第8章回归正交试验设计

1、 第第8 8章章 回归正交回归正交试验设计试验设计 本章问题的提出正交设计：优方案只能限制在已定的水平上，而不正交设计：优方案只能限制在已定的水平上，而不是一定试验范围内的最优方案是一定试验范围内的最优方案回归分析可通过所确立的回归方程回归分析可通过所确立的回归方程 ，对试验结果，对试验结果进行预测和优化，但回归分析只能对试验数据进行进行预测和优化，但回归分析只能对试验数据进行被动的处理和分析，不涉及对试验设计的要求。被动的处理和分析，不涉及对试验设计的要求。回归正交设计可将两者结合起来。它可以在因素的回归正交设计可将两者结合起来。它可以在因素的试验范围内选择适当的试验点，用较少的试验建立试验

2、范围内选择适当的试验点，用较少的试验建立一个精度高、统计性质好的回归方程，并能解决试一个精度高、统计性质好的回归方程，并能解决试验优化问题。验优化问题。回归正交设计（Orthogonal regression design） 回归正交设计处理的对象：回归正交设计处理的对象： 可以在因素的试验范围内选择适当的可以在因素的试验范围内选择适当的试验点试验点 用较少的试验建立回归方程用较少的试验建立回归方程 能解决试验优化问题能解决试验优化问题 不适合有非数量性因素的问题不适合有非数量性因素的问题8.1 一次回归正交试验设计及结果分析一次回归正交试验设计及结果分析 n建立试验指标（建立试验指标（y）与

3、）与m个试验因素个试验因素x1，x2，xm之间的一次回归方程之间的一次回归方程：n例：例：m3时，时，一次回归方程：一次回归方程： yab1x1b2x2b3x3b12x1x2b13x1x3b23x2x3其中其中x1，x2，x3表示表示3个因素；个因素；x1x2，x1x3，x2x3表示交表示交互作用互作用若不考虑交互作用，为三元一次线形回归方程：若不考虑交互作用，为三元一次线形回归方程： yab1x1b2x2b3x38.1.1 一次回归正交设计的基本方法一次回归正交设计的基本方法 （1）确定因素的变化范围）确定因素的变化范围 以因素以因素xj为例：为例： 设设xj 的变化范围为的变化范围为xj1

4、， xj2 xj1为为xj的下水平的下水平 xj2为为xj的上水平的上水平 xj0为为xj的零水平：的零水平： xj0 (xj1 xj2)/2 因素因素xj的变化间距的变化间距 j：j上水平上水平 零水平零水平xj2xj0j= (xj2 xj1)/2 8.1.1 一次回归正交设计的基本方法一次回归正交设计的基本方法（2）因素水平的编码）因素水平的编码n编码（编码（coding）：将因素）：将因素xj的各水平进行线性变的各水平进行线性变换：换：zj：因素：因素xj的编码的编码 ，称为规范变量，称为规范变量 xj：自然变量：自然变量 上水平上水平xj2的编码的编码 ：zj21 下水平下水平xj1的

5、编码：的编码：zj1-1 零水平零水平xj0的编码：的编码：zj00 0jjjjxxz 编码目的：编码目的： 使每因素的每水平在编码空间是使每因素的每水平在编码空间是“平等平等”的，的，规范变量规范变量zj的取值范围都是的取值范围都是1，-1内变化，不内变化，不会受到自然变量会受到自然变量xj的单位和取值大小的影响。的单位和取值大小的影响。 编码能将试验结果编码能将试验结果y与因素与因素xj（j1，2，m）各水平之间的回归问题，转换成试验结果）各水平之间的回归问题，转换成试验结果y与编码值与编码值zj之间的回归问题，从而大大简化了之间的回归问题，从而大大简化了回归计算量。回归计算量。 （3）一

6、次回归正交设计表）一次回归正交设计表 将二水平的正交表中将二水平的正交表中“2”用用“1”代换代换 ，例：，例：任一列编码的和为任一列编码的和为0 任两列编码的乘积之和等于任两列编码的乘积之和等于0 （4）试验方案的确定）试验方案的确定n表头设计表头设计 ：可参考正交设计的表可参考正交设计的表头设计方法头设计方法交互作用列的编码等交互作用列的编码等于表中对应两因素列于表中对应两因素列编码的乘积编码的乘积 n零水平试验（中心零水平试验（中心试验试验 ）目的是为了目的是为了进行更精确的统计进行更精确的统计分析，得到精度较分析，得到精度较高的回归方程。高的回归方程。8.1.2 一次回归方程的建立一次

7、回归方程的建立 n总试验次数为总试验次数为n ： nmcm0mc:二水平试验次数二水平试验次数m0:零水平试验次数零水平试验次数n一次回归方程系数的计算：一次回归方程系数的计算：常数项：常数项：a一次项系数：一次项系数：bj 交互项系数：交互项系数： bjk11niiayyn1,1,2,3,(8 12)njiiijcz ybjmm1(),1,2,3,1(8 13)nkjiiikjcz zybjk kmmn说明说明：求得的回归系数直接反映了该因素求得的回归系数直接反映了该因素作用的大小作用的大小 回归系数的符号反映了因素对试验回归系数的符号反映了因素对试验指标影响的正负指标影响的正负 8.1.3

8、. 回归方程及偏回归系数的方差分析回归方程及偏回归系数的方差分析 （1）无零水平试验时）无零水平试验时 平方和：平方和：n总平方和：总平方和：n一次项偏回归平方和一次项偏回归平方和 ：n交互项偏回归平方和：交互项偏回归平方和：n回归平方和回归平方和 ：n残差平方和残差平方和 ：2221111()()nnnTyyiiiiiiSSLyyyyn2jcjSSm b2kjckjSSm bRSSSSSS一次项交互项eTRSSSSSS自由度自由度 ndfTn1 n各种偏回归平方和的自由度各种偏回归平方和的自由度1 n回归平方和的自由度回归平方和的自由度 ：n残差自由度：残差自由度：Rdfdfdf一次项交互项

9、eTRdfdfdf均方均方F检验：检验：n回归方程显著性检验回归方程显著性检验n偏回归系数显著性检验偏回归系数显著性检验 ：判断因素或交互作用对试验的影响程度判断因素或交互作用对试验的影响程度经检验不显著的因素或交互作用应归入经检验不显著的因素或交互作用应归入残差，重新检验残差，重新检验可直接从回归方程中剔除这些一次和交可直接从回归方程中剔除这些一次和交互项互项n例例8-1：p.126129n例例8-1用石墨炉原子吸收分光光度计测定食用石墨炉原子吸收分光光度计测定食品中的铅，为提高测定灵敏度，希望吸光度品中的铅，为提高测定灵敏度，希望吸光度(y)大。为提高吸光度，讨论了大。为提高吸光度，讨论了

10、x1(灰化温度灰化温度/)， x2(原子化温度原子化温度/)和和 x3 (灯电流灯电流/mA)三个因素三个因素对吸光度的影响，并考虑交互作用对吸光度的影响，并考虑交互作用x1x2 ， x1x3 。已知。已知x1300700， x218002400，x3810mA。试通过回归正。试通过回归正交试验确定吸光度与三个因素之间的函数关系交试验确定吸光度与三个因素之间的函数关系式。式。例例8-1：p.126129 n(1)因素水平编码因素水平编码 编码编码因素因素xjx1(灰化温度灰化温度/)x2(原子化温原子化温度度/)x3 (灯电流灯电流/mA)上水平上水平(1)700240010下水平下水平(-1

11、)30018008零水平零水平(0)50021009变化间距变化间距j2003001n(2)正交表的选择和试验方案的确定正交表的选择和试验方案的确定 (3)回归方程的建立回归方程的建立 依题意 m0=0,n=mc=8试试验验号号z1z2z1z2z3z1 z3yy2z1yz2yz3y(z1z2)y(z1z2)y1111110.5520.3047040.5520.5520.5520.5520.5522111-1-10.5540.3069190.5540.554-0.554-0.554-0.55431-1-1110.4800.2304000.4800.4800.4800.4800.48041-1-1

12、-1-10.4720.2227840.472-0.472-0.472-0.472-0.4725-11-11-1-0.5160.266256-0.516-0.5160.5160.516-0.5166-11-1-11-0.5320.283024-0.5320.532-0.532-0.5320.5327-1-111-1-0.4480.200704-0.4480.448+0.4480.448-0.4488-1-11-11-0.4840.234256-0.484-0.484-0.4840.4840.484总总和和4.0382.0490440.0780.270-0.0460.0380.058n(3)回归方

13、程的建立回归方程的建立 计算各回归系数计算各回归系数:p127128 114.0380.504758niiayn1110.0780.009758niiicz ybm2120.2700.033758niiiczybm3130.0460.005758niiicz ybm 12112()0.0380.004758niiicz zybm1 2113()0.0580.007258niiicz zybmn(3)回归方程的建立回归方程的建立 写出写出y与规范变量与规范变量zj的回归方程的回归方程 y=0.50475+0.00975z1+0.033752-0.00575z3+0.00475z1z2+0.007

14、25z1z3根据偏回归系数绝对值大小，确定因素和交互作根据偏回归系数绝对值大小，确定因素和交互作用的主次顺序用的主次顺序 x2x1x1x3x3x1x2 根据偏回归系数的正负，得到各因素对试验指标根据偏回归系数的正负，得到各因素对试验指标的影响方向的影响方向(4)方差分析2221114.038()2.0490440.0108648nnTiiiiSSyyn22118 0.009750.000761cSSm b 22228 0.033750.009113cSSm b 22338 0.005750.000265cSSm b 2212128 0.004750.000181cSSm b 1231213 0

15、.000761 0.0091130.0002650.000181 0.000421 0.010741RSSSSSSSSSSSS0.0108640.0107410.000123eTRSSSSSS2213138 0.007250.000421cSSm b (4)方差分析dfT=n-1=8-1=7 df1=df2=df3=1 df12=df13=1dfR=df1+df2+df3+df12+df13=1+1+1+1+1=5dfe=dfT-dfR=7-5=2MS1=SS1/df1=0.000761 MS2=SS2/df2=0.009113MS3=SS3/df3=0.000265 MS12=SS12/df

16、12=0.000181MS13=SS13/df13=0.000421MSR=SSR/dfR=0.010741/5=0.002148MSe=SSe/dfe=0.000123/2=0.000062F1=MS1/MSe=0.000761/0.000062=12.27F2=MS2/MSe=0.009113/0.000062=146.98F3=MS3/MSe=0.000265/0.000062=4.27F12=MS12/MSe=0.000181/0.000062=2.92F13=MS13/MSe=0.000421/0.000062=6.79FR=MSR/MSe=0.002148/0.000062=34.

17、65方差分析表F0.01(1,2)=98.49 F0.05(1,2)=18.51F0.01(5,2)=99.30 F0.05(5,2)=19.30 差异源SSdfMSF显著性z10.00076110.00076112.27z20.00911310.009113146.98*z30.00026510.0002654.27z120.00018110.0001812.92Z130.00042110.0004216.79回归0.01074150.00214834.65*残差0.00012320.000062总和0.0108647新的方差分析表F0.05(1,6)=5.99 F0.01(1,6)=13.

18、74 差异源SSdf MSF显著性回归(z2) 0.00911310.00911331.21*残差e0.00175160.000292总和0.0108647(5)最终的回归方程y=0.50475+0.03375z2z2=(x2-2100)/300 y=0.50475+0.03375 (x2-2100)/300 整理后得:y=0.2685+0.0001125x2 （2）有零水平试验时）有零水平试验时 n目的：进行回归方程的失拟性（目的：进行回归方程的失拟性（lack of fit）检验检验 （要求（要求m02 ）n前面所提的对回归方程进行的显著性检验，前面所提的对回归方程进行的显著性检验，只能说

19、明相对残差平方和而言，各因素对只能说明相对残差平方和而言，各因素对试验结果的影响是否显著。即使所建立的试验结果的影响是否显著。即使所建立的回归方程是显著的，回归方程是显著的， 也只反映了回归方程也只反映了回归方程在试验点与试验结果拟合得较好，不能说在试验点与试验结果拟合得较好，不能说明在整个研究范围内回归方程都与实测值明在整个研究范围内回归方程都与实测值有好的拟合。有好的拟合。n失拟性检验：为了检验一次回归方程在整失拟性检验：为了检验一次回归方程在整个研究范围内的拟合情况个研究范围内的拟合情况n失拟性检验步骤失拟性检验步骤： 设设m0次零水平试验结果为次零水平试验结果为y01，y02，y0m0

20、 重复试验误差：重复试验误差：n平方和：平方和： n重复试验误差的自由度：重复试验误差的自由度：回归方程失拟部分：回归方程失拟部分：n失拟平方和失拟平方和 ：n失拟平方和自由度失拟平方和自由度：0002221000011101()()mmmeiiiiiiSSyyyym101edfm11LfTReeeSSSSSSSSSSSS1Lfeedfdfdf失拟检验失拟检验 ：n对于给定的显著性水平对于给定的显著性水平（一般取（一般取0.1） n当当FLfF(dfLf，dfe1)时，就认为回归方程失拟时，就认为回归方程失拟不显著，失拟平方和不显著，失拟平方和SSLf是由随机误差造成的，是由随机误差造成的，所

21、建立的回归方程是拟合得很好。只有当回归所建立的回归方程是拟合得很好。只有当回归方程显著、失拟检验不显著时，才能说明所建方程显著、失拟检验不显著时，才能说明所建立的回归方程是拟合得很好的。立的回归方程是拟合得很好的。11L fL fL feeSSdfFSSdfn例例8-2：p.129131n例例8-2从某植物中提取黄酮类物质，为了对从某植物中提取黄酮类物质，为了对提取工艺进行优化，选取三个相对重要的因素：提取工艺进行优化，选取三个相对重要的因素：乙醇浓度乙醇浓度x1、液固比、液固比x2、和回流次数、和回流次数x3 进行了进行了回归正交试验，不考虑交互作用。已知回归正交试验，不考虑交互作用。已知x

22、160%80%， x2812，x313次。试通过次。试通过回归正交试验确定黄酮提取率与三个因素之间回归正交试验确定黄酮提取率与三个因素之间的函数关系式并确定优化方案。的函数关系式并确定优化方案。P129 例例8-2(1)(1)因素水平编码因素水平编码编码Zj乙醇浓度/%(x1)液固比(x2)回流次数(x3)上水平(1)80123下水平(-1)6081零水平(0)70102变化间距j1021试验号z1z2z3x1 x2x3Y1111801238331-1180836.941-1-180816.45-111601236.96-11-1601216.57-1-116083

23、6.08-1-1-160815.19000701026.610000701026.511000701026.6(2)正交表选择及实验方案确定正交表选择及实验方案确定试验号z1z2z3yy2z1yz2yz3y11118.064.008.08.08.0211-17.353.297.37.3-7.331-116.947.616.9-6.96.941-1-16.440.966.4-6.4-6.45-1116.947.61-6.96.96.96-11-16.542.25-6.56.5-6.57-1-116.036.00-6.0-6.06.08-1-1-15.126.01-5.1-5.1-5.190006

24、.643.56000100006.542.25000110006.643.56000总和总和72.8487.14.14.32.5(3)回归方程的建立回归方程的建立 依题意依题意 m0=3,n=mc+m0=11回归方程：y=6.6182+0.5125z1+0.5375z2+0.3125z3因素作用主次：x2x1x31172.86.618211niiayn1114 .10.5 1 2 58niiiczybm2124.30.53758niiicz ybm3132.50.31258niiicz ybm(4)方差分析22211172.8()487.15.29611nnTiiiiSSyyn22118 0.

25、51252.101cSSm b 22228 0.53752.311cSSm b 22338 0.31250.781cSSm b 1232.101 2.311 0.781=5.193RSSSSSSSS5.2965.1930.103eTRSSSSSS(4)方差分析dfT=n-1=8-1=7 df1=df2=df3=1 dfR=df1+df2+df3=1+1+1=3dfe=dfT-dfR=10-3=7MS1=SS1/df1=2.101 MS2=SS2/df2=2.311 MS3=SS3/df3=0.781MSR=SSR/dfR=5.193/3=1.731MSe=SSe/dfe=0.103/7=0.0

26、147F1=MS1/MSe=2.101/0.0147=142.9F2=MS2/MSe=2.311/0.0147=157.2F3=MS3/MSe=0.781/0.0147=53.1FR=MSR/MSe=1.731/0.0147=117.8方差分析表F0.01(1,7)=12.25 F0.05(1,7)=5.59F0.01(3,7)=8.45 F0.05(3,7)=4.35 差异源SSdfMSF显著性z12.10112.101142.9*z22.31112.311157.2*z30.78110.78153.1*回归5.19331.731117.8*残差0.10370.0147总和5.29610(5

27、)失拟性检验本例中，零水平试验次数m0=3，可进行失拟性检验。00mm22e10011021()m1 (43.56+42.25+43.56)(6.6+6.5+6.6)3 129.37129.36333 0.00667 iiiiSSyySSLf=SSe-SSe1=0.103-0.00667=0.0963dfe1=m0-1=3-1=2 dfLf=dfe-dfe1=7-2=5LfLfLf0.1e1e1SS /df0.0963/5F =5.775 F (5,2)=9.29SS /df0.00667/2检验结果表明，失拟不显著，回归模型与实际情况拟合很好。检验结果表明，失拟不显著，回归模型与实际情况拟合

28、很好。(6)最终的回归方程y=6.6182+0.5125z1+0.5375z2+0.3125z3z1=(x1-70)/10 z2=(x2-10)/2 z3=(x3-2)/1y=-0.2818+0.05125x1+0.26875x2+0.3125x3x1=80 x2=12 x3=3时，Y7.9807(经用规划求解) 8.2 二次回归正交组合设计二次回归正交组合设计 n回归方程的建立：回归方程的建立：根据最小二乘法原理得到正规方程组根据最小二乘法原理得到正规方程组求解正规方程组，得回归系数求解正规方程组，得回归系数试验次数试验次数=方程的个数方程的个数方程的个数方程的个数回归系数个数回归系数个数要

29、求：试验次数回归方程的项数要求：试验次数回归方程的项数n回归正交组合设计：在一次回归正交试验设计回归正交组合设计：在一次回归正交试验设计的基础上再增加一些特定的试验点，通过适当的基础上再增加一些特定的试验点，通过适当的组合形成试验方案的组合形成试验方案 8.2.1 二次回归正交组合设计表二次回归正交组合设计表 （1）二元二次回归正交组合设计试验方案）二元二次回归正交组合设计试验方案n二元二次回归方程：二元二次回归方程：n该方程共有该方程共有6个回归系数，所以要求试验次数个回归系数，所以要求试验次数n6，而二水平全面试验的次数为而二水平全面试验的次数为22=4次，显然不能满次，显然不能满足要求，

30、于是在此基础上再增加足要求，于是在此基础上再增加5次试验。次试验。221 122121211 1222yab xb xb x xb xb x试验方案试验方案n正交组合设计的三类试验点及次数：正交组合设计的三类试验点及次数：二水平试验：一次回归正交试验设计中的试验点二水平试验：一次回归正交试验设计中的试验点 全实施：全实施：mc2m 1/2实施：实施：mc2m11/4实施：实施：mc2m2 星号试验：星号试验：与原点（中心点）的距离都为与原点（中心点）的距离都为 m2m 零水平试验：零水平试验：各因素水平编码都为零时的试验各因素水平编码都为零时的试验 试验次数试验次数m0 n二元二次回归正交组合

31、设计二元二次回归正交组合设计总的试验次数为：总的试验次数为：n=mc+2m+m0（2） 三元二次回归正交组合设计试验方案三元二次回归正交组合设计试验方案 n三元二次回归方程：三元二次回归方程：n该方程共有该方程共有10个回归系数，所以要求试验次数个回归系数，所以要求试验次数n10，而二水平全面试验的次数为，而二水平全面试验的次数为23=8次，显然次，显然不能满足要求，于是在此基础上再增加不能满足要求，于是在此基础上再增加7次试验。次试验。2221 12 23 312 1 213 1 323 2 311 122 233 3y a bxbxbxb xxb xxb x xb xb xb x n三元二

32、次回归正交组合设计三元二次回归正交组合设计 （3）星号臂长度与二次项的中心化）星号臂长度与二次项的中心化 星号臂长度星号臂长度n星号臂长度星号臂长度与因素数与因素数m，零水平试验次数，零水平试验次数m0及及二水平试验数二水平试验数mc有关有关n参考：公式（参考：公式（8-33）或表）或表8-18 0(2)2cccmmm mm二次项的中心化二次项的中心化 n对二次项的每个编码进行中心化处理对二次项的每个编码进行中心化处理 ：(二次项编码二次项编码)(二次项编码算术平均值二次项编码算术平均值)n利用利用Excel列出回归正交组合设计表列出回归正交组合设计表 表表8-19 二元二次回归正交组合设计编

33、码表二元二次回归正交组合设计编码表 表表8-20 三元二次回归正交组合设计编码表三元二次回归正交组合设计编码表m0=4时，时， m0=2时，时，m0=3时时(作业作业) 2211njijijiizzzn8.2.2 二次回归正交组合设计的应用二次回归正交组合设计的应用 （1）基本步骤）基本步骤 因素水平编码因素水平编码 n试验因素的水平被编为试验因素的水平被编为，1，0，1，n变化间距：变化间距：j上水平零水平零水平下水平上水平零水平零水平下水平8.2.2.二次回归正交组合设计的应用二次回归正交组合设计的应用n（1）基本步骤）基本步骤确定合适的二次回归正交组合设计确定合适的二次回归正交组合设计

34、参考表参考表8-22（p.136) 可参考附录可参考附录226页页试验方案的实施试验方案的实施回归方程的建立回归方程的建立 n常数项：常数项：an一次项偏回归系数：一次项偏回归系数：bjn交互项偏回归系数：交互项偏回归系数：bkjn二次项偏回归系数：二次项偏回归系数：bjj11niiayyn121njiiijnjiiz ybz121()()nkjiiikjnkjiiz zybz z121()()njiiijjnjiizybz回归方程显著性检验回归方程显著性检验2221111()()nnnTiiiiiiSSyyyyn221njjjiiSSbz221()nkjkjkjiiSSbz z221()nj

35、jjjjiiSSbzRSSSSSSSS一次项二次项交互项Rdfdfdfdf一次项二次项交互项eTRSSSSSSeTRdfdfdfjjjeeeMSSSFMSSSdfkjkjkjeeeMSSSFMSSSdfjjjjjjeeeMSSSFMSSSdf失拟性检验失拟性检验 与一次回归正交设计是相与一次回归正交设计是相同的。同的。 回归方程的回代：回归方程的回代：n利用中心化公式，将利用中心化公式，将zj转换成转换成 zj2n利用编码公式，将规范变量转换成自然变量利用编码公式，将规范变量转换成自然变量最优试验方案的确定最优试验方案的确定:根据极值的必要条件：根据极值的必要条件：可以求出最优的实验条件可以求

36、出最优的实验条件(借助于规划求解借助于规划求解)10yx20yx例8-3 P138n例8-3 为了提高某种淀粉类高吸水性树脂的吸水倍率，在其它合成条件一定的情况下，重点考察丙烯酸中和度和交联剂用量对试验指标（产品吸水倍率）的影响，已知丙烯酸中和度（x1）的变化范围为0.70.9，交联剂用量（x2）的变化范围为13 mL，试用二次正交组合设计分析出这两个因素与试验指标（y）之间的关系。例例8-3 P138(1)(1)因素水平编码因素水平编码规范变量Zj自然变量x1（中和度）x2 （交联剂用量，mL）上星号臂0.93上水平10.893(0.8+0.093)2.93零水平00.82下水平-10.70

37、7(0.8-0.093)1.07下星号臂- 0.71变化间距j0.093(0.9-0.8)/1.078)0.93计算依据nm=2，取m0=2，根据星号臂计算公式或查表得=1.078nx1=0.9 ，x-1=0.7， x10=0.8n1=(0.9-0.8)/1.078=0.093nx2=3 ，x-1=1， x10=2n2=(3-2)/1.078=0.93试验号试验号z1z2丙烯酸中和度丙烯酸中和度(x1)交联剂用量交联剂用量/mL (x2)1110.8932.9321-10.8931.073-110.7072.934-1-10.7071.0751.07800.926-1.07800.72701.

38、0780.8380-1.0780.819000.8210000.82(2)试验方案试验方案试试验验号号z1z2z1 z2z12z22z1z2Y1111110.3680.36842321-1-1110.3680.3684863-11-1110.3680.3684184-1-11110.3680.36845451.078001.16200.530-0.6324916-1.078001.16200.530-0.632472701.078001.162-0.6320.53042880-1.078001.162-0.6320.530492900000-0.632 -0.6325121000000-0.6

39、32 -0.632509(2)正交组合设计正交组合设计（3）回归方程的建立14685niiy1i1z57.482niiy2i1z-167.992niiy221i2i11zz6.324nnii1 2 ii1(z z ) y-27ni21 2 i1(z z )4ni1ii1(z )y-62.786ni2ii1(z )y-112.755ni221i2i11(z )(z ) =2.701nnii11468.5468.510niiayn11121i157.4829.096.324niiinizybz21222i1-167.992-26.566.324niiiniz ybz12i112212i1(z)-2

40、7-6.754(z)niinizybz1i11121i1(z )-62.786-23.242.701(z )niiniyb2i12222i1(z )-112.755-41.742.701(z )niiniybY=468.5+9.09ZY=468.5+9.09Z1 1-26.56Z-26.56Z2 2-6.75Z-6.75Z1 1Z Z2 2-23.24Z-23.24Z1 1-41.74Z-41.74Z2 2 (4)回归方程及偏回归系数的显著性检验回归方程及偏回归系数的显著性检验2221114685()220630311380.510nnTiiiiSSyynn222111ii=1z9.096.3

41、24552.5SSb12121122 522.54461.2182.31458.84705.8=11330.6RSSSSSSSSSSSS11380.5 11330.649.9eTRSSSSSSn222222 ii= 1z2 6 .5 66 .3 2 44 4 6 1.2S Sbn2221 21 212ii= 1(z z)6 .7 541 8 2.3S Sbn2221 11 11 ii= 1(z)2 3 .2 42 .7 0 11 4 5 8.8S Sbn2222 22 22 ii= 1(z)4 1 .7 42 .7 0 14 7 0 5.8S Sb(4)方差分析dfT=n-1=10-1=9 df1=df2=df12=df1=df2=1 dfR=df1+df2+df12+df1+df2=1+1+1+1+1=5dfe=dfT-dfR=9-5=4MS1=522.5/1=522.5 MS2=SS2/df2=4461.2/1=4461.2MS12=SS12/df12=182.3MS1=SS1/df1=1458