2008年考研数学三真题及解析路上的幸福哥

1、2008 年数学（三）一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.xòf (t)dt的（1）设函数 f (x) 在区间-1,1 上连续，则 x = 0 是函数 g(x) =0）x( A) 跳跃间断点.(C ) 无穷间断点.( B ) 可去间断点.( D) 振荡间断点.aò（2）曲线段方程为 y = f (x) ，函数 f (x) 在区间0, a 上有连续的导数，则定taf (x)dx 等于（）0( A)(C )( B ) 梯形 ABCD 面积.( D) 三角形 ACD 面积.梯形

2、ABCD 面积.三角形 ACD 面积.x2 + y4 ，则（3）已知 f (x, y) = e（A） fx¢(0, 0) ， f y¢(0, 0) 都（B） fx¢(0, 0) 不， f y¢(0, 0)（C） fx¢(0, 0) 不， f y¢(0, 0) 不（D） fx¢(0, 0) ， f y¢(0, 0) 都不f (x2 + y2 )¶F（4）设函数 f 连续，若 f (u, v) = òòDuvdxdy ，其中 D 为图中阴影部分，则= （uv¶u）x2 + y2v

3、（B）f (u2 )u（C） vf (u)（D） v f (u)u（A） vf (u 2 )（5）设 A 为阶非 0 矩阵 E 为阶矩阵若 A3 = 0 ，则（）( A) E - A 不可逆， E + A 不可逆.(C ) E - A 可逆， E + A 可逆.( B ) E - A 不可逆， E + A 可逆.( D) E - A 可逆， E + A 不可逆.（6）设 A = æ 12 ö 则在实数域上域与 A 合同矩阵为（ç 21 ÷）èøæ -2æ-1ö1ö2( A) ç( )B

4、-2 ÷ .2 ÷ .ç-11èøèø-2 öæ 21 öæ1-2()()CDç2 ÷ .ç÷ .11èøèø分布函数为 F ( x ) ，则 Z = maxX ,Y 分布函数为（7）随量 X ,Y同分布且 X）- 1 -路上的哥 ，干货最多的公众平台( A) F 2 ( x ) .(C ) 1- éë1- F ( x )ùû 2 .量 X N (0,1) ， Y N

5、 (1, 4) 且相( A) PY = -2X -1 = 1.(C ) PY = -2X +1 = 1 .( B ) F ( x ) F ( y ) .( D) éë1- F ( x )ùû éë1- F ( y )ùû .数rXY= 1 ，则（8）随）( B ) PY = 2X -1 = 1 .( D) PY = 2X +1 = 1 .二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将写在答题纸指定位置上.ìx2 +1,£ c> cx（9）设函数 f (x) = ï

6、 2在(-¥, +¥) 内连续，则c =.í,xïîx342 2ò，则f (x)dx =.（10）设 f (2（11）设 D = (x, y) x 2 + y 2 £ 1 ，则òò(x2 - y)dxdy = .D（12）微分方程 xy¢ + y = 0 满足条件 y(1) = 1 的解 y =.（13）设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，2，2，E 为 3 阶矩阵，则 4 A-1 - E=.（14）设随量 X 服从参数为 1 的泊松分布，则 PX= EX 2 = .三、解答题：1523 小题，

7、共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) （本题满分 10 分）1 ln sin x .求极限limx®0 x2x(16) （本题满分 10 分）设 z = z(x, y) 是由方程 x2 + y2 - z = j(x + y + z ) 所确定的函数，其中j具有 2 阶导数且j¢ ¹ -1时.（1）求 dz1æ ¶z - ¶z ö ，求 ¶u .（2）记u ( x, y ) =x - y ç ¶x¶y ÷¶x&

8、#232;ø(17) （本题满分 11 分）计算òòmax( xy,1)dxdy, 其中 D = (x, y) 0 £ x £ 2, 0 £ y £ 2 .D(18) （本题满分 10 分）f ( x ) 是周期为 2 的连续函数，设- 2 -路上的哥 ，干货最多的公众平台xt +2( )2(x )dx ；（1）证明对任意实数t ，有òtf x dx =fò0ét +2(s )ds ù dt 是周期为 2 的周期函数( )x( )òò（2）证明G x =2 f t

9、-f0 êëúût(19) （本题满分 10 分）设存款的年利率为 r = 0.05 ，并依年复利计算，某希望通过存款 A，实现第一年提取19为多少，第二年提取 28？，第 n 年提取（10+9n），并能按此规律一直提取下去，问 A 至少应(20) （本题满分 12 分）æ 2aç a2ö÷÷1 ÷ø n´n12aOOOa2设 矩 阵 A = çn )T， 现 矩 阵 A 满 足 方 程 AX = B ， 其 中，ççèB = (1,

10、0,L, 0) ，2a ÷= (n + 1)an ;A（1）求证（2） a 为何值，方程组有唯一解;（3） a 为何值，方程组有无穷多解.（21）（本题满分 10 分）设 A 为 3 阶矩阵， a1 , a2 为 A 的分别属于特征值-1,1特征，a3 满足 Aa3 = a2 + a3 ，证明（1） a1 , a2 , a3 线性无关；（2）令 P = (a , a) ，求 P-1 AP ., a123（22）（本题满分 11 分）的概率分布为 PX = i = 1 (i = -1, 0,1) ， Y量 X 与 Y 相互， X设随的概率密度为3( y ) = ì10

11、63; y £ 1，记 Z = X + Y其它fí0Yîìü12（1）求 P Z £X = 0ý ；íîþ（2）求 Z 的概率密度（23） （本题满分 11 分）1nn1n 2åiåi=1ms ) 的简单随机样本. 记 X =X ， S =(X - X ) ，22是总体为 N (,nin -1i=1T = X 2 - 1 S 2 .n（1）证 T 是m2 的无偏估计量.- 3 -路上的哥 ，干货最多的公众平台（2）当m= 0,s= 1 时，求 DT .- 4 -路上的哥 ，干

12、货最多的公众平台2008 年数学（三）一、选择题(1)【】 Bxòf (t)dt= lim f(x ) =(0 ) ，【详解】lim g(x) = lim0f®0所以 x = 0 是函数 g(x) 的可去间断点(2)【】Caa【详解】xf ¢(x)dx =xdf (x) = xf (x)aaòòòòa -f (x)dx =af (a) -f (x)dx00000aaòò¢其中 af (a) 是矩形 ABOC 面积，f (x)dx 为积(3)【】 B梯形 ABOD 的面积，所以xf (x)dx 为

13、三角形的面00x2 +04f (x, 0) - f (0, 0)x-1 = lim e-1im ef ¢【详解】e- x -1e x-1ex -1e x-1= lim= 1 ， lim= lim= -1limxxxxx®0+x®0+x®0-x®0-故 fx¢(0, 0) 不02 + y42e y -1f (0, y) - f (0, 0)-1y 2ef y¢(0, 0) = lim= lim= lim= lim= 0y - 0yyyy®0y®0y®0y®0所以 f y¢(0,

14、 0)(4)【】 A故选 B .f (u2 + v2 )vuuF (u, v ) =òòDòò2òdudv =dvf (r r)rdr = vf (r 2)dr【详解】用极坐标得u + v22011¶F¶u= vf (u 2 ) .所以】C(5)【详解】(E - A)(E + A + A2 ) = E - A3 = E ， (E + A)(E - A + A2 ) = E + A3 = E .故 E - A, E + A 均可逆(6)【】 D-2 ö，则 lE - D= l-12【详解】记 D = æ1=

15、 (l- 1)2 - 4 ，ç -21÷2l-1èø- 5 -路上的哥 ，干货最多的公众平台= l-1-2= (l- 1)2 - 4 ，又 lE - A-2l-1所以 A 和 D 有相同的特征多项式，所以 A 和 D 有相同的特征值.又 A 和 D 为同阶实对称矩阵，所以 A 和 D 相似由于实对称矩阵相似必合同，故 D 正确. (7)【】 A( )()() ()( )( )( )【详解】 F z =P Z £ z = P max X,Y £ z =P X £ z P Y £ z = F z F z = Fz .2

16、ZZZZ(8)【】 D【详解】 用排除法.设Y = aX + b ，由rXY =1，知道 X ,Y 正相关，得a > 0 ，排除( A) 、(C )由 X N (0,1),Y N (1, 4) ，得 EX = 0, EY = 1,排除( B ) . 故选择( D) .所以E(Y ) = E(aX + b) = aEX + b = a ´ 0 + b = 1, 所以b = 1.二、填空题(9)【】1ì2x ,x > cï【详解】由题c ³| x |³ 0 ，所以f (x) = x +1,2-c £ x £ c

17、37;ï- 2 x ,x < -cî2 = 2xcf ( x ) = lim( x 2 +1) = c 2 +1 ， lim f ( x ) = limlim因为x®c-x®c-x®c+x®c+又因为 f (x) 在(-¥, +¥) 内连续， f (x) 必在 x = c 处连续f (c) ，即c2 +1 = 2 Þ c = 1 .cf ( x ) = lim(x ) =limf所以x®c+x®c-1】 ln 3 2(10)【f æ，令t = 1 + x ，得xtf (

18、t ) =【详解】çt 2 - 22èö- 2÷ø211=(ln 6 - ln 2 )=ln 3 .2 - 2) 22 22 2( )òòf x dx =所以22222p4(11)【】【详解】 òò (x2 - y)dxdy利用函数奇偶性òò x2dxdy = 1 òò (x2 + y2 )dxdy2 DDDp122p1òò=q r rdr =.2d400- 6 -路上的哥 ，干货最多的公众平台(12)【】 y = 1xdy- y11【详解】由=

19、，两端得- lndx= lnx + C1 ，所以=x + C ，又 y(1) = 1 ，所以 y =.xyx(13)【】3【详解】 A 的特征值为1, 2, 2 ，所以 A-1 的特征值为1,1 2 ,1 2 ，所以 4 A-1 - E 的特征值为 4 ´1-1 = 3 ， 4 ´1 2 -1 = 1 ， 4 ´1 2 -1 = 1所以 4B-1 - E= 3´1´1 = 3 .1】 e-1(14)【2【详解】由 DX = EX 2 - (EX )2 ，得 EX 2 = DX + (EX )2 ，又因为 X 服从参数为 1 的泊松分布，所以12

20、1PX = 2 =-1-1DX = EX = 1 ，所以 EX = 1+1 = 2 ，所以2e=e.2！2三、解答题(15) 【详解】ln æ1 + sin x -1 ö一： limln sin x = lim112ç÷èxøx®0-1 = - lim sin x = - 1= lim sin6-sin-sin x1 ln sin二： lim2x3®0洛必达法则lim -x sin x = - 16x26x®02xdx + 2 ydy - dz = j¢(x + y + z )× (d

21、x + dy + dz )(16) 【详解】(I)Þ (j¢ + 1) dz = (-j¢ + 2x )dx + (-j¢ + 2 y )dyÞ dz = (-j¢ + 2x) dx + (-j¢ + 2 y )dy(Qj¢ ¹ -1)j¢ +1¶z-j¢ + 2x ¶z-j¢ + 2y(II) 由上一问可知=¶x, ¶y =，j¢ + 1j¢ + 11¶z¶z1-j¢ + 2x-j&#

22、162; + 2y1-2y + 2x2u(x, y) =(-) =(x - y ¶x¶yx - y-) =×x - yj¢ +1= j¢ +1所以j¢ +1j¢ +1- 7 -路上的哥 ，干货最多的公众平台y2j¢(1 + 2x -j¢)(j¢ +1)2-2j¢(1+ ¶z¶u =)¶(j¢ +1)2.所以(j¢ +1 )3(j¢ +1 )3¶x(17) 【详解】 曲线 xy = 1将区域分成两个区域 D1 和 D2

23、 + D3 ，为了便于计算继续对区域分割，最后为òò max ( xy,1) dxdyD= òò xydxdy + òò dxdy + òò dxdyD1D1D2D3D3D2112222òòòòòò=dx1dy +dx1dy +dxxydy2x12110002x= 1+ 2 ln 2 + 15 - ln 24= 19 + ln 24(18) 【详解】O0.52x的性质知对任意的实数t ，一：(I) 由t +2t +2f ( x ) dx = òt

24、( )02( )(x )dxòtòòf x dx +f x dx +f02t +2( )t()t( )0(x )dx令 x = 2 + u ，则ò2f x dx =f 2 + u du =f u du = -fòòò00tt +20202f ( x ) dx = òt( )(x )dx - òt( )(x )dxf ( x )dx ，则òtòòf x dx +fx dx =ff所以00t +222( )( )(II) 由(1)知，对任意的t 有ò2ò

25、42;f x dx =f x dxa =，记00x(u )du - ax .òG(x) = 2f所以，对任意的 x ，0x+2( )x(u )du + axG(x + 2) - G(x) = 2ò0f u du - a(x + 2) - 2fò0x+2( )2(u )du - 2a = 0= 2òxf u du - 2a = 2fò0所以G ( x ) 是周期为 2 的周期函数.t +2ò¢F (t) =，由于 F (t) = f (t + 2) - f (t) = 0 ，所以 F (t) 为，从而有 F (t) = F (

26、0) .f (x)dx二：(I) 设t22t +22而 F (0) =f (x)dx ，所以 F (t) =f (x)dx ，即òtf (x)dx =f (x)dx .òòò000t +2( )2( )2f ( x )dx ，则(II) 由(I)知，对任意的t 有ò2f x dx =f x dx ，记 a =òò00- 8 -路上的哥 ，干货最多的公众平台x+2x(u )du - ax(u )du - a(x + 2)ò，G(x + 2) = 2ò0fG(x) = 2f0由于对任意 x ， (G(x +

27、2)¢ = 2 f (x + 2) - a = 2 f (x) - a ， (G(x)¢ = 2 f (x) - a(G(x + 2) - G(x) )¢ = 0 ，从而G(x + 2) - G(x) 是所以即有G(x + 2) - G(x) = G(2) - G(0) = 0所以G ( x ) 是周期为 2 的周期函数.(19) 【详解】一：设 An 为用于第 n 年提取(10 + 9n)的贴现值，则A = (1+ r)- n (10 + 9n)n¥¥10 + 9n¥¥¥19nnåån=1&#

28、229;ån=1åA =A =+= 200+ 910故n(1+ r)n(1+ r)n(1+ r)n(1+ r)nn=1n=1n=1¥设 S (x) = ånxnn=1x Î(-1,1)¥Î(-1,1)因为 S (11所以 S () = S () = 420 ()1+ r1.05A = 200 + 9 ´ 420 = 3980 (故)，即至少应存入 3980.二：设第t 年取款后的余款是 yt ，由题意知 yt 满足方程yt = (1+ 0.05) yt -1 - (10 + 9t) ， 即 yt -1.05yt -

29、1 = -(10 + 9t)(1)(1)对应的齐次方程 yt -1.05yt -1 = 0 的通解为yt = C (1.05)t设(1)的通解为 y* = at + b ，代入(1)a = 180 ， b = 3980t所以(1)的通解为yt = C (1.05) +180t + 3980t由 y0 = A ， yt ³ 0 得故 A 至少为 3980A = C + 3980C ³ 0(20) 【详解】(I)证法一：- 9 -路上的哥 ，干货最多的公众平台2a a2A =OOO=LOO1a2aOOa212a22a13a 20014a 3On -1O(n +1)a3a 4ar

30、 -ar= 2a ××K×23= (n +1)annn-1nnOOOO1(n +1)a0n证法二：记 D =| A | ，下面用数学归纳法证明 D = (n +1)an nn当 n = 1 时， D1 = 2a ，结论成立2a1当 n = 2 时， D = 3a 2 ，结论成立2a22a假设结论对小于 n 的情况成立将 Dn 按第 1 行展开得a2012a a212a1OO OO O1Dn = 2aDn -1 -a22a= 2aD- a2 D= 2anan-1 - a2 (n -1)an-2 = (n + 1)a nn-1n-2| A |= (n +1)an故证法

31、三：记 D =| A | ，将其按第一列展开得D = 2aD- a 2D，n -1n -2nn所以D - aD= aD- a 2D= a (D- aD)n -1n -1n -2n -1n -2n= a2 (D- aD) = L= a n-2 (D - aD ) = a nn-2n-321- 10 -路上的哥 ，干货最多的公众平台D = an + aD= an + a (an -1 + aD) = 2an + +a 2D即n -1n -2n -2n= L = (n - 2)an + an -2D = (n -1)an + an -1D21= (n -1)an + an -1 × 2a

32、= (n +1)an(II) 因为方程组有唯一解，所以由 Ax = B 知¹ 0 ，又= (n +1)an ，故 a ¹ 0 AA法则，将 Dn 的第 1 列换成b ，得行列式为由1102a a22 a12a a2a 212aO12aOOOOOOOnan-1= D=n-1OOa2OO11a22a n´n2a(n- 1)´ (n- 1)= Dn-1n=所以x1D(n +1)an= 0 ，有 a = 0 ，则方程组为A(III) 方程组有无穷多解，由æ 0çççç10ö æ x1 

33、6;æ1 ö÷ ç x÷ç 0÷1÷ ç÷ç ÷2O O÷ çM÷ =çM ÷1÷ ç x÷ç 0÷0ç÷ ç n-1 ÷ç ÷ç0÷ ç x÷ç 0÷èø è n øè ø此时方程组系数矩阵的秩和增

34、广矩阵的秩均为 n -1，所以方程组有无穷多解，其通解为k (10 )T + (00 )T , k00L10L为任意(21)【详解】(I)证法一：假设a1 ,a2 ,a3 线性相关因为a1 ,a2 分别属于不同特征值的特征，故a1 ,a2 线性无关，则a3可由a1 ,a2 线性表出，不妨设a3 = l1a1 + l2a2 ，其中l1 , l2 不(若l1 , l2 同时为 0，则a3 为 0，由 Aa3 =a2 +a3 可知a2 = 0 ，而特征都是非 0，)Q Aa1 = -a1 , Aa2 =a2 Aa3 =a2 +a3 =a2 + l1a1 + l2a2 ，又 Aa3 = A(l1a1

35、+ l2a2 ) = -l1a1 + l2a2 -l1a1 + l2a2 = a2 + l1a1 + l2a2 ，整理得： 2l1a1 +a2 = 0- 11 -路上的哥 ，干货最多的公众平台则a1 ,a2 线性相关，. 所以，a1 ,a2 ,a3 线性无关.证法二：设数 k1 , k2 , k3 ，使得 k1a1 + k2a2 + k3a3 = 0(1)用 A 左乘(1)的两边并由 Aa1 = -a1 , Aa2 =a2 得-k1a1 + (k2 + k3 )a2 + k3a3 = 0(2)2k1a1 - k3a2 = 0(1)(2)得(3)因为a1 ,a2 是 A 的属于不同特征值的特征，

36、所以a1 ,a2 线性无关，从而 k1 = k3 = 0 ，代入(1)得 k2a2 = 0 ，又由于a2 ¹ 0 ，所以k2 = 0 ，故a1 ,a2 ,a3 线性无关.(II) 记 P = (a1,a2 ,a3 ) ，则 P 可逆，AP = A(a1,a2 ,a3 ) = (Aa1, Aa2 , Aa3 ) = (-a1,a2 ,a2 +a3 )æ -10 öæ -10 ö0010= (a,a ,a ) ç 011 ÷ = P ç 01 ÷ç÷ç÷123ç

37、;1 ÷ç1 ÷000èøèøæ -10100 ö所以P-1 AP = ç 01 ÷ .ç÷ç1 ÷0èø(22)【详解】P(X = 0,Y £ 1)1(I)P(Z £ 1 2X = 0) = P(X +Y £ 12112X = 0) =2 = P(Y £ ) =1dy =ò2P(X = 0)20(II)FZ (z) = PZ £ z = PX + Y £ z= PX + Y £ z, X = -1 + PX + Y £ z, X = 0 + PX + Y £ z, X = 1= PY £ z +1, X = -1 + PY £ z, X = 0 + PY £ z -1, X = 1= PY £ z +1PX = -1 + PY £ zPX = 0 + PY £ z -1PX = 1= 1 PY £ z + 1+ PY £ z+ PY