理论力学--10动力学

1、1例题1. 曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速度转动,OA = AB = r.滑块B的运动方 程为x=2rcos如滑块B的质量为m，摩擦及连杆AB的质量不计.求当=t=0时连杆AB所受的力.OAB 2解:取滑块B为研究对象，进行运动分析和 受力分析。 （由于杆的质量不计（由于杆的质量不计,AB为二力杆且受平为二力杆且受平 衡力系作用衡力系作用.）BNmgF x = 2rcos = tax = - 2r2cosmax = - FcosF = 2 mr23例题2. 滑轮系统如图所示.已知m1 = 4kg , m2 = 1kg和 m3 = 2kg.滑轮和绳的质量及摩擦均不计.求三个物体的加速度.

2、( g = 10m/s2 )OCm1m2m34解解:建立图示坐标建立图示坐标.x1 + xC = c1(x2 - xC ) + (x3 - xC ) = c232132333322221111321020TTTTTxmTgmxmTgmxmTgmxxxxxCC OCm1m2m3xT1T2T3m1gm2gm3 g5解上述方程组得:232221/2/6/2smxsmxsmx oT1TcTccT2T3Fo6例题例题3：细绳长为：细绳长为l,上端固定在上端固定在O点，下端系一质量为点，下端系一质量为m的小的小球球,在铅垂面内作微幅摆动。初时，绳的偏角为在铅垂面内作微幅摆动。初时，绳的偏角为 o,小球无初

3、小球无初速释放。求：绳微小摆动时的运动规律。速释放。求：绳微小摆动时的运动规律。解：取小球为研究对象，进行运动解：取小球为研究对象，进行运动受力分析，如图。受力分析，如图。FVF= m a, - mgsin= mdv/dt ml dv/dt=lsin=+mg=0令令K = g/l, 2+k =02此方程的通解为此方程的通解为:=Acos(kt +) t=0时时=o，V=Vo=(l )o=o= - Aksino=Acos=0联立求解得联立求解得：A=o, =0微小摆动的运动方程为微小摆动的运动方程为：= ocos(kt)olo nmgF7例题4.质量为m的质点在力F = acost i+bsin

4、t j作用下运动,其中a,b与均为常数,在初瞬时质点位于原点且初速度为零.求在瞬时t ,(1)质点的位置;(2)质点的速度.解: Fx = acostFy = bsint mdvx /dt =(acost)tvxdttamdvx00cosmvx=a sinttmavxsinmdvx=(acost)dtoyxF8同理可以积得:txdttadxm00sintmaxcos12tmbvycos1ttmbysin2 dx/dt=amsint9例题5. 水平面上放一质量为M 的三棱柱A 其上放一质量为 m 的物块 B , 设各接触面都是光滑的.当三棱柱A具有图示的加速度ae时,讨论滑块下滑的加速度及与斜面

5、间的相互作用力.BAae10解: 取物块B为研究对象.BaemgNarm(ar+aecos) = mgsin (1)maesin = N-mgcos (2)联立(1)(2)式解得:ar = gsin - aecosN= m(gcos+aesin)讨论:(1)当ae=gtg时ar = 0; N= mg/cos(2)当aegtg时ar 0.(3)当ae=-gctg时ar = g/sin, N=0; am = g此时m即将与斜面脱离而成为自由体.11例题：质量为例题：质量为 1kg 的重物的重物 M ，系于长度为，系于长度为 l = 0.3m 的线上，线的的线上，线的另一端固定于天花板上的另一端固定

6、于天花板上的O点，重物在水平面内作匀速圆周运动而点，重物在水平面内作匀速圆周运动而使悬线成圆锥面的母线，且悬线与铅垂线间的夹角恒为使悬线成圆锥面的母线，且悬线与铅垂线间的夹角恒为600。试求。试求重物运动的速度和线上张力重物运动的速度和线上张力600lrz12vmgFT600lrbnz解：选解：选 重物重物M 为研究对象为研究对象M上的力有重力上的力有重力 mg及悬线的拉力及悬线的拉力 FT ，同在悬线，同在悬线OM与轴与轴Oz所构成的平面内。所构成的平面内。13vmgFT600lrbnzFFrvmFdtdvmbnt0260cos0FmgT060sin0FT14vmgFT600lrbnzFFr

7、vmFdtdvmbnt0260cos0FmgT060sin0FTNmgFT6 .1960cos0smmrFvT1 . 260sin015已知已知:匀速转动匀速转动 时小球掉下。时小球掉下。0求求:转速转速n.例例10-4粉碎机滚筒半径为粉碎机滚筒半径为，绕通过中心的水，绕通过中心的水平轴匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。平轴匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为了使小球获得粉碎矿石的能量，铁球应在为了使小球获得粉碎矿石的能量，铁球应在时才掉下来。求滚筒每分钟的转数时才掉下来。求滚筒每分钟的转数n 。016解：研究铁球解：研究铁球cos2mgFRvmNRnv30其中解得时当, 0,

8、0NF0cos549. 9Rgn 球不脱离筒壁。时当,49. 9Rgn 已知已知:匀速转动。匀速转动。 时小球掉下。时小球掉下。求求:转速转速n.017例题：电梯以加速度例题：电梯以加速度a上升，在电梯地板上，放上升，在电梯地板上，放 有质量为有质量为m的重物。求重物对地板的压力。的重物。求重物对地板的压力。a解：取重物为研究对象解：取重物为研究对象 进行受力分析与运动分析。进行受力分析与运动分析。NmgFy= m ayN - mg=m aN=mg+ma=N（静反力；附加动反力）（静反力；附加动反力）讨论：若加速度方向向下讨论：若加速度方向向下则则N=mg - ma=N(1)a=g时，时，N=

9、0；(2)ag时，重物离底。时，重物离底。18例题：汽车质量为例题：汽车质量为m,以匀速以匀速V驶过拱桥，桥顶点的曲率驶过拱桥，桥顶点的曲率 半径为半径为R。求车对桥顶的压力。求车对桥顶的压力。解：取汽车为研究对象，进行解：取汽车为研究对象，进行 运动、受力分析如图。运动、受力分析如图。mgNannFn=man, mg - N = mv2/ RN=mg - mv2/ R=N an=V2/ R=g时， N=0 an=V2飞车。/ Rg时，19例例1：圆轮质量为：圆轮质量为m,半径为半径为R，以角速度，以角速度 沿地面作纯滚动。沿地面作纯滚动。求：圆轮的动量。coVc解：O点为瞬心。质心的速度为

10、Vc=R动量 P=mR( )20二、质点的动量定理二、质点的动量定理:微分形式:dP/dt = mdv/dt=ma=F即：dP/dt=F*、守恒定理:若 F= 0 则 P= c (恒矢量)若 Fx= 0 则 Px = c (恒量)积分形式:上式向坐标轴投影：dPx/dt=FxIdtFPPtt211221 四四.质心运动定理质心运动定理(1)运动定理: M ac = R(e) ezceycexcRzMRyMRxM (2)守恒定理: 若 R(e) = 0 则 vc = c (恒矢量), vco = o, rc=恒矢量 若 R(e)x = 0 则 vcx = c (恒量), vcxo= 0, xc

11、= 恒量 dp/dt=d(miVi)/dt=d(MVc )/dt=midVi/dt=MdVc /dt=miai= Mac =R(e)22例题2. 图示椭圆规尺AB的质量为 2m1 ,曲柄OC的质量为m1 ,而滑块A和B的质量均为m2.已知OC=AC=CB=l ,曲柄和尺的质心分别在其中点上,曲柄绕O轴转动的角速度为常量.求图示瞬时系统的动量.OB CAt23解:系统由四个物体组成. 滑块A和B的质心与椭圆规尺AB的质心C总是重合在一起,而AB作平面运动.瞬心为I.OB CAtIIC = OC = lvCvDOA杆作定轴转动D为质心.DlvD21lvCBAABOCPPPPPlmPOC121lmm

12、mPPPBAAB)2(221= 2(m1+m2)lP = (2.5m1 + 2m2)l24例题3. 小车重W1= 2kN, 车上有一装沙的箱重W2=1kN,以3.5km/h的速度在光滑直线轨道上匀速行驶.今有一重W3= 0.5kN的物体铅垂落入沙箱中,如图.求此后小车的速度. 又设重物落人沙箱后,沙箱在小车上滑动 0.2 s 后,始与车面相对静止, 求车面与箱底间相互作用的摩擦力.25解:取小车,沙箱和重物组成的系统为研究对象R(e)x = 0 Px = Px0 设重物落入后小车最后具有的速度为vovgWWvgWWW21321v0 = 3.5 km/h解得: v = 3km/hN1N2WW32

13、6取小车为研究对象.N1N2P2x - P1x = I(e)xtFvvgWo1F = 0.14 kNW1FN27例题4.均质杆AD 和 BD长为l 质量分别为6m和4m ,铰接如图.开始时维持在铅垂面内静止.设地面光滑,两杆被释放后将分开倒向地面.求D点落地时偏移多少.ABD60 (系统的质心的x坐标守衡.沿y方向运动)28ABD60 解:取AD和BD组成的系统为研究对象.C1和C2分别为AD杆和BD杆的质心.C为系统的质心.C1C2 = 0.5lmmlmCC465 .041= 0.2l取过质心C的铅垂轴为 y 轴建立坐标如图.C1C2CxyOxD0 = 0.25l - 0.2l = 0.05

14、lxD029画系统受力图. ABD60 C1C2CxyO6mg4mg已知vc0 = 0则vcx = 0 由于R(e)x = 0则vcx = c 系统的质心沿y轴作直线运动.当 D点落地时C点应与O点重合.N1N230画系统完全落地时的位置图.ABDOC1C2(C)mmmlCC4641= 0.4lxD = 0.5l - 0.4l = 0.1lx = xD - xD0= 0.1l - 0.05l = 0.05l xy31例题5.图示质量为m半径为R的均质半圆形板,受力偶M作用,在铅垂面内绕 O轴转动,转动的角速度为,角加速度为. C点为半圆板的质心,当OC与水平线成任意角时,求此瞬时轴O的约束反力

15、.(OC=4R/3) COM 32 COM aCnaC解:取半圆板为研究对象.sincos342jiRacncossin34jiRacsincos342Racxcossin342Racy33 COM aCnaC画受力图.XO = maCxYO - mg = maCysincos342mRXOcossin342mRmgYOXOYOmg应用质心运动定理34例例11-1 11-1 电动机外壳固定在水平基础上电动机外壳固定在水平基础上, ,定子和外壳定子和外壳的质量为的质量为 , ,转子质量为转子质量为 . .定子和机壳质心定子和机壳质心 , ,转子质转子质心心 , , ,角速度角速度 为常量为常量.

16、 .求基础的水平及铅直求基础的水平及铅直约束力约束力. .1m2m1O2OeOO2135temgmmFycos)(2221temFxsin22得得emp2tempxcos2tempysin2解解: :12ddyypFm gm gtddxxpFt由由36xtemsin22方向方向: :动约束力动约束力 - - 静约束力静约束力 = = 附加动约束力附加动约束力本题的附加动约束力为本题的附加动约束力为ytemcos22方向方向: :电机不转时电机不转时, , , , 称称静约束力静约束力; ;电机转动时的约束力称电机转动时的约束力称动约束力动约束力, ,上面给出的是动约束上面给出的是动约束力力.

17、.0 xFgmmFy)(2137求求: :电机外壳的运动电机外壳的运动. .例例 11-6 11-6 地面水平地面水平, ,光滑光滑, ,已知已知 , , , , ,初始静止初始静止, , 常量常量. .1m2me(系统的质心的x坐标守衡.)382121)sin()(2mmseamsamxCaxC1解解: :设设由由 , ,21CCxxsin212emmms得得39例题. 质量均为m的小球A和B置于光滑水平面上,用长为l的细绳相连.开始时给球B一初速度v, 如图所示.求AB连线再次处于与初始位置平行时, AB连线平移的距离.vAB（系统的动量守衡。）40vAB解:取小球A和B组成的系统为研究对

18、象. 由于R(e) = 0 则 P = c 即质心的速度为恒矢量. (m+m)vc = mvvc = 0.5v 即系统的质心作匀速直线运动.系统作平面运动.vB = vC + vBC vBC = 0.5vvA = vC + vACvAC = - 0.5vvACvBCC41计算系统的角速度.vBC = 0.5l = 0.5v = v/lT = 2/ = 2l/v 当AB 连线再次处于与初始位置平行时,质心运动时间为半个周期s = vC t = 0.5v(l/v) = 0.5 lvABvACvBCC42例题. 在图示系统中,均质杆OA、AB与均质轮的质量均为m,OA杆的长度为l1,AB杆的长度为l2,轮的半径为R,轮沿水平面作纯滚动.在图示瞬时,OA杆的角速度为,求整个系统的动量.OAB 43解:系统由三个物体组成.OAB OA杆作定轴转动C为质心.AB杆作瞬时平动.轮作平面运动B为质心.CvCvAvBBABOAPPPP121lvC1lvvBA121mlPOA1ml