二维形式的柯西不等式

1、二维形式的柯西不等式教学目标：1.认识二维形式的柯西不等式的代数形式、向量形式和三角形式，理解它们的几何意义2.通过对二维柯西不等式多种形式的证明，掌握它们之间的关系，进一步理解柯西不等式的意义教学重难点：重点：柯西不等式的三种形式难点：柯西不等式的应用教学过程：一.新课引入数学研究中，发现了一些不仅形式优美而且具有重要应用价值的不等式，称之为经典不等式。平均值不等式我们今天将学习柯西不等式还有后面要学到的排序不等式都是这样的经典不等式。二.新课讲解首先我们从学习过的向量的角度来探究：【问题1】已知两向量，它们之间的夹角为，判断与的大小关系；分析： 【问题2】若在平面直角坐标系xOy中，用坐标

2、表示上述关系式；分析：【问题3】思考上述不等式的等号何时成立？分析：所以我们得到这样一个不等式当且仅当时，等号成立这个不等式直观上很像我们熟悉的重要不等式，都是反映实数的平方和与乘积大小的关系，让同学们类比研究证明一下。证明一（比较法）： 当且仅当时等号成立证明二（综合法）： = = 当且仅当时等号成立证明三：分析：设， 即要证 这与函数的判别式密切相关，则 构造 当时，显然成立， 此时 当中至少有一个不为0时， 恒成立 由于，所以 即 此时要等号成立，那么f(x)有唯一零点，即有唯一实数x使 【证法三相比前两种方法复杂的多，我在此加入的目的是为了后面讲解一般形式的柯西不等式证明时，能先让同学

3、们以此为基础自主探究试一试，也使同学们能更好的了解证明的思路，由简入繁、举一反三。】此不等式就是柯西不等式的最简形式，即二维形式的柯西不等式。定理1.（二维形式的柯西不等式）若a,b,c,d都是实数，则 当且仅当ad=bc时，等号成立。这就是二维柯西不等式的代数形式，而前面向量推导正好是柯西不等式的向量形式定理2.(柯西不等式的向量形式)设是两个向量，则 当且仅当是零向量，或存在实数k，使时，等号成立。注：“二维”指的是与二维向量相对应，所以称之为二维形式的柯西不等式。二维形式的柯西不等式的变形式 当且仅当ad=bc时，等号成立。O【探究】在平面直角坐标系中，设的坐标分别为，根据的边长关系，你

4、能发现这4个实数蕴涵着何种大小关系吗？ O 当且仅当三点共线且在O两旁时等号成立定理3.（二维形式的三角不等式，也叫柯西不等式的三角形式） 设R，那么 分析：运用柯西不等式证明，关键设法构造两数平方和乘另两数平方和的形式。证明： 所以推广：二维形式的三角不等式三.例题讲解【例1】已知a,b为实数，证明.分析：形式与二维形式的柯西不等式具有明显的一致性，因此比较容易考虑到应用柯西不等式进行证明。【例2】设,求证：分析：本题可用均值不等式证明，柯西不等式又提供一种证明方法。【例3】求函数的最大值。分析：函数解析式化成ac+bd的形式，弄清对应于柯西不等式中a,b,c,d的4个数，要设法使化为常数，才能求出函数的最大值。【练习】求函数的最大值。三.课堂练习：课本P36习题3.1 (3)(4)四.课堂小结定理1.（柯西不等式的代数形式）若a,b,c,d都是实数，则 当且仅当ad=bc时，等号成立。 定理2.(柯西不等式的向量形式)设是两个向量，则 当且仅当时零向量，或存在实数k，使时，等号成立。定理3.（柯西不等