数中的数字的总和为288，求。 解：若不为0，在每一个数位上1，4，5，出现的机会是均等的。由于一共可以得到24个四位数，所以每一个数字在每一个数位上出现6次，于是得到： ，解得。 若为0，无解。转化法 例12：一个楼梯共10级台阶，每步走1级或2级，8步走完，一共有多少种走法？ 解：10级台阶，要求8步走完，并且每步只能走一级或2级。显然，必须有2步中每步走2级，6步中每步走一级。记每次走1级台阶为A，记每次走2级台阶为B，则原问题就相当于在8个格子中选2个填写B。其余的填写A，这是一个组合问题，所以一共有

19、种走法。 例13：动点从（0，0）沿水平或竖直方向运动到达（6，8），要使行驶的路程最小，有多少种走法？ 解：动点只能向上或向右运动才能使路程最小而且最小的路程为14，把动点运动1个单位看成是1步，则动点走了14步，于是问题就转化为在14个格子中填写6个“上”和8个“右”，这也是一个组合的问题，于是得到一共有种走法。隔板法 例14：20个相同的球分给3个人，允许有人可以不取，但必须分完，有多少种分法？ 解：将20个球排成一排，一共有21个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（两个隔板可以插在同一空隙中），规定由隔板分成的左、中、右三部分球分别分给3个人，则每一种隔法对应了一种分法，每一种分法对应了一

20、种隔法，于是分法的总数为种方法。注：本题可转化成求方程的非负整数解的个数。（三）二项式定理1二项式定理的内容：（a+b）n=Cn0an+Cn1an-1b+bn2对通项公式的理解：（1）对通项要注意以下几点:它表示二项展开式中的任意项，只要n与r确定，该项也随之确定. 公式表示的是第r+1项，而不是第r项. 公式中a、b的位置不能颠倒，它们的指数和一定为n.（2）要注意区分，展开式的第r+1项的二项式系数与第r+1项的系数是两个不同的概念，千万不能混在一起.3二项式系数的性质（1）展开式中与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等.（2）若二项式的幂指数是偶数，则展开式的中间一项即第项的二项式系

21、数最大；若二项式系数的幂指数是奇数，则展开式的中间两项即第（）项和第（）项的二项式系数相等且最大.（3）展开式的所有二项式系数的和等于.即（4）展开式中的奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.即 =4注意的几个问题：（1）用二项式定理进行幂的近似计算时，首先要将幂的底数拆成两项，构造二项式；其次要根据题设的精确度选取展开的项数.（2）利用二项式定理证明整除性问题，也应灵活处理底数，使之符合需要.（3）赋值法是解决二项展开式中有关系数问题的重要手段，许多复杂的与系数有关的问题均可以通过正确的、简单的赋值得到解决.5典例分析例1设,则_例2若（1+2x7=a0+a1x+a2x2+a3x

22、3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，求（1）展开式中各项系数和；（2）a0+a2+a4+a6的值。（3）a1+ a3+ a5+ a7的值。 解：（1）利用赋值法，令x=1，得 （1+2）7=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=37=2187 （1） 令x=-1，（1-2）7=a0+a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=-1 （2）（1）+（2），得2a0+2a2+2a4+2a6=2187-1=2186，即a0+a2+a4+a6=1093（3）a1+ a3+ a5+ a7= a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7-（a0+a2+a4+a6）=2187-1093=1

23、094例3（展开式中的常数项是 240 （用数字作答）.例4已知的展开式中的系数与的展开式中的系数相等，则_例5展开式中的系数是10（用数字作答）。例6的展开式中含x的正整数指数幂的项数是（ ）（A）0（B）2（C）4（D）6例7若的展开式中的系数是-80,则实数的值是 .七、教学建议1本章的重点是分类加法计数原理和分步乘法计数原理，排列和组合的意义，排列数、组合数计算公式，二项式定理。 难点是如何正确运用有关公式解决应用问题。在解决问题时，由于对问题本身和有关公式的理解不够准确，常常发生重复和遗漏计算、用错公式的情况。为了突破这一难点，教学中应强调一些容易混淆的概念（如排列与排列数

24、、组合与组合数、排列与组合、二项式系数与二项展开式中项的系数等）之间的联系与区别，强调运用各个公式的前提条件，并对学生计算中出现的一些典型错误进行认真剖析。2要从一些学生感兴趣的问题引入本章学习，让学生了解计数的应用价值，体会学习本章的必要性，从而激起他们进一步研究的兴趣。例如，所在城市的电话号码为什么要升位？升位后的最大装机容量怎么计算？世界杯足球赛每个阶段的赛事要进行多少场比赛？3对两个基本计数原理学生一般是不难理解的，然而应用它们去解决问题时具有很大的灵活性，要达到会用的境界，需要一定量的应用性训练。建议教学时结合具体问题，着重引导学生弄清两个原理的联系与区别，如何根据问题的特征选择对应

25、的原理，合理运用两个计数原理解决各种背景下的计数问题。4排列组合的应用题所涉及的问题背景非常丰富，而计算可用的公式只有几个，与旧知识联系也少，要从千差万别的实际问题中抽象出一些特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力。在教学时，要通过典型例题，形成典型问题的思维模式；注意常见题型与常用方法的归纳。5关于组合数的两个性质，标准未做要求，而教材将其作为探究问题供学生选学。这两个性质能够有效简化一些组合数的运算，同时也是进一步研究杨辉三角的预备知识，因此建议还是组织学生学习，并补充一些简单的应用；对于程度较好的学生，可以用组合数公式给予严格的证明，并尝试用组合的意义给予解释，让学生体会其本质。6在深刻

26、理解的基础上，严格要求按照两个原理去做。分类计数原理和分步计数原理是两个基本原理，它们既是推导排列数公式、组合数公式的基础，也是解决排列、组合问题的主要依据，并且还常需要直接运用它们去解决问题，这两个原理贯穿排列、组合学习过程的始终.搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性.分类计数原理是对完成一件事的所有方法的一个划分，依分类计数原理解题，首先明确要做的这件事是什么，其次分类时要根据问题的特点确定分类的标准，最后在确定的标准下进行分类.分类要注意不重复、不遗漏，保证每类办法都能完成这件事.分步计数原理是指完成一件事的任何方法要按照一定的标准分成几个步骤，必须且只需连续完成这几个步骤

27、后才算完成这件事，每步中的任何一种方法都不能完成这件事.从以上的分析可以看出，分类计数原理和分步计数原理的地位是有区别的，分类计数原理更具有一般性，解决复杂问题时往往需要先分类，每类中再分成几步.在排列、组合教学的起始阶段，不能嫌罗嗦，教师一定要先做出表率并要求学生严格按原理去分析问题.只有这样才能使学生认识深刻、理解到位、思路清晰，才会做到分类有据、分步有方，为排列、组合的学习奠定坚实的基础.7指导判定与顺序有无关系，分清排列与组合。 排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，

28、与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系.下面几种方法可供参考.（1）指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通.（2）能列举出某种方法时，让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别.（3）学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，

29、即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题. 8引导联系现实情景，正确领会问题的实质。    排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔者观察，有些同学之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规的做法）.要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高.9倡导一题多解优化解法，交流合作互相启发排列、组合问题解题方法比较灵活，问题思考的角度不