同济第六版《高等数学》教案第11章无穷级数

1、第十一章无穷级数教学目的：1 .理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。2 .掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件。3 .掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。4 .掌握交错级数的莱布尼茨判别法。5 .了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。6 .了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。7 .理解哥级数收敛半径的概念，并掌握哥级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。8 .了解哥级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些哥级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些

2、常数项级数的和。9 .了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。10 .掌握LI,二|和山的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成哥级数。11 .了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在H,1上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在0,1上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。教学重点：1、级数的基本性质及收敛的必要条件。2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别；3、交错级数的莱布尼茨判别法；4、哥级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；5、 I-I,国和山的麦克劳林展开式;6、傅里叶级数。教学难点：1、比较判别法的极限形式；2、莱布

3、尼茨判别法；3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛；4、函数项级数的收敛域及和函数；5、泰勒级数；6、傅里叶级数的狄利克雷定理。111常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念常数项级数给定一个数列U1U2U3Un则由这数列构成的表达式U1U2U3Un叫做常数项）无穷级数简称常数项其中第n项Un叫做级数的一般项级数的部分和作级数冈的前n项和称为级数可的部分和级数敛散性定义如果级数区的部分和数列a有极限s即三|则称无穷级数7收敛这时极限s叫做这级数的和弁写成如果囚没有极限则称无穷级数冈发散余项 当级数 目 收敛时 其部分和Sn是级数2的和S的近似值它们之间的差值r n S Sn Un 1 Uh 2叫

4、做级数可的余项例1讨论等比级数（几何级数）的敛散性其中a 0 q叫做级数的公比例1讨论等比级数 三（a 0 ）的敛散性解如果q 1则部分和当 |q| 1时因为m所以此时级数 区？收敛其和为 可当 |q|1时因为仁j所以此时级数WI发散如果|q|1 则当q 1时Sn na因此级数可发散当q 1时级数习成为时|q| 1时 因为sn随着n为奇数或偶数而等于a或零所以Sn的极限不存在从而这时级数 区也发散综上所述如果|q| 1则级数叵收敛其和为习如果网1则级数可发散仅当|q| 1时 几何级数区I a 0 ）收敛 其和为 可例2证明级数是发散的证此级数的部分和为显然匚习因此所给级数是发散的例3判别无穷级

5、数的收敛性解由于IX因此从而IXL所以这级数收敛它的和是1例3判别无穷级数区的收敛性解因为从而所以这级数收敛它的和是1提示1-1二、收敛级数的基本性质性质1如果级数冈收敛于和s则它的各项同乘以一个常数k所得的级数冈也收敛且其和为ks性质1如果级数目收敛于和s则级数W也收敛且其和为ks性质1如果区I则1八1这是因为设三与叵的部分和分别为sn与n则这表明级数M_L收敛且和为ks性质2如果级数冈田分别收敛于和s、则级数S也收敛且其和为s性质2如果叵、区则|X|这是因为如果习、因、|M|的部分和分别为Sn、n、n则_性质3在级数中去掉、加上或改变有限项不会改变级数的收敛性比如级数是收敛的1 也是收敛的

6、I_也是收敛的性质4如果级数日收敛则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛且其和不变应注意的问题如果加括号后所成的级数收敛则不能断定去括号后原来的级数也收敛1 1)+11)+收敛于零但级数1111却是发散的推论如果加括号后所成的级数发散则原来级数也发散级数收敛的必要条件性质5如果回收敛则它的一般项Un趋于零即山性质5如果日收敛则山证设级数三|的部分和为Sn且X则例如级数应注意的问题级数的一般项趋于零弁不是级数收敛的充分条件例4证明调和级数rAi是发散的例4证明调和级数目是发散的证假若级数。收敛且其和为SSn是它的部分和显然有|X及|X于是L但另一方面故x矛盾这矛盾说明级数目必定发散112常数

7、项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数各项都是正数或零的级数称为正项级数定理1正项级数冈收敛的充分必要条件它的部分和数列Sn有界定理2(比较审敛法)设团和区都是正项级数且Unvn(n12)若级数2收敛则级数冈收敛反之若级数回发散则级数日发散定理2(比较审敛法)设WO七|都是正项级数且Unvn(k0nN)若冈收敛则回收敛若冈发散则国发散设Un和vn都是正项级数且Unkvn(k0nN)若级数Vn收敛则级数Un收敛反之若级数Un发散则级数Vn发散证设级数目收敛于和则级数冈的部分和SnUiU2UnV1V2Vn(n1,2,)即部分和数列Sn有界由定理1知级数冈收敛反之设级数目发散则级数可必发散因为

8、若级数回收敛由上已证明的结论将有级数习也收敛与假设矛盾证仅就Un%(n12)情形证明设级数Vn收敛具和为则级数Un的部分和SnUiU2UnV1V2Vn(n1,2,)即部分和数列Sn有界因此级数Un收敛反之设级数Un发散则级数Vn必发散因为若级数Vn收敛由上已证明的结论级数U也收敛与假设矛盾推论设上和都是正项级数如果级数上收敛且存在自然数N使当nN时有UnkVn(k0)成立则级数目收敛如果级数三发散且当nN时有UnkVn(k0)成立则级数0发散例1讨论p级数的收敛性其中常数p0例1讨论p级数国的收敛性解设p1这时X而调和级数目发散由比较审敛法知当p1时级数叵I发散设p1此时有(n2.3,对级数其

9、部分和因为1所以级数X 收敛从而根据比较审敛法的推论1可知级数区|当p 1时收敛综上所述p级数可当p1时收敛当p1时发散解当p1时a而调和级数冈发散由比较审敛法知当p1时级数区？发散当p1时.A=AJ_（n2,3，）而级数xJ是收敛的根据比较审敛法的推论可知级数区|当p1时收敛提示级数K1的部分和为因为1收敛所以级数p级数的收敛性p级数回 当p 1时收敛当p 1时发散证因为IX|而级数是发散的根据比较审敛法可知所给级数也是发散的定理3(比较审敛法的极限形式)设区和国都是正项级数如果国(01)则级数国和级数7同时收敛或同时发散定理3(比较审敛法的极限形式)设同和冈都是正项级数如果|(01)且级数

10、目收敛则级数冈收敛(2)如果L且级数2发散则级数四发散定理3(比较审敛法的极限形式)设un和Vn都是正项级数如果1im(Un/Vn)1(01)且Vn收敛则Uh收敛(2)如果1im(Un/Vn)1(01)且Vn发散则Uh发散证明由极限的定义可知对H存在自然数N当nN时有不等式|K!即IXI再根据比较审敛法的推论1即得所要证的结论例3判别级数H的收敛性解因为IM|而级数目发散根据比较审敛法的极限形式级数区发散例4判别级数国的收敛性解因为E而级数国收敛根据比较审敛法的极限形式级数IXI收敛定理4(比值审敛法达朗贝尔判别法)若正项级数的后项与前项之比值的极限等于13则当1时级数收敛当1（或|X,）时级

11、数发散当1时级数可能收敛也可能发散定理4（比值审敛法达朗贝尔判别法）若正项级数目满足S则当1时级数收敛当1（或XI）时级数发散当1时级数可能收敛也可能发散定理4（比值审敛法达朗贝尔判别法）设国为正项级数如果目则当1时级数收敛当1（或Ik）时级数发散当1时级数可能收敛也可能发散例5证明级数？|是收敛的解因为j_根据比值审敛法可知所给级数收敛例6判别级数|-|的收敛性解因为IL根据比值审敛法可知所给级数发散例7判别级数日的收敛性解二L这时1比值审敛法失效必须用其它方法来判别级数的收敛性因为II而级数冈收敛因此由比较审敛法可知所给级数收敛解因为|=_L而级数叵）收敛因此由比较审敛法可知所给级数收敛提

12、示Z=一=Z?比值审敛法失效因为目IX1而级数工回收敛因此由比较审敛法可知所给级数收敛定理5（根值审敛法柯西判别法）设区是正项级数如果它的一般项un的n次根的极限等于日则当1时级数收敛当1（或K）时级数发散当1时级数可能收敛也可能发散定理5（根值审敛法柯西判别法）若正项级数目满足日则当1时级数收敛当1（或工）时级数发散当1时级数可能收敛也可能发散定理5（根值审敛法柯西判别法）设因为正项级数如果当1时级数可能收敛也可能发散则当1时级数收敛当1（或x）时级数发散例8证明级数弁估计以级数的部分和Sn近似代是收敛的替和S所产生的误差解因为I-=|所以根据根值审敛法可知所给级数收敛以这级数的部分和Sn近

13、似代替和S所产生的误差为例6判定级数国的收敛性解因为Ial所以根据根值审敛法知所给级数收敛定理6（极限审敛法）设0为正项级数（1）如果I=则级数回发散（2）如果p1而|=I则级数目收敛例7判定级数国的收敛性解因为IL故根据极限审敛法知所给级数收敛例8判定级数日的收敛性解因为根据极限审敛法知所给级数收敛二、交错级数及其审敛法交错级数交错级数是这样的级数它的各项是正负交错的交错级数的一般形式为3具中臼例如H是交错级数但X不是交错级数定理6(莱布尼茨定理)如果交错级数H满足条件UnUn1(n123)(2)M则级数收敛且其和sU1其余项rn的绝对值|rn|Un1定理6(莱布尼茨定理)如果交错级数H满足

14、(1)山(2)匹|则级数收敛且其和sU1其余项rn的绝对值|rn|Un1简要证明设前n项部分和为Sn由S2n(U1U2)(U3U4)(U2n1U2n)及S2nUi(U2U3)(U4U5)(U2n2U2n1)U2n看出数列S2n单调增加且有界(S2nUli)所以收敛设S2ns(n)则也有S2n1S2nU2n1S(n)所以SnS(n)从而级数是收敛的且SnU1因为|rn|Un1Un2也是收敛的交错级数所以|n|Un1例9证明级数|X1收敛弁估计和及余项证这是一个交错级数因为此级数满足(1)IX1(n1,2,)(2)|x|由来布尼次7E理级数是收敛的且其和SU11余项|IX,三、绝对收敛与条件收敛绝

15、对收敛与条件收敛若级数四收敛则称级数四绝对收敛若级数冈收敛而级数叵发散则称级国条件收敛例10级数回是绝对收敛的而级数国是条件收敛的定理7如果级数回绝对收敛则级数可必定收敛值得注意的问题如果级数冈发散我们不能断定级数目也发散但是如果我们用比值法或根值法判定级数冈发散则我们可以断定级数目必定发散这是因为此时|Un|不趋向于零从而Un也不趋向于零因此级数田也是发散的解因为I|xl而级数同是收敛的所以级数国也收敛从而级数3绝对收敛例12判别级数X的收敛性解由II有I=I可知国因此级数K发散113哥级数一、函数项级数的概念函数项级数给定一个定义在区间I上的函数列Un(X)由这函数列构成的表达式U1(x)

16、U2(x)U3(x)Un(x)称为定义在区间I上的(函数项)级数记为叵收敛点与发散点对于区间I内的一定点xo若常数项级数区收敛则称点xo是级数国的收敛点若常数项级数S发散则称点xo是级数0的发散点收敛域与发散域函数项级数因的所有收敛点的全体称为它的收敛域所有发散点的全体称为它的发散域和函数在收敛域上函数项级数|芭的和是x的函数s(x)s(x)称为函数项级数回的和函数弁写成IX汇un(x)是区的简便记法以下不再重述在收敛域上函数项级数汇un(x)的和是x的函数s(x)s(x)称为函数项级数汇un(x)的和函数弁写成s(x)eun(x)这函数的定义就是级数的收敛域部分和函数项级数区|的前n项的部分

17、和记作sn(x)函数项级数汇un(x)的前n项的部分和记作sn(x)即Sn(x)U1(X)U2(X)U3(X)Un(x)在收敛域上有|xI或Sn(x)s(x)(n)余项函数项级数s的和函数s(x)与部分和Si(x)的差rn(x)S(x)Sn(x)叫做函数项级数二|的余项函数项级数汇un(x)的余项记为rn(x)它是和函数S(x)与部分和Sn(x)的差rn(x)S(X)Sn(x)在收敛域上有日二、哥级数及其收敛性哥级数函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都备函数的函数项级数这种形式的级数称为哥级数它的形式是2anXn2其中常数aoaia2aanaxa好做哥级数的系数哥级数的例子1 XX2X3

18、xnan(x x o) n ant n当冈1时它是收敛的 当|x| 1时它是发散的 因此它的收敛S当x x o (x o o)时收敛则适合不等式注哥级数的一般形式是aoai(xxo)a2(xxo)经变换xxo就得aoaita2t哥级数1xx2x3xn可以看成是公比为x的几何级数域为(11)有收敛域内有定理1(阿贝尔定理)如果级数x|xo|的一切x使这哥级数绝对收敛反之如果级数MI当xxo时发散则适合不等式|x|xo|的一切x使这哥级数发散定理1(阿贝尔定理)如果级数汇anxn当xX0(X00)时收敛则适合不等式XIX0|的一切X使这哥级数绝对收敛反之如果级数汇anxn当XX）时发散则适合不等式

19、|x|X0|的一切X使这哥级数发散提示汇anXi是0的简记形式证先设X0是哥级数区|的收敛点即级数区|收敛根据级数收敛的必要条件有H1于是存在一个常数M使|anX0nIM（n0,1,2,）这样级数因的的一般项的绝对值因为当|X|X0|时等比级数3收敛所以级数可收敛也就是级数a绝对收敛简要证明设汇anXn在点X0收敛则有anX0n0（n）于是数列anX0n有界即存在一个常数M使|anX0nIM（n0,1,2,）因为II而当山时等比级数区J收敛所以级数汇|anV畋敛也就是级数汇anXn绝对收敛定理的第二部分可用反证法证明倘若哥级数当XX）时发散而有一点X1适合|X1|X0便级数收敛则根据本定理的第

20、一部分级数当XX）时应收敛这与所设矛盾定理得证推论如果级数|.不是仅在点X0一点收敛也不是在整个数轴上都收敛则必有一个完全确定的正数R存在使得当|X|R时哥级数绝对收敛当凶R时哥级数发散当xR与xR时哥级数可能收敛也可能发散收敛半径与收敛区间正数-1通常叫做哥级数国的收敛半径开区间（RR）叫做哥级数叵的收敛区间再由哥级数在xR处的收敛性就可以决定它的收敛域哥级数S的收敛域是（R,R）（或R,R）、（R,R、R,R之一规定若哥级数S只在x0收敛则规定收敛半径R0若哥级数S对一切x都收敛则规定收敛半径R这时收敛域为（，）定理2如果HJ其中an、an1是帚级数的相邻两项的系数则这哥级数的收敛半径定理

21、2如果哥级数|系数满足山则这哥级数的收敛半径例3求哥级数国的收敛半径定理2如果田则哥级数S的收敛半径R为当0时叵当0时R当时R0简要证明八=(1)如果0则只当|x|1时哥级数收敛故口(2)如果0则哥级数总是收敛的故R(3)如果则只当x0时哥级数收敛故R0例1求哥级数的收敛半径与收敛域例1求哥级数|X|的收敛半径与收敛域因为所以收敛半径为回当x1时哥级数成为H是收敛的当x1时哥级数成为囚是发散的因此收敛域为(1,1例2求哥级数a的收敛域例2求哥级数S的收敛域解因为所以收敛半径为R从而收敛域为(，)解因为(x I )逐项积分后所得到的哥级数和原级数有相同的收敛半径所以收敛半径为R0即级数仅在X0处

22、收敛的收敛半径例4求哥级数解级数缺少奇次哥的项定理2不能应用可根据比值审敛法来求收敛半径哥级数的一般项记为因为当4|x| 2 1即S时级数收敛当t 2时级数成为可此级数发散当t 2时级数成为S此级数收敛因此级数 区的当4|x|加法减法设备级数汇anxn及汇bnxn分别在区间(R,田及(R, R)内收敛 则在(R,叩与(R, R)中较小的区间内有aobo (a obi aibo)x (a ob2 ai bi a2bo)x1即S时级数发散所以收敛半径为国例5求哥级数臼的收敛域解令tx1上述级数变为可因为-J所以收敛半径R2力口法 Ea nXn E bnxn E(an bn) xn减法 22a nX

23、n 22 bnXn 22(an bn) Xn收敛域为2t2因为2x12即1x3所以原级数的收敛域为1,3)三、哥级数的运算设备级数口及冈分别在区间(R,叩及(R,R)内收敛则在(R,2与(R,R)中较小的区间内(aobnaibnianbo)xn性质i哥级数区|的和函数s(x)在其收敛域I上连续如果哥级数在xR(或xR)也收敛则和函数s(x)在(R,R(或R,R)连续性质2哥级数区I的和函数s(x)在其收敛域I上可积弁且有逐项积分公式弁且有逐项求导公式性质3哥级数S的和函数s(x)在其收敛区间(RR)内可导(|x|R)逐项求导后所得到的哥级数和原级数有相同的收敛半径性质i哥级数汇anxn的和函数S(X)在其收敛域I上连续性质2哥级数汇anxn的和函数s(x)在其收敛域I上可积弁且有逐项积分公式-(xI)逐项积分后所得到的哥级数和原级数有相同的收敛半径性质3哥级数汇anxn的和函数s(x)在其收敛区间(RR)内可导弁且有逐项求导公式I1(|x|R)逐项求导后所得到的哥级数和原级数有相同的收敛半径例6求哥级数S的和函数解求得哥级数的收敛域为ii)设和函数为s(x)即日xii)显然s(0)i在IS的两边求导得对上式从0到x积分得从而因为所以当x0时从而求哥级数S的和函数x 1 1)解求得哥级