§4__高阶线性微分方程

1、班级：12统计 姓名：龚伟 学号:高阶线性微分方程 线性微分方程及其解的结构1 线性微分方程定义4.1 形如 的方程称为阶线性微分方程，其中是已知函数。注：(1) 特点：都是一次的；从而称为线性方程。(2) 时，称为阶线性齐次微分方程；否则，称为阶线性非齐次微分方程。(3) 特别地，当时， (4.1)称为二阶线性微分方程。 时，有， (4.2) 称为二阶线性齐次微分方程；否则，称为二阶线性非齐次微分方程。2 线性微分方程解的结构定理（解的叠加性) 如果函数与是方程(4.2)的两个解，那么也是方程(4.2)的解，其中与是任意常数。验证：因为 是方程(4.2)的解，所以 ，。将解代入方程(4.2)

2、的左端，得 = 。问题 与是(4.2)的解，由定理1，也是(4.2)的解。那么，是不是可以作为通解呢？回答 不一定。例如 设有方程 （是二阶线性齐次微分方程）。 (4.3)一方面，由观察知 与都是(4.3)的解，由叠加原理知也是(4.3)的解，但因为=，只有一个任意常数，所以，它不是(4.3)的通解。另一方面，由观察知 与都是(4.3)的解，由叠加原理知，也是(4.3)的解，此时与是两个独立的变量，所以是(4.3)的通解。事实上，在此例中，由与得是常量，知与线性相关；而与之比不是常量，即与线性无关。定义4.2 设有函数组，。若存在不全为零的常数，使得，则称这个函数组在内线性相关，否则称线性无关

3、。例4.1 函数组在内是线性相关的。证 取，则对于任意，有。注： 特别地，对于两个函数与来说，由定义1知： 若在内有常数，则与在内线性无关； 否则，与在内线性相关。例如，；哪组线性无关？答：因常数。函数对对线性无关； 因常数。函数对对线性无关； 因=常数。函数对对线性相关。以下给出关于二阶线性齐次微分方程(4.2)的通解结构定理。定理4.2(二阶线性齐次微分方程的解的结构定理) 如果函数与是方程(4.2)的两个线性无关的特解，则（是任意常数）就是方程(4.2)的通解。 例4.2 验证=与=是二阶线性齐次微分方程的两个解；写出其通解。解 将=与=代入方程可验证其是解。由常数，即与线性无关。所以，

4、由定理4.2，是的通解。关于二阶线性非齐次微分方程的解的结构，先回忆一阶线性非齐次微分方程 ，它的通解的结构是 ，其中， 为方程对应的齐次微分方程的通解，为方程的一个特解。 对于二阶及二阶以上的线性齐次微分方程，也有同样的解的结构。下面来讨论二阶线性非齐次微分方程(4.1)的解的结构。定理4.3(二阶线性非齐次微分方程的解的结构定理) 设是二阶线性非齐次微分方程(4.1)的一个特解，是对应的二阶线性齐次微分方程(4.1)的通解，那么，是二阶线性非齐次微分方程(4.1)的通解。证 将代入方程(4.1)的左端，并因为与，得=。由于是方程(4.2)的解，知；由于是方程(4.1)的解，知。 于是，左边

5、右边，并注意到是(4.1)的通解，其中含有两个任意常数，于是中含有两个任意常数，所以它是方程(4.1)的通解。例4.3 方程是二阶线性非齐次微分方程。由例4.2知 是对应的二阶线性齐次微分方程的通解；又容易验证是所上给方程的一个特解，因此 是所以给方程的通解。关于二阶线性非齐次微分方程(4.1)的特解，有如下的定理。定理4.4 设二阶线性非齐次微分方程(4.1)的右端是几个函数之和，如， (4.4)而与分别是方程与的特解，那么+就是原方程(4.4)的特解。 证 将+代入方程(4.4)的左端，得（+=+=。因此，与是方程(4.4)的一个特解。 4.2 常系数齐次线性微分方程 求线性微分方程的通解

6、，一般来说是很复杂的。现在，只讨论二阶常系数齐次与非齐次线性微分方程的求解问题。1 二阶常系数齐次线性微分方程定义4.3 形如 ，（其中为常数） (4.5) 例如 ，都是二阶常系数齐次线性微分方程； 不是二阶常系数齐次线性微分方程（因不是齐次）。2 求解方法 求解基本思想 由齐次线性微分方程通解结构定理，关键是求出(4.5)的两个线性无关的特解； 由(4.5)的“线性”“齐次”“常系数”特点，可以不用积分，而采用代数方法，就能得到这样的，从而，进一步写出(4.5)的通解。 求解方法方程(4.5)的特征方程和特征根 (1) 首先，我们知道指数函数（为常数）的各阶导数 只相差一个常数因子。由于指数

7、函数的各阶导数具有这样的特征，使我们试想：方程(4.5)是否具有的特解？ (2) 试一下 将代入方程(4.5)，得 。由于，所以 。 (4.6) 从而，我们看到：如果是二次方程(4.6)的根，则是方程(4.5)的特解。(3) 可见是方程(4.5)的解是方程(4.6)的根。注意：方程(4.6)中的系数及常数项，恰好就是微分方程(4.5)中及的系数。(4) 定义 代数方程(4.6)叫做二阶常系数线性齐次微分方程(4.5)的特征方程；特征方程的根叫做特征值。至此我们看到：求(4.5)的特解问题，已转化为求一个代数方程(4.6)的根。也就是说，求出(4.6)的根就能写出方程(4.5)的 特征方程(4.

8、6)的根与微分方程(4.5)的解的对应由代数学知道，二次方程(4.6)必有两个根，并由公式给出。这里有三种情况：(1) 当时，是不相等的实根，。此时与是方程(4.5)的两个特解；由常数，知 线性无关，所以微分方程(4.5)的通解为 。(2) 当时，是两个相等的实根，可得微分方程(4.5)的一个特解为。（问：是通解吗？答：不是，因为只有一个任意常数！）。因此，要写出方程(4.5)的求通解，还需要找另一个与无关的特解，即要求常数。为此，设，其中为代定函数。由，下面来确定出得即可求出。对求导，得 ，。将代入方程(4.5)，得。约去，以为准合并同类项，得。因为是特征方程(4.6)的二重根，知，再由知，

9、于是，得，；若取，得。所以，显然常数，即线性无关。所以，即为方程(4.5)的通解。(3) 当时时，是一对共轭复根，其中。那么，是方程(4.5)的两个线性无关的特解。为得到实数形式的解，利用欧拉公式将这两个解写成=， =。由于是共轭复值函数，且都是方程(4.5)的解，所以由叠加原理，得 ，还都是方程(4.5)的解，且常数，知线性无关。所以，微分方程(4.5)的通解为。 3 微分方程(4.5)的求解步骤 综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程(4.5) 的通解的步骤如下：Step 1 写出微分方程(4.5)的特征方程(4.6) ；Step 2 求出特征方程(4.6)的两个根；Step 3 根据的三

10、种不同情形，写出方程(4.5)的通解。(1) 时，是不相等的实根，这时(4.5)的通解为 。(2) 当时，是两个相等的实根，可得微分方程(4.5)的通解 ，即。(3) 当时，是一对共轭复根，其中。那么，微分方程(4.5)的通解为 。 例4.4 求微分方程的通解。解 特征方程是，即，有不相等的实根，因此，所求通解为。例4.5 求微分方程满足初始条件与的特解。解 特征方程是，即，即有重根，因此，方程的通解为。代入初始条件，得，得； ，代入，由得；于是，所求特解为。例4.6 求微分方程的通解。解 特征方程是。因为，其特征根是一对共轭复根。由，知；因此所求通解是。例4.7 求微分方程的通解。解 特征方

11、程是。得，所以，由 得 为所求。例4.8 求微分方程的通解。解 。，； 所以，即 为所求通解。4.3 二阶常系数非齐次线性微分方程现在讨论二阶常系数非齐次线性微分方程。 (4.7)对应的齐次线性微分方程为 。 (4.5)关于方程(4.7)的求解问题：由非齐次线性微分方程解的结构定理知 方程(4.7)的通解 =方程(4.5)的通解 + (4.7)的一个特解。其中求方程(4.5)的通解问题已解决。余下的问题是如何方程(4.7)的一个特解？ 自然想到利用“常数变易法”。 虽然利用“常数变易法”一定可以得到(4.7)的解，但用常数变易法一定要用到积分。牵涉到积分有时就较麻烦，并且有些积分不能用初等函数

12、表示出来。这一部分针对右端函数是某些常见类型而采用“待定系数法”，其特点是计算较简便。因为是用代数方法来计算，避免了积分。两种类型： 类型1 =型，其中是常数，类型2 =型，其中是常数，与分别是次与次多项式。类型1、=型，即 ， (4.8)其中是常数，是次多项式。 思想方法 根据右端函数的特点，设出（多项式）形式的特解（其中多项式系数待定），将代入方程(4.8)，比较(4.8)两端的同次幂系数，得到关于待定系数的线性方程组，解之，确定待定系数，代入，得到特解。 形式特解的确定结论：对于形如(4.8) 的方程，一定有形如=的特解，其中的与(4.8)中的一致，（待定）不是特征方程的根时，是特征方程

13、的单根时，是特征方程的重根时。证 我们知道，多项式与指数函数乘积的导数仍然是同一类的函数（即仍然是多项式与指数函数的乘积）。例如：，。因此，我们试想：特解仍然是多项式与指数函数乘积的形式，且不变。设 ，其中是多项式（须进一步确定的次数），得，=。 将，代入原方程(4.8)，得。约去，再按合并，得 。 (4.9)注意：(4.9)式左端仍然是多项式；特征方程是。以下分三种情况讨论：不是特征方程的根，即。因为与的次数低于，以及是次多项式，所以，要使(4.9)式两端恒等，应是一个次多项式；令 =，代入(4.9)式，比较等式两端的同次幂的系数，就得到含有作为未知数的个方程的联立方程组，从而可以求出，而得

14、到所求的特解。是特征方程的单根，即而。这时(4.9)式变形为 。两端恒等，那么应是一个次多项式；令=，并且可以用同样的方法确定的系数。即可得到=。 是特征方程的重根，即且。这时(4.9)式变形为 。要使(4.9)式两端恒等，那么应是一个次多项式；令=。用同样的方法确定的系数。即可得到=。 方程(4.7)的求解步骤综上所述，有如下结论： 如果=，那么，二阶常系数非齐次线性微分方程(4.7)的求解步骤为： 写出对应齐次方程(4.6)的特征方程，求出特征根，求出对应齐次方程(4.5)的通解； 根据右端函数的特征，设出方程(4.7)含有待定系数的形式特解； 将，代入方程 (4.7)，比较用次幂系数，得

15、到可求解的线性方程组，并由此解出待定系数，得到方程 (4.7)的一个特解； 写出方程(4.7)的通解，它是对应齐次方程(4.5)的通解与非齐次方程(4.7)的一个特解之和。 例4.9 求微分方程的一个特解。解 特征方程 ，。所以是特征方程的单根。由，得 。例4.10 求微分方程的一个特解。解 特征方程 ，。所以不是特征方程的单根。由，得 。例4.11 求微分方程的一个特解。解 特征方程 ，。所以是特征方程的二重根。由，得 。例4.12 求微分方程的一个特解。解 特征方程 ，。所以不是特征方程的根。由，得 。例4.13 求微分方程的通解。解 特征方程 ，。所以对应的齐次方程的通解为 。因为不是特

16、征方程的根。由，（）得 。，代入原方程，得 ，即。比较一次项的系数，得,代入上式，得，知。于是，原方程的通解为 。例4.14 求微分方程的通解。解 特征方程 ，。所以对应的齐次方程的通解为 。因为是特征方程的单根。由，得 。求出，代入原方程并化简，得，比较两端同次幂的系数，有解得, 。所以。于是，原方程的通解为 。 类型2 型其中与分别是次与次多项式, 是常数。求解方法完全类似于类型1。关键是设出形式特解。结论：对于形如的微分方程，一定有形如的解，其中同为次多项式，；依次有待定系数。是实数。不是特征方程的根时，取；是特征方程的根时取。 注：(1) 证明思路 由属于类型2，通过欧拉公式使得属于类

17、型1；利用类型1的结果与非齐次方程的叠加原理，写出类型1的复值形式特解；再由Euler公式实数化。 (2) 在写形式特解之前，要先写特征方程，求特征值。 (3) 和题目中右端出现的一致。 (4) 要完整地写出，其中。 例4.15 求微分方程的特解待定形式。 解 特征方程 ，。 因为， 不是特征方程的根，所以 。例4.16 求微分方程的特解待定形式。解 特征方程 ，。因为， 不是特征方程的根，所以 。例4.17 求微分方程的特解待定形式。解 特征方程 ，。 因为，是特征方程的根，所以 。例4.18 求微分方程的特解待定形式。 解 特征方程 ，。所以 。 例4.19 求微分方程的通解。解 对应的齐次方程为，特征方程为，解得。 所以，对应的齐次方程的通解为 。 由，；不是特征方程的根。所以 。 =， 。代入原式，整理得 。比较系数，得 于是得 。所求通解为。注：以上讨论