单相正弦电路分析

1、第3章 单相正弦电路分析学习要点理解正弦交流电的幅值与有效值、频率与周期、初相与相位差等特征量掌握正弦交流电的相量表示法掌握电路KCL KVL和元件伏安关系的相量形式，理解阻抗的概念掌握用相量图和相量关系式分析和计算简单正弦交流电路的方法掌握正弦交流电路的有功功率、无功功率、视在功率、功率因数的含义和计算 了解正弦交流电路的瞬时功率和提高功率因数的方法及意义了解正弦交流电路的频率特性、串联谐振和并联谐振的条件与特征 单相正弦电路分析3.1 正弦交流电的根本概念3.2 正弦交流电的相量表示法3.3 KCL、KVL及元件伏安关系的相量形式3.4 简单正弦交流电路的分析3.5 正弦电路的功率3.6

2、交流电路的频率特性3.1 正弦交流电的根本概念随时间按正弦规律变化的电压、电流称为正弦电压和正弦电流。表达式为:u =UmSin( t 入)i = - sin(q)3.1.1 正弦量的三要素以正弦电流为例i "mSin( t )振幅、角频率和初相称为正弦量的的三要素。波形:周期T：正弦量完整变化一周所需要的时间频率f :正弦量在单位时间内变化的周数 周期与频率的关系：f =丄T角频率3 :正弦量单位时间内变化的弧度数 角频率与周期及频率的关系：3.1.2 相位差相位：正弦量表达式中的角度初相:t=0时的相位相位差两个同频率正弦量的相位之差，其值等于它们的初相之差。如u 二Um Sin

3、( t 入)i = lmSi n( st+q)相位差为：=t 入-7* - % 7=0， u与i同相。-、0， u超前i,或i滞后u。-_7'， u 与 i 反相。R,如果在相同 i的有效值。3.1.3 有效值周期电流有效值：让周期电流i和直流电流I分别通过两个阻值相等的电阻的时间T内，两个电阻消耗的能量相等，那么称该直流电流I的值为周期电流根据有效值的定义有：2T .2I RT = i RdtJ0周期电流的有效值为:对于正弦电流，因it二 lm sin t所以正弦电流的有效值为:I = J* Cimsin2®t Midtm：2=0.707| m同理，正弦电压的有效值为:=

4、0.707U3.2 正弦交流电的相量表示法相量法是求解正弦稳态电路的简单方法。3.2.1 复数及其运算复数A可用复平面上的有向线段来表示。该有向线段的长度 a称为复数A的模，模总是取正值。该有向线段与实轴正方向的夹角0称为复数A的辐角。v - arctg 亜 ai根据以上关系式及欧拉公式aebej12=aejdF= ?片 _二2bb复数A的实部al及虚部a2与模a及辐角a1 = asin va2 = acosv可将复数A表示成代数型、三角函数型、指数型和极坐标型4种形式。j臼A = dja2 = a costja sin - ae a._复数的四那么运算：设两复数为：A = ja2 = a*

5、m B = bi jb2 = b七(1) 相等。假设 a1=bi, a2=b2，那么 A=B(2) 加减运算：A _ B =佝 _ bjj(a2 _ b2)(3) 乘除运算:A B =aej：i bej72 = abej：i ® =ab 二23.2.2 正弦量的相量表示法 将复数Im /弓乘上因子1/3 t，其模不变，辐角随时间均匀增加。即在复平面上以角速度3逆时针旋转，其在虚轴上的投影等于Imsin( 31 +弓)，正好是用正弦函数表示的正弦电流i。可见复数Im / 0 i与正弦电流i=lmSin( 3 t +千)是相互对应的关系，可用复数 -/弓来表示正弦电流i，记为丨m mm

6、i并称其为相量。正弦量相量i 二 I m sin t 巧Im = Im R二.21 sin t 羽I = I 十u =U mSin t 如u Um m u=.2U sin t 入U 二 U %有效值相量和振幅相量的关系:Um2U3.3 KCL、KVL及元件伏安关系的相量形式3.3.1 相量运算规那么规那么1：假设i为正弦量，代表它的相量为i ，那么ki也是正弦量，代表它的相量为k I&规那么2:假设i1与i2为同频率的正弦量，代表它们的相量分别为|；与|2&，那么I； T2&也& &Il 与丨2 U i 1 = i2是同频率的正弦量，其相量为h&

7、 12&。规那么3:假设i 1与i2为同频率的正弦量，代表它们的相量分别为的充分必要条件是代表它们的相量相等，即：I1 & = I 2&规那么4:假设i为角频率为3的正弦量，代表它的相量为I &，那么 后 也是同频率的正弦量,其相量为 jwI 。例：n =6Q2 sinwt +30 Ji2 =8、2sint -60 求 i =i 1+i 2b =6 30 =5.196j312 =8. _60 =4 - j6.928= (5.196j3)(4 - j6.928)= 9.296 - j3.928 =10/ -231 Ai相量图:= 10、2sin(，t -23.1

8、)A1O301 23.3.2 元件伏安关系的相量形式在以下的推导过程中，设元件两端的电压和流过元件的电流均 采用关联参考方向。并设电压、电流的瞬时表达式分别为：u = . 2U sin，t 九i - . 21 sin ，t 诂那么代表它们的相量分别为：U =UZ :u1=1. H1、电阻元件电阻元件伏安关系：u=Ri根据相量运算的规那么 1和规那么3,有：RI将 u 二u._ %、二2、电感元件电感元件伏安关系： 根据相量运算的规那么I = I. 代入，得:U.九二RI.诂U = RIe =e.u i1、规那么3和规那么a电阻元件4，有:+uU = LI 二XLI匕-490U = j 丄I 二

9、 jXLI将U -U九、11K代入，得：U 4 = j LL 刁二 LI (“90 )感抗:XL=w L,与频率成正比。3、电容元件电感元件伏安关系： 根据相量运算的规那么1规那么3和规那么4，有:I 二 CU 或1 -j一 jXcli C°I1u -(a)电容元件容抗：XC=1/3 C,与频率成反比。3.3.3 KCLKVL的相量形式KCL:KVL:'U =0例：图示电路,电流表 A1 A2的读数均为10A,解：由 KCL有I = 11 T 2作相量图，由相量图得：iij i2-：；102 TO2= 10、2-14.1A求电流表A的读数。例：图示 RC串联电路，R=100Q

10、 , C=100y F, us=100 sin 100 相量图。解：Us =100 0 VuR和 uC,并画出Xc二丄qC1100 100 10二 100'-1+uR+ucUs =Ur UcUr 二 RlUs 二Ur Uc 二 RI - jXCI =(R- jXC)IUc 二-jXcIUsR-jXc100 0100 - j100100 01002/ -45=05 2 45 AUR 二 Rl =100 0.5迈 45 =50迈 45Uc =-jXCl =-j100 0.52. 45 =50、2/-45i 二 sin(100t 45 )AuR =100sin(100t 45 )Vuc =1

11、00sin(100t -45 )V3.4 简单正弦电路的分析将正弦交流电路中的电压、 电流用相量表示，元件参数用阻抗来代替。 运用基尔霍夫定律的 相量形式和元件欧姆定律的相量形式来求解正弦交流电路的方法称为相量法。运用相量法分 析正弦交流电路时，直流电路中的结论、定理和分析方法同样适用于正弦交流电路。3.4.1 阻抗1.阻抗的定义定义无源二端网络端口电压相量和端口电流相量的比值为该无源二端网络的阻抗，并用符号Z表示，即：UmZI无源+,U亠山 二端一网络aIm(a) 无源二端网络(b)等效电路U =ZI称为欧姆定律的相量形式。电阻、电感、电容的阻抗:ZrZlJXlZc相量模型将所有元件以相量形

12、式表示:IjXL+ U2 阻抗的性质Z = R jX Z I. z|Z 卜 r2 x2R HZ |cos zXz = arctgX =|Z |sin zZ 二uu 兀 U -*)c( r ( _ cII * Iuum|Z|=z "c “IImRLC 串联电路相量模型将所有兀件以相量形式表示：®zA0电压超前电流，感性z：0电压滞后电流，容性z=0电压电流同相，阻性C >- jX c的阻抗L ， jXL的阻抗R R的阻抗u,i > U&,l&相量UR+ucC(a) RLC串联电路由欧姆定律：Ur 二 RI jXLlUc jXJ+UL-|+ UrUc

13、 +HFjXc_jXC(b)相量模型+由KVLU 二Ur Ul UC 二R j(XL - Xc)l 二 ZIZ =ZR Zl Zc = R j(XL - Xc) = R jXUuR (Ul -Uc)2 =1 . R2(Xl -Xc)2z - * arctg 春-n arctg Xl rXci(1 )当 .L 时，X > 0oc1(2)当 L < 时，X < 0C(3 )当 L = 1 时，X = 0oC；：z 0，电路呈感性。；：z ：0 ,电路呈容性。z =0,电路呈电阻性。(a) X > 0(b) X < 0u例：RLC 串联电路。 R=5k Q , L=6m

14、H C=0.001 卩 F, U=5 sin106tV。(1)求电流 i和各元件上的电压， 画出相量图；(2)当角频率变为2 x 105rad/s时，电路的性质有无改变。解: (1) X L =106 6 10； =6kQ1 1X c6Z6 = 1 k °灼C 107.001 心0Z 二R j(XL -Xc) =5 j(6-1) =5& 45 k Q：z 0，电路呈感性。由 u =52 sin106tV得电压向量:5、2 05、2 45=1- 45 mAURm=Rlm=5 1-45丄5/-45 VULm 二 jXLlm 二 j6 1-45 =6 45 VUcUcm =-jXc

15、lm =-j1 1 一45、1-135 V6i =sin(10 t 45 ) m A ur =5 sin(10 t 45 ) V ul =6sin(10 t 45 ) V ur =sin(106t -135 ) V当角频率变为2X 105rad/s时，电路阻抗为:Z 二R jg -Xc)51-5 j(2 105 6 1056)2"05 x0.001"0=5 - j8.8 =10.12/ -60.4 k 1z <0，电路呈容性。RLC并联电路+uRLC并联电路(a)DicC-jXcI CJXl-jXc1I =Uj(RXlX1c)假设 U =U 入，便可求出各个电流相量。

16、 例：RLC并联电路中。 R=5Q , L=5卩H, 求总电流C=0.4F,电压有效值 U=10V, 3 =106rad/s ,i，并说明电路的性质。解：XL= ：L=106 5 10 -511Xc1 1兀市 0.4 102"= 10. 0 VU 100 2AR5U10 0jXLj5U10 0-jXc-j2.5RL二 j4A-j2AI = Ir Il Ic=2_j2 j4=2 j2=22. 45 Ai = 4sin(106t 45 )A因为电流的相位超前电压，所以电路呈容性。3.4.4 阻抗的串联与并联2Z2(b)两个阻抗并联z二乙乙U,Ju乙乙U2Z2 U乙乙乙乙乙乙乙Z212U=

17、2L=10.0aZ 10. 302Z2例：图示电路，Z, =(6.16 - j9) Q , Z2 =(2.5 -j 4) Q , U =100乙30 V，求总电流 I及各阻抗的电压U1和U2，并画出相量图。解： Z =Z1 Z2 =6.16j9 2.5 - j4=8.66 j5 =10. 30U1 =Z1l =(6.16j9)10/0=109/55.610/0' =109/55.6 VU2 PI =(2.5 j4)10/0=4.72.-5810 0,472 - 58 V例：图示电路，Z1二(1 - j1) Q , Z2 =(3j4) Q , U =10 0 V，求总电流 I及各阻抗的电

18、流l1和l2，并画出相量图。Z _ Z1Z2_(1 j1)(3 j4) _7j1Z1 Z21 - j1 3 j4 4j3二5、2 8.1 = 2.28.8536.9I=10 0=5.2 28.8 AZ .一2/ -28.8IiZ2ZiZ25 2 28.81 - j1 3 j45 53.15、2. 288 =5、2. 45 A5 36.9I2二 Z1 IZ1 Z22 -45=1 " j1 5、2. 28.81 - j1 3 j4U5. 36.952. 288=2. -53.1 A3.5正弦电路的功率3.5.1 二端网络的功率1. 瞬时功率设:-<- -<u i那么：i =

19、,21 sinwtu =、2U sin(wtJp = ui =、21 sin t 、2U sin( t )二 Ul cos ' - cos(2 t - )1 1P JpdtJui cos : - cos(2 t - )dt =UI cosP =UI coscos称功率因数。对无源二端网络，：'=笃。对电阻元件R,即=0 , P =UI。对电感元件 L,=90 , P =0。对电容元件C,=-90 , P =0。可见电阻总是消耗能量的，而电感和电容是不消耗能量的，其平均功率都为0。平均功率就是反映电路实际消耗的功率。 无源二端网络各电阻所消耗的平均功率之和，就是该电路所消耗的平均

20、功率。3无功功率Q 二 Ul sin :单位为Var表示二端网络与外电路进行能量交换的幅度。对电阻元件R,0, Q=0。对电感元件 L，=90，Q二UI。对电容元件C,=_90，Q =_UI。4.视在功率S =UI单位为伏安表示用电设备的容量。平均功率P、无功功率 Q和视在功率S的关系:S2 =P2 Q2例：图示电路。 F=2Q , L=1H, C=0.25F , U=10 sin2 tV。求电路的有功功率 功率Q视在功率S和功率因数入解：U =10/0P、无功1 1XC21'.1OC 2 汉 0.25Z _(RjXL)(-jXc) _(2 j2)(-j2)一 R jXL -jXc 一

21、 2j2-j2= 2-j2=2、2/ -45 11i2C10. 02.2 -45=2.5.2 45 A二 cos z 二 cos(-45 ) = 0.707P 二Ul cos=10 2.5、2 0.707 =25WQ =UI sin z-25VarS =UI=25 . 2VA3.5.2 功率因数的提高1、提高功率因数的意义：(1)提高发、配电设备的利用率；减少输电线路的电压降和功率损失。2、提高功率因数的方法： 在感性负载上并联适当的电容。C* P国u例：一台功率为11kW的感应电动机，接在 220 V、50 Hz的电路中，电动机需要的电流为100 A。1 求电动机的功率因数；2假设要将功率因

22、数提高到 0.9，应在电动机两端并联一个多大的电容器？3 计算并联电容器后的电流值；4 假设再将功率因数提高到 1,应再在电动机两端并联一个多大的电容器？解:co1 =arccos0.5=60(2)2 =arccos0.9 = 25.8P2 二fU(tan i tan 2)11 10322 3.14 50220(tan 60 -tan 25.8 ) ： 900(3)PU cos ；：2311 1032200.9=55.6A(4)3 =arccos1 =02fU(tan -tan 3)1仆1032 3.1450 2202(tan 25.8 - tan0 ) ： 350FPU cos 311 103220 1二 503.6交流电路的频率特性交流电路中，感抗和容抗都与频率有关，当电源电压鼓励的频率改变时，即使电压的幅 值不变，电路中各局部电流和电压响应的大小和相位也会随着改变。响应与频率的关系 称为电路的频率特性或频率响应。3.6