JA线性方程组迭代

1、§4.2 线性方程组的迭代解2.1 Jacobi迭代法算法：2.2 迭代的收敛条件 1. 向量的范数 2. 矩阵的范数本段一开始的例题法1中出现的M不满足定理4.5，而法2中出现的M满足定理条件.> restart;> with(linalg):Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected> Jacobi:=proc(A,b,x0,m)> local n,x,X0,a1,a2,k,i,j;> n:=vectdim(col(A,1);>

2、X0:=x0;> x:=vector(0,0,0,0);> for k from 1 to m do> for i from 1 to n do> a1:=0;a2:=0;> for j by 1 from 1 to i-1 do> a1:=a1+Ai,j*X0j;> end do;> for j by 1 from i+1 to n do> a2:=a2+Ai,j*X0j;> end do;> xi:=(bi-a1-a2)/Ai,i;> end do;> X0:=x;> print(map(evalf,x);

3、> end do;> end:> A:=matrix(4,4,5,-1,-1,-1,-1,10,-1,-1,-1,-1,5,-1,-1,-1,-1,10):> b:=vector(-4,12,8,34):> x0:=vector(0,0,0,0):> Jacobi(A,b,x0,6);精确结果为（1，2，3，4）。2.3 Gauss-Seidel迭代法在Jacobi迭代法中，有一个明显的特点，就是每次迭代右端的变量的值全部用前一次迭代值来代换，所以Jacobi迭代，又称为同步迭代法.可以设想，如果迭代序列收敛，则将迭代格式（3）中第一个方程计算出来的 关于G

4、auss-Seidel迭代法的收敛结论，除了用定理4.4与4.5外，还可由方程组的系数矩阵的某些特征来判断迭代是不收敛：（1）若A为严格对角占优矩阵（各行非对角元绝对值之和小于对角元绝对值的矩阵），则，且Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法都收敛.（2）对A为对称正定阵，则且Gauss-Seidel迭代法收敛.（Jacobi?）需进一步说明，某些方程对于Jacobi迭代收敛，而对Gauss-Seidel迭代不收敛，而某些对于Gauss-Seidel收敛，但用Jacobi迭代却不收敛，但，对待实际问题可用上述两个结论加以判断，或交换方程的次序使迭代法收敛. > restart

5、;> with(linalg):> GaussSeidel:=proc(A,b,x0,m)> local n,x,X0,a1,a2,k,i,j;> n:=vectdim(col(A,1);> X0:=x0;> x:=vector(0,0,0,0);> for k from 1 to m do> for i from 1 to n do> a1:=0;a2:=0;> for j by 1 from 1 to i-1 do> a1:=a1+Ai,j*xj;> end do;> for j by 1 from i+1 to

6、 n do> a2:=a2+Ai,j*X0j;> end do;> xi:=(bi-a1-a2)/Ai,i;> end do;> X0:=x;> print(k);print(map(evalf,x);> end do;> end:> A:=matrix(4,4,5,-1,-1,-1,-1,10,-1,-1,-1,-1,5,-1,-1,-1,-1,10):> b:=vector(-4,12,8,34):> x0:=vector(0,0,0,0):> GaussSeidel(A,b,x0,6);精确结果为（1，2，3，4）。

7、2.4 逐次超超松弛迭代法逐次超松驰迭代法是Gauss-Seidel迭代法的一种加速方法，是解大型稀疏矩阵方程组的有效方法之一，它具有计算公式简单，程序设计容易，占用计算机内存比较少之优点，但需要选择好的加速因子（即最佳松弛因子）.现将迭代法（5）改写成> restart;> with(linalg):Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected> SOR:=proc(A,b,x0,m)> local w,n,x,X0,a1,a2,k,i,j;> w:

8、=1.2;> n:=vectdim(col(A,1);> X0:=x0;> x:=vector(0,0,0,0);> for k from 1 to m do> for i from 1 to n do> a1:=0;a2:=0;> for j by 1 from 1 to i-1 do> a1:=a1+Ai,j*xj;> end do;> for j by 1 from i+1 to n do> a2:=a2+Ai,j*X0j;> end do;> xi:=(1-w)*X0i+w(bi-a1-a2)/Ai,i;> end do;> X0:=x;> print(map(evalf,x);> end do;> end:> A: