特征值与特征向量定义与计算

1、特征值与特征向量特征值与特征向量的概念及其计算定义1.设A是数域P上的一个n阶矩阵,是一个未知量，_anl _a2n "久一=晋+务矿4 +廻矿 +坷+ g称为A的特征多项式，记 （）=| E-A|，是个P上的关于的n次多项式，E是单位矩阵莎j（）=1 E-A|= n+ n= 0是一个n次代数方程，称为A 的特征方程。 特征方程 （）=| E-A|=0的根（如：o）称为A的 特征根（或特征值）。n次代数方程在复数域内有且仅有 n个根，而 在实数域内不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与 A有关, 与数域P也有关。以A的特征值 o代入（E-A）X=,得方程组（oE-A）X=,是一

2、个齐次方程组 疔，称为A的关于o的特征方程组。因为| oE-A|=O , （oE-A）X=必存在非零解Xo）孑1，於o）称为A的属于o的特征向量。 所有o的特征向量全体构成了 o的特征向量空间。一.特征值与特征向量的求法对于矩阵A,由AX= oX, oEX=AX得: oE-AX=即齐次线性方程组=0-屯声1 + （為一 12）2吕血匚=0厂盟L-%百一（九一百）有非零解的充分必要条件是:_alS=0即说明特征根入是特征多项式|oE-A| =0的根，由代数基本定 _aU - ai3_ ain一 -沁n 有n个复根i2,，为A的n个特征根当特征根i (1=1,2,n)求出后，(i E-A)X=是齐

3、次方程， 均会使| iE-A|=O , ( i E-A)X=必存在非零解，且有无穷个解向量， (i E-A)X=的基础解系澎1以及基础解系的线性组合眇1都是A的特 征向量。例1.求矩阵 A= 3 -5 3的特征值与特征向量6-5 4解：由特征方程X-l3-S13 3dct（AE - A）=-S X+5 -S=（A-f2）1X+5- S-66X-406入一 4=（入 + 2）3CA-4）=0解得A有2重特征值1= 2=-2，有单特征值3=4对于特征值1= 2=-2，解方程组（-2E-A）x=-3 3 -Si r 1 -1 1"-2E-A= -3 3 -S 000-6 畐-Jb u得同解

4、方程组x 1-X 2+X3=0解为X1=X2-X 3 （X 2,X 3为自由未知量#1）分别令自由未知量;:比1-1得基础解糸 E1=00I所以A的对应于特征值1= 2=-2的全部特征向量为x=ki i+k2 2 （ki,k2不全为零）特征值在重根可见，特征值 =-2的特征向量空间是二维的。注意, 时，特征向量空间的维数 特征根的重数。对于特征值3=4,方程组（4E-A）x=4E-A =0-60012 -6X1Aj 0得同解方程组为2X,-丄X = fl2 2 31Xj = -；X3:（嘉任意）令自由未知量X3=2得基础解系 3= 1所以A的对于特征值 3=4得全部特征向量为x= k 3 34

5、 2-5例2.求矩阵A= 6 4 -9的特征值与特征向量5 3-7解：由特征方程1- 4-25det(AE- A) = -6 丸一49 =a?(X- 1)= 0-53A.+ 7解得A有单特征值1 = 1，有2重特征值 2= 3=0对于1=1，解方程组(E-A) x =-3 -2 5_1 0 -1E A =-6 -3 9>0 1 -1-5-380 0 0同解为hi =屯令自由未知量X3=1,得基础解系 & = 1所以A的对应于特征值1=1的全部特征向量为x=ki i (k i 0)对于特征值2= 3=0，解方程组(OE-A)二-4 -2 51 0 -1A =-6-49>0 1

6、 ；-5 -370 0 0得同解方程组为通解为'E = ha令自由未知量X3=1，得基础解系此处，二重根 =0的特征向量空间是一维的，特征向量空间的维数特征根的重数1；1，这种情况下，矩阵A是亏损的X!所以A的对应于特征值2= 3 = 0得全部特征向量为X=k2 310 0例3.矩阵A= 0 0 -1的特征值与特征向量0 1 0解：由特征方程X-1«0dct(AE-A)=0 X 1 = (A-1)(21?+ 1) = 00 -1 %解得A的特征值为1=1, 2=i,3=-i对于特征值 1=1，解方程组(E-A)二，由00010"E A =411>001

7、6;-11°00得通解为:&厲任意)令自由未知量x 1 = 1，得基础解系1=(1,0,0) T，所以A的对应于特征值1=1得全部特征向量为x=k 1 1对于特征值2=i，解方程组(iE-A)=i-1ft0"100"iE-A =011>01i0-1i000得同解方程组为严=0= »通解为(s,=0為任意)T,所以A对应于特征值，由令自由未知量X3=1，得基础解系2=(0,i,1)2=1的全部特征向量为 x=k 2 2 (k2 0)。对于特征值3=-i ，解方程组(-E-A)x=-1 - 10010LE-A =0一 11>410-1-i

8、00得同解方程组为k 十 = 0通解为（勺任意）令自由未知量X3=1,，得基础解系3=（0,-i,1）T，所以A的对应于3=-i的全部特征向量为X=k 3 3。特征根为复数时，特征向量的分 量也有复数出现。特征向量只能属于一个特征值。而特征值i的特征向量却有无穷多个，他们都是齐次线性方程组（i E-A）x=的非0解。其中，方 程组（iE-A）x=的基础解系就是属于特征值i的线性无关的特征向量。性质1. n阶方阵A=（aj）的所有特征根为1, 2,n（包括重根）, 则S.j +九+入血=另刊订1=1丸比亠十|证第二个式子:二才十+ dTj 兄11-5 + 十= 0由伟达定理,12 n=(-1)又

9、| E-A|= J i “ 1 +.计n-i 1+ n中用 =0代入二边，得:卜A|=n,而 |A| = (-1)性质2若是可逆阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则1 1亠是A-的一个特征根，x仍为对应的特征向量。X证：= 二边左 得：x = A-1 Ax =再二边左乘?得：=可见'是A-1的一个特征根。其中0,这是因为0不会为可逆阵的特征根，不然，若i=0,|A|=1 2n=0, A奇异，与A可逆矛盾。性质3.若 是方阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则“是AT的一个特征根，x仍为对应的特征向量证：1) Ax= x,二边左乘 A,得：Ax=A x= Ax= x= 2x,可见2是A2的特征根；2) 若m是Am的一个特征根，Amx= °X,二边左乘 A,得：Am+1x=AAX=A mx= mAx= m x= m+1x，得m+1是Am+1的特征根用归纳法证明了 m是Am的一个特征根。性质4.设1,2,m是方阵A的互不相同的特征值。Xj是属于i的特征向量(i=1,2,m)，则x i,x 2,x m线性无关，即不相同 特征值的特征向量线性无关。性质4给出了属于不相同特征值的特征向量之间的关系，因而是一个很重要的结论。性质4可推广为：设1,2，,m为方阵A的互不相同的特征值，