181912 时　距离和高度问题

1、1.2应用举例第1课时距离和高度问题学习目标：1.能将实际问题转化为解三角形问题(难点)2.能够用正、余弦定理等知识和方法求解与距离、高度有关的实际应用问题(重点)自 主 预 习·探 新 知实际测量中的有关名词、术语名称定义图示基线在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线铅垂平面与地面垂直的平面坡角坡面与水平面的夹角为坡角坡比坡面的垂直高度与水平宽度之比坡比：i仰角在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时，视线与水平线的夹角俯角在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时视线与水平线的夹角基础自测1判断(正确的打“”，错误的打“×”)(1)一般来说，在测量过程中基线越长，测量精确度

2、越低()(2)已知三角形的三个角，能够求其三条边()(3)两个不可到达的点之间的距离无法求得()(4)坡面与水平面的夹角称之为坡角()(5)坡面的水平宽度与坡面的铅直高度之比称为坡比()解析(1)×.因为在测量过程中基线越长，测量的精确度越高(2)×.因为要解三角形，至少要知道这个三角形的一条边(3)×.两个不可到达的点之间的距离我们可以借助余弦定理求得(4).由坡角的定义可知(5)×.因为坡比是指坡面的铅直高度与坡面的水平宽度的比答案(1)×(2)×(3)×(4)(5)×合 作 探 究·攻 重 难测量距

3、离问题要测量对岸A，B两点之间的距离，选取相距 km的C，D两点，并测得ACB75°，BCD45°，ADC30°，ADB45°，求A，B之间的距离【导学号：12232031】思路探究将题中距离、角度转化到一个三角形中，再利用正弦、余弦定理解三角形解如图所示，在ACD中，ACD120°，CADADC30°，ACCD km.在BCD中，BCD45°，BDC75°，CBD60°.BC.在ABC中，由余弦定理，得AB2()22×××cos 75°325，AB(km)，A，B

4、之间的距离为 km.规律方法测量两个不可到达的点之间的距离，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，运用正弦定理解决.跟踪训练1如图121，设B、C两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在C的同侧，在所在的河岸边选定一点A，测出A、C的距离是100 m，BAC45°，BCA60°，求B、C两点间的距离图121解在ABC中，AC100，BAC45°，BCA60°，则B180°(BACBCA)75°，由正弦定理，得BCAC100(1)即B，C两点间的

5、距离为100(1)m.2从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为() 【导学号：12232032】A>BC90°D180°B由图知.测量高度问题(1)如图1­2­2，从山顶望地面上C，D两点，测得它们的俯角分别为45°和30°，已知CD100米，点C位于BD上，则山高AB等于()图122A100米B50米C50米D50(1)米(2)在一幢20 m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这座塔吊的高是()【导学号：12232033】A20 mB20(1)mC10()mD2

6、0()m解析(1)设山高为h，则由题意知CBh，DBh，所以hh100，即h50(1)(2)如图，由条件知四边形ABCD为正方形，ABCD20 m，BCAD20 m.在DCE中，EDC60°，DCE90°，CD20 m，ECCD·tan 60°20 mBEBCCE(2020) m选B.答案(1)D(2)B规律方法解决测量高度问题的一般步骤：(1)画图：根据已知条件画出示意图.(2)分析三角形：分析与问题有关的三角形.(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解.在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用.跟踪训练3

7、某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)如图1­2­3所示，竖直放置的标杆BC的高度h4 m，仰角ABE，ADE.该小组已测得一组，的值，算出了tan 1.24，tan 1.20，请据此算出H的值图1-2-3解由AB，BD，AD及ABBDAD，得，解得H124.因此，算出的电视塔的高度H是124 m.与立体几何有关的测量高度问题探究问题1已知A，B是海平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，BAD120°，又在B点测得ABD45°，其中D是点C到水平面的垂足试画出符合题意的示意图提示用线段CD表示山，用DAB表示海

8、平面结合题中相应的距离及角度，画出立体图形，如图所示：2在探究1中若要求山高CD怎样求解？提示由探究1知CD平面ABD，首先在ABD中利用正弦定理求出AD的长，然后在RtACD中求出CD.如图1­2­4，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD200米，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且CBD30°，求塔高AB. 【导学号：12232034】图1-2-4思路探究利用方程的思想，设ABh.表示出BCh，BDh，然后在BCD中利用余弦定理求解解在RtABC中，ACB45

9、°，若设ABh，则BCh.在RtABD中，ADB30°，则BDh.在BCD中，由余弦定理可得CD2BC2BD22·BC·BD·cosCBD，即2019h2(h)22·h·h·，所以h22019，解得h200(h200舍去)，即塔高AB200米规律方法测量高度问题的两个关注点：(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题.(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路.跟踪训练4要测量底部不能到达的东方明珠电

10、视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m，则电视塔的高度是()A100 mB400 mC200 mD500 mD由题意画出示意图，设塔高ABh m，在RtABC中，由已知得BCh m，在RtABD中，由已知得BDh m，在BCD中，由余弦定理得BD2BC2CD22BC·CDcosBCD，得3h2h25002h·500，解得h500(m)当 堂 达 标·固 双 基1. 如图1-2-5，在河岸AC上

11、测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是() 【导学号：12232035】图1-2-5Aa，c，Bb，c，Cc，a，Db，D由，可求出，由，b，可利用正弦定理求出BC.故选D.2如图1-2-6，某人向东方向走了x千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好千米，那么x的值是_图1-2-64由余弦定理：x293x13，整理得：x23x40，解得x4.3甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从 甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是_m. 【导学号：12232036】20甲楼的高为20tan 60°20×20(m)；乙楼的高为：2020tan 30°2020×(m)4如图1-2-7所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C.测出AC的距离为50 m，ACB45°，CAB105°，则A，B两点的距离为_m.图1-2-750由题意知ABC30°，由正弦定理，得，AB50(m)5江岸边有一炮台高30 m江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45&#