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1、精品蒙日圆定理（纯解析几何证法）蒙日圆定理的内容：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，该圆的半径等于椭圆长半轴和短半轴平方和的算术平方根。如图，设椭圆的方程是x2y21 。两切线 PM 和 PN 互相垂直，交于点 P。a2b2求证：点 P 在圆 x2y2a2b2 上。证明：若两条切线中有一条平行于x 轴时，则另一条必定平行于y 轴，显然前者通过短轴端点，而后者通过长轴端点，其交点P 的坐标只能是：Pa b(1)special,它必定在圆x2y2a 2b2 上。现考察一般情况，两条切线均不和坐标轴平行。可设两条切线方程如下：PM : ykxm(2)PN :

2、 y1n(3)xk感谢下载载精品联立两切线方程(2) 和 (3) 可求出交点P 的坐标为：Pnm k , nk 2mk21k 21从而 P 点距离椭圆中心 O 的距离的平方为：nm k2nk22OP2mk 21k 21n2k 2m2k 21现将 PM 的方程代入椭圆方程，消去y，化简整理得：1k 2x22km xm21 0a2b2b2b2由于 PM 是椭圆的切线，故以上关于x 的一元二次方程，其判别式应等于m2b211 m2b2a2k 2对于切线 PN ，代入椭圆方程后，消去y，令判别式等于0，同理可得：2n2b2 k 21 n2b2a为方便起见，令：(4)(5)(6)0 ，化简后可得：(7)(8)a2A, b2B, m2M ,n2N , k 2K(9)这样 (7) 和 (8) 就分别化为了关于M 和 N 的一元一次方程，不难解出：MB AK(10)ANB(11)K将(10) 和 (11) 代入 (5) ，就得到：OG2NKMA B a2b2(1

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