7.5 线性映射与向量空间的同构

1、§7.5 线性映射和向量空间的同构 本节内容需分两次课上完1. 线性映射的定义和基本性质如何建立两个集合之间的联系呢？映射。当然向量空间之间也可以通过映射相互联系，但映射只是给出元素之间的对应，在向量空间中，向量之间还有线性关系，我们自然希望映射和线性关系之间能“和谐”相处。由此有了线性映射的概念。定义1 设是域上的两个向量空间, 如果存在映射使得(1) 保持加法运算: 即对任意, 有(2) 保持纯量乘积: 即对任意和, 有则称是从到的线性映射.注1 定义的第(1)条中，中的“+”是向量空间中的加法，而中的“+”是向量空间中的加法. 同理, 定义中的第(2)条，中的纯量乘积是域与向量

2、空间的纯量乘积，而中的纯量乘积是域与向量空间的纯量乘积.注2 保持加法和纯量乘积合称为保持线性运算, 可以统一起来, 用(3)来取代: (3) 对任意和，有线性映射有下面基本性质. 以下均设是域上向量空间到的线性映射.性质1 证明：因为故性质2 证明： 性质3 的情形即为上面注2，一般的可以采用归纳法得到（略）.性质4 按映射合成法则, 线性映射合成还是线性映射, 而且满足结合律.证明：设都是线性映射, 则使得作为映射合成有结合律, 所以作为线性映射合成仍然有结合律. 例1 设, 分别是数域上的2维和3维向量空间. 令则是从到的线性映射.证明：因为中每一个向量在对应法则下唯一地对应到中的一个向

3、量，所以是映射.对于，有所以是线性映射. 课堂练习：课后习题1.观察上面的例子. 中有标准基 标准基在线性映射下的象为：. 考察中的任意向量在下的象为：因此是由和唯一确定. 从上可看出，性质5 如果是有限维的，则完全由它作用于基上的像所决定. 即若，设为的一个基，则完全由确定. 证明：对于中任意向量，可唯一地表示为，于是，反过来，如果指定基向量的像，是否一定存在一个线性映射，恰好将基向量对应到这些像上？回答是肯定的.性质6 设和是域上的两个向量空间，为的一个基，任意给定的（可以重复），则一定存在唯一的线性映射，使得，.证明：由于为的一个基，故对任意，都存在唯一一组使得，于是令则可验证，是线性映

4、射（是映射，且保持线性性质），且使得，.由于线性映射完全由它作用在基上的像所决定，从而唯一性是自然的. 注3：实际上，性质5和性质6对于是无限维的情形也是成立的，课本将性质5和性质6合写为定理1. （自行看看，实在不理解可暂放一边，这里是改造过的定理1）定理1 设和是域上的两个向量空间. 如果是的基，是的任意一个非空子集，则对到的任意一个映射都能唯一地扩充成为到的线性映射，即存在到的线性映射使得. 反之, 若是到的线性映射，是的基，则由它作用在上的象完全确定，即只需知道作用在上的象就能知道作用在每个向量上的象. 那么线性映射是否能保持线性相关性呢？性质7 设是域上向量空间到的线性映射, 中向量

5、组线性相关，则它们的象（在中）也线性相关. 反之不然.举反例说明反之不然. 比如高维空间到低维空间的投射. 当然，一定条件下，反之也成立. 这个条件就是为单射，而且是充分必要条件.2. 线性映射的核与象一个线性映射, 如果又是单射, 称之为单线性映射. 如果又是满射, 称之为满线性映射. 特别地, 如果线性映射是单射又是满射, 称之为同构(映射), 并称两个向量空间是同构的，记为，需要强调线性映射时, 可记或.设是线性映射, 记, 称之为的核；, 称之为的象, 有时也记.注意，.关于线性映射的核与象，有如下两个结论：命题1 设是线性映射，则是的子空间. 如果是的一个基，则. 特别地, 如果是的

6、基, 则.此外，为满射.证明：因为, 所以. 又, , 所以是的子空间. 任意, 存在有限个以及使得, 所以. 命题2 设是线性映射, 则是的子空间. 且以下等价： 1° . 2° 为单射.3° 将的任意线性无关向量组对应到线性无关向量组.4° 将的基对应为W中的线性无关集. (这一点是对无限维空间说的，因为有限维的情形包含在3°中)证明： 是的子空间这一结论易证（直接按定义证明）.1°2°：() 设，则，于是，即，亦即. () 设，即，由为单射可得，故.1°3°：() 设是的任意线性无关向量组，则为W中

7、的向量组. 设，则，由于，有，而线性无关，故，因此，线性无关. () 设，则，若，则是中线性无关向量组（只有单个向量），则是W中的线性无关组，这与矛盾，故，因此，.1°4°：() 设是的一个基. 任取有限个向量，其中，类似上面做法，可得线性无关，因此，是W中的线性无关集. () 设，由于是的一个基，故存在，以及使得，于是有但是是W中的线性无关集，为中有限个向量，必线性无关，从而，于是，因此，. 定理1 设是线性映射，则.证明：由于核空间，故设是的基，于是可扩充为的一个基（若，则设为的一个基）. 于是，由命题1，下证线性无关：设，则即，于是，即而是的基，是线性无关的，故. 因

8、此，线性无关. 故是的基，即. 所以，. 注4：这是一个有趣的结论，是的子空间，是的子空间，但是它们的维数之和等于的维数. 这就是课后习题第8题，也是课本的定理3，课本用了另一种证明方法.今后常称为线性映射的零度，为线性映射的秩.由定理1可直接得到以下推论。推论1 设和是域上两个有限维向量空间, 是线性映射，则以下等价：1° 是同构映射. 2° 是单线性映射. 3° 是满线性映射.3. 有限维向量空间同构定理定理2 设和是域上两个有限维向量空间, 则当且仅当.证明：() 设是同构映射. 如果是的基, 由为单射和命题2得，是中的线性无关集，而由为满射和命题1得，所以

9、是的基. 因此，. () 设是的基, 是的基, 由性质6，存在唯一的线性映射，使得，. 将的基对应为的基，由命题1，为单射；而，由命题2，为满射. 所以，为同构映射. 注5：设和是域上两个无限维向量空间, 虽然, 但 和未必同构. (证明要用到集合论更多的知识, 略.) 另外, 有限维向量空间与无限维向量空间不可能同构.推论2 域上任意维向量空间.那么，此推论中和之间的同构映射可以怎么找出呢？设是的一个基，对于任意，可以唯一地表示为的线性组合，即存在唯一的，使得，称是在基下的坐标或关于基的坐标，并记为.这样，在取定了的基后，令则可验证，此就是从到的同构映射.需要注意的是，坐标与基的关系是不可分

10、割的，同一个向量在不同基下的坐标是不同的，基就如同坐标系.4. 线性映射与矩阵设是域上向量空间到的线性映射，, . 在向量空间中取基，在向量空间中取基. 这样，在基下的坐标分别为，以这些坐标为列向量的矩阵为，这样，若记则借助矩阵乘法的规则，有 (1)矩阵称为线性映射关于的基和的基的矩阵. 于是线性映射和矩阵建立起了联系. (1)式的记法符合矩阵乘法的规则.上面这种记法实际上我们之前用过，也有结论：在中，的线性关系与的列向量组（即在基下的坐标）的线性关系（中）完全一致. P.147，例1，P.148，1,2,3，都运用了这一思想. 命题3 设是向量空间的基, 是向量空间的基. 线性映射满足, 其中，则(1) 当且仅当在基下的坐标为齐次线性方程组的解，即;(2) 当且仅当线性方程组有解，其中是在基下的坐标.证明：(1) 因为, 所以故当且仅当.(2) 当且仅当存在使得. 设，则故. 设矩阵的列向量为, 则有解当且仅当. 设是齐次线性方程组的