自然边界条件

1、1.2.2自然边界条件上节中待求函数的边界值是已知的，本节放松边界值为可随意变动的情况。 这里的问题是：在a乞x乞b的区间内，决定一个函数 y(x)使泛函bV = F(x,y,y)dx 取驻值由上节的变分过程可知：,b 3F dcFcF b a乜芯（Rydx 丁儿i/ Euler方程仍必须成立，否则便能找到一个、丫使：V大于(或等于)零。在边界值中，/y也可任意，故必须有(道理同前)在 x=a 及 x=b 处：-0( *)ii/边界条件(*)是根据取驻点的要求推导出来的，不是事先指定的。所以，这类条件为 自然边界条件。(或)：在泛函的驻值寻找中，自变函数必须满足的条件(即在满足这些条件的函数中

2、寻找 泛函极值)称为基本/本质(Essential)边界条件；而事先不必考虑，变分的结果自然满足的 边界条件称自然边界条件(Natural )。iii/推广至更广泛的一些问题在a _x _b的区间内，决定一个函数y(x)使泛函bV = J F(x, y, y )dx Py(a) Qy(b)a取驻值，其中 P , Q为已知数值。求V的变分设：,bV F(x, y, y)dx P y(a) Qy(b)aIFd；:FFF,心= - ()Kydx+P -Ix(a) +Qlx主向(b)a :ydx:y:y;y道理同前，还可得如下自然边界条件：FF在 x-a,二P x-b, = Q:y: y1.2.3.

3、泛函的二阶变分女口函数的二阶微分用于判定函数驻值性质一样，泛函的二阶变分可用来判定泛函的驻值性质，V的一阶小量部分称为的V阶变分，记 VV的二阶小量部分称为的V二阶变分，记：2V二兰(x,y,y),兰二兰(x, y,y)Note:.:yjy纠 -y、.（、y）=0、（、y）=0（近似取）、2VF y F、y、y 匚 y y ydx ：y：y：*yy：y :y：y(、y)2dx极值性质结论：2V:0:V=0、V-02V0、V-02V_0、V-02V 0V-02v:0b ：2p(y)21.2.4.涉及高阶导数的驻值问题 先考虑下列泛函的驻值问题：bV = f F（x, y,y；y“）dxaV取极大

4、值V取极小值V取非极大的驻值（当为多元函数时）V取非极小的驻值V取非极值的驻值（不定或等于零）作法：i/求V的一阶变分，设：、V = M、.y M、y M,ydx y :y:yii/利用分步积分把上式第二项化成：-)yd- y|:yyiii/连续用两次分步积分，把上式第三项化为:y dx 二-ydx-yCFcy+讣匡2ydx-a dx : y接连利用k次分步积分公式，上式中的代表项化为:;F:y2d FdFF()2()、ydx dx jydx :y；y接连利用k次分步积分公式，上式中的代表项化为:接连利用k次分步积分公式，上式中的代表项化为:iv/ 由第一项可推出:Euler:2却于）加于接连

5、利用k次分步积分公式，上式中的代表项化为:接连利用k次分步积分公式，上式中的代表项化为:否则可找到一个y，使:V的第一次大于（或小于）零。 分析中的第二项，若在边界上已知y，那么，:y =0于是第二项便恒等于 0，反之,若y可取任意值，那么应使:F d ；:Fx ()=0 rx rI r 计.y dx ；y否则，可找一个使 V的第二项大于（或小于）零。 分析 V中的第三项，如果在边界上不是已知y，则应有:F0-y归纳本问题的边界条件:及x=b处：在x=ay =已知（基本条件）-0 （自然条件）y =已知（基本条件）匚0（自然条件）homework:求下列泛函的极值问题:2；D 月 w 2N d

6、w 2 k 20(2) L ) o w -qwdx0 2 dx2 dx 2再考虑包含更高阶导数的泛函驻值问题，取：b（）V = （ F（x, y：y：，y ）dx作法雷同wab王主f蛊-畀每-y（n）dx a :y :y;yy务丁川）dx予严I； （如严需kj dkJ Fb（7 沪 Rm接连利用k次分步积分公式，上式中的代表项化为:接连利用k次分步积分公式，上式中的代表项化为:X7dx+-Fy/Vd-dx+7F- y”：V可以化为:-Fy- -ba-:v利y|adx :ydx接连利用k次分步积分公式，上式中的代表项化为:接连利用k次分步积分公式，上式中的代表项化为:（壬）y ia_g（互）+（期竺、dx :ydx ； ya （n）-y由于y的任意性，可得:cFd cFEuler :（.y dxL （上）_（_1）nV dx2 （；:ydxn/ ： F（铲）=0在x=a及x=b处:y =已知 或（1）.y dx :ynnJ dnVdx（o接连利用k次分步积分公式，上式中的代表项化为:接连利用