20182019数学北师大版选修11导数应用 单元测试2

1、(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1使函数f(x)xcos x在0，上取最大值的x为()A0B.C. D.解析：选B.f(x)1sin x，所以f(x)在0，上是递增的，在，上是递减的，所以选B.2定义在R上的函数yf(x)的图像如图所示，则关于x的不等式xf(x)<0的解集为()A(2，1)(1，2) B(1，0)(1，)C(，1)(0，1) D(，2)(2，)解析：选C.当x(，1)(1，)时，f(x)>0，又xf(x)<0，所以x(，1)当x(1，1)时，f(x)&l

2、t;0，又xf(x)<0，所以x(0，1)综上可知解集为(，1)(0，1)故选C.3函数f(x)xa在x1，4上是递减的，则实数a的最小值为()A1 B2C3 D4解析：选D.依题意得，当x1，4时，f(x)10，即a2恒成立注意到x1，4时，y2的最大值是24，因此，实数a的最小值为4，选D.4已知f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值集合为()Aa|1<a<2 Ba|3<a<6Ca|a<1，或a>2 Da|a<3，或a>6解析：选D.f(x)3x22ax(a6)，因为函数f(x)有极大值和极小值，所以f(x)0有两个

3、不同实根，即>0，(2a)24×3(a6)>0，解得a<3或a>6.5若函数f(x)x2mln x在(，)内是递增的，则实数m的取值范围是()Am B0<m<Cm Dm解析：选D.f(x)x0在(，)上恒成立，即mx2，设h(x)x2，x(，)的值域为(，)，所以m.6函数f(x)ex(sin xcos x)在区间0，上的值域为()A，e B(，e)C1，e D(1，e)解析：选A.因为f(x)ex(sin xcos x)exsin(x)，所以f(x)exsin(x)excos(x)exsin(x)excos x.在区间0，上f(x)excos x

4、0，所以f(x)在区间0，上的值域为f(0)，f()，e，故选A.7对于R上可导的任意函数f(x)，若满足f(x)xf(x)>0且f(1)0，则f(x)>0解集是()A(，1) B(0，)C(，1)(0，) D(1，0)解析：选C.令F(x)xf(x)，由f(x)xf(x)>0知F(x)>0，F(x)在R上是递增的，又f(1)0，所以F(1)0，当x(，1)时，F(x)xf(x)<0，f(x)>0；当x(1，)时，F(x)xf(x)>0，若x(1，0时，f(x)0，若x(0，)时f(x)>0.故f(x)>0的解集为(，1)(0，)8已知函数

5、g(x)ax3bx2cx(aR且a0)，g(1)0，且g(x)的导函数f(x)满足f(0)f(1)0.若方程f(x)0有两个实根，则的取值范围为()A，2 B，1C，1 D，3解析：选C.因为g(x)ax3bx2cx，所以g(1)abc0，即cba.又f(x)g(x)3ax22bxc，由f(0)f(1)0，得c(3a2bc)0，所以(ba)(3b2a)0.因为a0，所以(1)(3·2)0，解得1.又3ax22bxc0(a0)的根的判别式(2b)24·3a·c4b212a(ba)4(ba)23a2>0，满足题意，所以的取值范围是，19已知e为自然对数的底数，设

6、函数f(x)(ex1)(x1)k(k1，2)，则()A当k1时，f(x)在x1处取到极小值B当k1时，f(x)在x1处取到极大值C当k2时，f(x)在x1处取到极小值D当k2时，f(x)在x1处取到极大值解析：选C.当k1时，f(x)(ex1)(x1)，则f(x)ex(x1)(ex1)exx1，所以f(1)e10，所以f(1)不是极值当k2时，f(x)(ex1)(x1)2，则f(x)ex(x1)22(ex1)(x1)ex(x21)2(x1)(x1)ex(x1)2，所以f(1)0，且当x>1时，f(x)>0；在x1附近的左侧，f(x)<0，所以f(1)是极小值10已知函数f(x

7、)|xex|，关于x的方程f2(x)tf(x)10(tR)有四个不等实数根，则t的取值范围为()A(，) B(2，)C(，2) D(，)解析：选D.设g(x)xex，g(x)ex(1x)，当x>1时，g(x)>0，g(x)是递增的，当x<1时，g(x)<0，g(x)是递减的，且x趋于，g(x)趋于0.g(x)最小g(1)，g(0)0，所以f(x)y|xex|的图像如图，由题意知，f(x)有两个不等正值使方程成立设为a，b(a<b)，则a(0，)，b>.由根与系数的关系，所以taba在(0，)是递减的，a>e，故t<(e)，即t的取值范围为(，)所

8、以选D.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在题中的横线上)11一个边长为12 cm的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长都为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，要使方盒的容积最大，x的值应为_解析：V4x(6x)24(x312x236x)(0<x<6)，V12(x28x12)，令V0得x28x120，解得x2或x6(舍去)答案：2 cm12已知函数f(x)x2ln x，则函数f(x)的递减区间是_解析：f(x)2xln xx2·x(2ln x1)(x>0)，令f(x)<0得，0<x<e.所以f(x)的递减区间是(0，e)答案：(

9、0，e)(写成(0，e也正确)13已知函数f(x)是定义在区间(1，1)上的奇函数，且对于x(1，1)恒有f(x)<0成立，若f(2a22)f(a22a1)<0，则实数a的取值范围是_解析：因为当x(1，1)时，f(x)<0，所以f(x)在(1，1)上是减少的由题意，得f(2a22)<f(a22a1)又f(x)为奇函数，所以f(2a22)<f(a22a1)，即所以1<a<.答案：(1，)14若函数f(x)x3x2ax4在区间1，1上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为_解析：f(x)3x22xa，由题意知f(x)在1，1内有一个变号零点，有三种情况：(

10、1)若f(1)f(1)<0，即(1a)(5a)<0，所以1<a<5，(2)若，即所以a1.(3)若即无解，故a的取值范围是1，5)答案：1，5)15已知函数f(x)x3x23x，直线l：9x2yc0，若当x2，2时，函数yf(x)的图像恒在直线l的下方，则c的取值范围是_解析：由题意知h(x)f(x)<0在2，2上恒成立，h(x)x22x(x1)2>0，h(x)在2，2上是递增的，h(x)最大h(2)3<0，所以c<6.答案：(，6)三、解答题(本大题共5小题，共55分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题满分10分)已知函数

11、f(x)(x2a)·ex(xR)在点A(0，f(0)处的切线l的斜率为3.(1)求a的值以及切线l的方程；(2)求f(x)在R上的极大值和极小值解：(1)f(x)(x2a)·exf(x)(x22xa)·ex，所以f(0)3a3，所以f(0)3，切线方程为3xy30.(2)f(x)(x2a)·exf(x)(x22x3)·ex(x3)(x1)ex，由f(x)0x3或x1. 当x(，3)时，f(x)>0，f(x)是递增的，当x(3，1)时，f(x)<0，f(x)是递减的，当x(1，)时，f(x)>0，f(x)是递增的，所以极大值为f

12、(3)6e3，极小值为f(1)2e.17(本小题满分10分)已知函数f(x)x32x24x5.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在3，1上的最大值和最小值解：(1)f(x)x32x24x5，所以f(x)3x24x4，令f(x)>0，则x<2或x>，令f(x)<0，则2<x<，所以递增区间为(，2)，(，)，递减区间为(2，)(2)令f(x)0，得x2或x，x3，2)2(2，)(，1f(x)00f(x) 13 所以x2为极大值点，x为极小值点，又f(3)8，f(2)13，f()，f(1)4，所以yf(x)在3，1上的最大值为13，最小值为.18(本小

13、题满分10分)已知函数f(x)x1ln x对任意x(0，)，f(x)2bx恒成立，求实数b的取值范围解：依题意对任意x(0，)，f(x)2bx恒成立等价于x1ln x2bx在(0，)上恒成立可得b1在(0，)上恒成立，令g(x)1，g(x)，令g(x)0，得xe2.列表如下：x(0，e2)e2(e2，)g(x)0g(x) 1 所以函数yg(x)的最小值为g(e2)1，根据题意b的取值范围为b|b119(本小题满分12分)已知函数f(x)x3ax24x3(xR)(1)当a2时，求f(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若函数f(x)在区间(1，2)上为减函数，求实数a的取值范围解：(1)当

14、a2时，由f(x)x32x24x3知f(x)3x24x4，f(1)3，又f(1)2，故所求切线方程为y23(x1)，即3xy10.(2)由f(x)x3ax24x3知f(x)3x22ax4，因为f(x)在区间(1，2)上是递减的，所以f(x)0在(1，2)上恒成立，即3x22ax40ax，设h(x)x，x(1，2)，所以ah(x)minh(2)2，故实数a的取值范围为(，220(本小题满分13分)如图，在半径为10 cm的半圆形(O为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上，将所截得的矩形铁皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗)，记圆柱形罐子的体积为V(cm3)(1)按下列要求建立函数关系式：设ADx cm，将V表示为x的函数；设AOD(rad)，将V表示为的函数；(2)请您用(1)问中的一个函数关系，求圆柱形罐子的最大体积解：(1)AB22r，r，Vf(x)()2·x(x3300x)，0<x<10.AD10sin ，AB20cos 2r，r，Vg()()2·10sin sin cos2，0<<.(2)选用f(x)：