利用导数研究函数的极值(上课用)

1、用函数的导数判断函数单调性的法则：用函数的导数判断函数单调性的法则：1如果在区间如果在区间(a，b)内，内， ，则，则f(x)在在此区间是增函数，此区间是增函数，(a，b)为为f(x)的的单调增区间单调增区间；2如果在区间如果在区间(a，b)内，内， ，则，则f(x)在在此区间是减函数，此区间是减函数，(a，b)为为f(x)的的单调减区间单调减区间；3.如果恒有如果恒有 ，则，则 是是?。)(xf0)(xf常数常数0)(/xf0)(/xf什么条件？为增（减）函数的是函数或、)()0(0)(4/xfxf充分不必要条件充分不必要条件2.2.求函数单调性的一般步骤求函数单调性的一般步骤求函数的定义域

2、求函数的定义域;求函数的导数求函数的导数 f/（x）; 解不等式解不等式 f/（x）0 得得f(x)的单调的单调递增递增区间区间; 解不等式解不等式 f/（x）0).0)( xf当当x变化时变化时, ,f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表:)(xf 例例3求函数求函数y=x42x2+5在区间在区间2，2上的上的最大值与最小值最大值与最小值当当x=2时，函数有最大值时，函数有最大值13， 当当x=1时，函数有最小值时，函数有最小值4 1.函数函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值，又既有极大值，又有极小值，则有极小值，则a的取值范围为的取值范围为 .2.函数函数f(x)=

3、x3+3ax2+3(a+2)x+3在区间（在区间（-2，,2）上既有极大值，又有极小值，则上既有极大值，又有极小值，则a的取值范围的取值范围为为 .156a3、已知函数已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在在x=1处有极值处有极值为为10,求求 a、b的值的值.极值逆用极值逆用a=4,b=-11.1、下图是导函数、下图是导函数 的图象的图象, 在标记的点中在标记的点中, 在哪一在哪一点处点处(1)导函数导函数 有极大值有极大值?(2)导函数导函数 有极小值有极小值?(3)函数函数 有极大值有极大值?(4)函数函数 有极小值有极小值?)(xfy)(xfy)(xfy)(xfy )(xfy 2

4、xx 1xx 4 xx 或或3xx 5xx （2 2）函数函数cosyxx的导函数的导函数( )fx在区间在区间 ，上的图象大致是（上的图象大致是（ ） A3函数函数f(x)=x 的极值情况是的极值情况是( ) (A) 当当x=1时取极小值时取极小值2，但无极大值，但无极大值 (B) 当当x=1时取极大值时取极大值2，但无极小值，但无极小值 (C) 当当x=1时取极小值时取极小值2，当，当x=1时取时取极大值极大值2 (D) 当当x=1时取极大值时取极大值2，当，当x=1时取时取极小值极小值21xD 4.（2006年天津卷年天津卷)函数函数 的定义域为开区间的定义域为开区间( )f x导函数导

5、函数 在在 内的图像如图所示，则函数内的图像如图所示，则函数在开区间在开区间 内有（内有（ ）个极小值点。）个极小值点。 ( )fx ( , )a b( , )a b( , )a b( )f x(A)1 (B)2 (C)3 (D) 4 abxy)(xfyO abxy)(xfyO练习练习:求函数求函数 的极值的极值.216xxy 解解:.)1 ()1 ( 6222xxy 令令 =0,解得解得x1=-1,x2=1.y 当当x变化时变化时, ,y的变化情况如下表的变化情况如下表:y x(-,-1) -1(-1,1) 1 (1,+) y - 0 + 0 - y 极小值极小值-3 极大值极大值3 因此因

6、此,当当x=1时有极大值时有极大值,并且并且,y极大值极大值=3;而而,当当x=-1时有极小值时有极小值,并且并且,y极小值极小值=- 3.5、已知函数已知函数f(x)=-x3+ax2+b. (1)若函数若函数f(x)在在x=0,x=4处取得极值处取得极值,且极小值为且极小值为-1, 求求a、b的值的值. (2)若若 ,函数函数f(x)图象上的任意一点的切线斜图象上的任意一点的切线斜 率为率为k,试讨论试讨论k-1成立的充要条件成立的充要条件 . 1 , 0 x解解:(1)由由 得得x=0或或x=4a/3.故故4a/3=4, a=6.023)(2 axxxf由于当由于当x0时时, 故当故当x=0时时,f(x)达到极小值达到极小值f(0)=b,所以所以b=-1. 0)(, 0)( xfxf(2)等价于当等价于当 时时,-3x2+2ax-1恒成立恒成立,即即g(x)= 3x2-2ax-10对一切对一切 恒成立恒成立. 1 , 0 x 1 , 0 x