同济大学(高等数学)-第十章-重积分

1、第十章重积分一元函数积分学中，我们曾经用和式的极限来定义一元函数f x在区间a,b上的定积分，并已经建立了定积分理论，本章将把这一方法推广到多元函数的情形，便得到重积分的概念.本章主要讲述多重积分的概念、性质、计算方法以与应用第1节二重积分的概念与性质1.1二重积分的概念F面我们通过计算曲顶柱体的体积和平面薄片的质量，引出二重积分的定义1.1.1. 曲顶柱体的体积曲顶柱体 是指这样的立体，它的底是xOy平面上的一个有界闭区域D，其侧面是以D的边界为准线的母线平行于z轴的柱面，其顶部是在区域D上的连续函数z f x,y，且分析这个问题，我们看到它与求曲边梯形的面积问题是类似的.可以用与定积分类似

2、的方法即分割、近似代替、求和、取极限的方法来解决图10 2.图 102t(1) 分割闭区域D为n个小闭区域2、同时也用表示第i个小闭区域的面积，用 d表示区域 厶申的直径一个闭区域的直径是指闭区域上任意两点间距离的最大值，相应地此曲顶柱体被分为 n个小曲顶柱体(2) 在每个小闭区域上任取一点 n ，$，n ， E，n对第i个小曲顶柱体的体积，用高为f ( E，n)而底为申的平顶柱体的体积来近似代替(3) 这n个平顶柱体的体积之和nf ( i, i) ii 1就是曲顶柱体体积的近似值用入表示n个小闭区域的直径的最大值，即入maxd当入0 (可理解为1 i n收缩为一点)时，上述和式的极限，就是曲

3、顶柱体的体积：nV li叫f( i, i) i.i 1平面薄片的质量设薄片在 xOy平面占有平面闭区域D，它在点(x, y)处的面密度是p p(x , y).设(x, y) 0且在D上连续,先分割闭区域 D为n个小闭区域1，2,， n在每个小闭区域上任取一点近似地，以点(E, n)处的面密度 p E n)代替小闭区域 X上各点处的面密度， 那么得到第i块小薄片的质量的近似值为p( E, n) 厂于是整个薄片质量的近似值是n(i, i) ii 1用入maxi 表示n个小闭区域 q的直径的最大值，当 D无限细分，即当 入0时，1 i n上述和式的极限就是薄片的质量M，即nM lim0p E, n)

4、入 0i 1以上两个具体问题的实际意义虽然不同，但所求量都归结为同一形式的和的极限抽象出来就得到下述二重积分的定义 定义1设D是xOy平面上的有界闭区域，二元函数z f(x,y)在D上有界将D分为n个小区域同时用 X表示该小区域的面积，记X的直径为d “，并令 入maxd Ap.1 i n 在厶(f上任取一点(E，n), (i 1,2,，n)，作乘积f E, n (T并作和式nSnf ( E，n)i 1假设入0时，Sn的极限存在(它不依赖于D的分法与点(£, n)的取法)，那么称这个极限 值为函数z f (x , y)在D上的二重积分，记作 f(x,y)d ，即Dnf(x,y)dli

5、叫f( i, i)A i ,(10-1-1)Di 1其中D叫做积分区域，f (x, y)叫做被积函数，d (叫做面积元素，f(x,y)d (叫做被积表达 n式，x与y叫做积分变量，f ( E, n)Aq叫做积分和.i 1在直角坐标系中，我们常用平行于x轴和y轴的直线(y =常数和x =常数)把区域D分割成小矩形，它的边长是x和Ay，从而A( Ax Ay，因此在直角坐标系中的面积元素可写成d dx dy，二重积分也可记作nf(x, y)dxdy lim f( i, i) i .D0 i 1有了二重积分的定义，前面的体积和质量都可以用二重积分来表示曲顶柱体的体积V是函数z f (x, y)在区域D

6、上的一重积分Vf(x, y)d ;D薄片的质量M是面密度Pp(x, y)在区域D上的重积分M(x, y)d .D因为总可以把被积函数 z f (x , y)看作空间的一曲面， 所以当f(x,y)为正时，二重积分的 几何意义就是曲顶柱体的体积；当 f(x,y)为负时，柱体就在 xOy平面下方，二重积分就是曲 顶柱体体积的负值如果f(x,y)在某局部区域上是正的，而在其余的局部区域上是负的，那么f(x,y)在D上的二重积分就等于这些局部区域上柱体体积的代数和如果f(x,y)在区域D上的二重积分存在(即和式的极限(10-1-1)存在)，那么称f (x , y)在 D上可积什么样的函数是可积的呢？与一

7、元函数定积分的情形一样，我们只表达有关结论，而不作证明.如果f (x , y)是闭区域D上连续，或分块连续的函数，那么f (x , y)在D上可积.我们总假定z f (x, y)在闭区域D上连续，所以f (x, y)在D上的二重积分都是存在的， 以后就不再一一加以说明.二重积分的性质设二元函数f(x,y), g(x,y)在闭区域D上连续，于是这些函数的二重积分存在.利用二重积分的定义，可以证明它的假设干根本性质.下面列举这些性质.性质1常数因子可提到积分号外面设k是常数，那么kf(x,y)d k f(x,y)d DD性质2函数的代数和的积分等于各函数的积分的代数和，即f (x，y) g(x,

8、y) d f (x,y)d g(x, y)d DDD性质3设闭区域D被有限条曲线分为有限个局部闭区域，那么D上的二重积分等于各局部闭区域上的二重积分的和例如D分为区域D1和D2(见图10-4)，那么f (x, y)d f (x, y)d f (x, y)d (10-1-2)性质3表示二重积分对积分区域具有可加性.性质4 设在闭区域D上f(x,y) 1 , 功D的面积，那么1d dDD从几何意义上来看这是很明显的.因为高为1的平顶柱体的体积在数值上就等于柱体的底面积性质5 设在闭区域D上有f (x, y) g (x , y)，那么f(x, y)d g(x, y)d .由于DDf(x,y) f(x

9、,y) |f(x,y)又有f(x, y)d| f (x, y) d .DD这就是说，函数二重积分的绝对值必小于或等于该函数绝对值的二重积分性质6 设M、m分别为f (x, y)在闭区域D上的最大值和最小值，厅为D的面积，那么有上述不等式是二重积分估值的不等式m f(x,y)dD.因为 m f (x, y)M .M ，所以由性质5有即性质7使得md f (x, y)d Md ,DDDm mdf (x,y)dMd MDDD设函数f(x,y)在闭区域D上连续，o是 D的面积，那么在D上至少存在一点f(x, y)d f(,)D这一性质称为二重积分的中值定理证显然 0.因f(X , y)在有界闭区域 D

10、上连续，根据有界闭区域上连续函数取到最大值、最小值定理， 在D上必存在一点 Xi, yi使f Xi, yi等于最大值M，又存在一点(X2,y2)使f(X2,y2)等于最小 值m，那么对于D上所有点(x,y)，有m f x2 , y2f x, y f X1, y1M.由性质1和性质5,可得f(x,y)dD再由性质4得f(x, y)dD根据闭区域上连续函数的介值定理知，111 f(x,y)dDd上必存在一点(e n,使得f(x,y)dDf(x,y)df(,)，f(,f (x,y)为空间一连续曲面时，对以f ( e n为高的平顶柱体，它的体积证毕二重积分中值定理的几何意义可表达如下: 当S z以d某

11、点(e n的函数值积.S为顶的曲顶柱体，必定存在一个以 D为底, f(e n c就等于这个曲顶柱体的体1.根据二重积分性质,习题10 1比较 ln(x y)d 与 ln(xDD1,0)、(1,1为顶点的三角形；y)d的大小，其中(1) d表示以(0,1、(2) D表示矩形区域2.根据二重积分的几何意义，确定以下积分的值:2x, y 13 x 5,0 y 2 .(1) a . x2y2 d ,D.a2DX2y2d , x, y |x2|X3.设 f x ,y为连续函数,rimo nn X,y | X4.根据二重积分性质，估计以下积分的值:f(x,y)d2xoa2.yor2.112 2sin xs

12、in yd , D x,y |0 xDn0y n ;y2 4.2 xD24y 9 d , D x,y |x25.设D0,10,1 ,证明函数(1) IDJ4 + xyd , D x, y |0 x 2,0 y 2;1, f x,y0,在D上不可积x, y为D内有理点 即x, y均为有理数，x, y为D内非有理点第2节二重积分的计算只有少数二重积分被积函数和积分区域特别简单可用定义计算外，一般情况下要用定义 计算二重积分相当困难下面我们从二重积分的几何意义出发，来介绍计算二重积分的方法， 该方法将二重积分的计算问题化为两次定积分的计算问题.2.1 直角坐标系下的计算在几何上，当被积函数f x,y

13、 0时，二重积分fx,yd的值等于以D为底，以曲面Dz f x , y为顶的曲顶柱体的体积.下面我们用“切片法来求曲顶柱体的体积V .设积分区域D由两条平行直线x a,x b与两条连续曲线 y 1 x ,y 2 x 见图10 5 所围成，其中a b, 1 x 2 x，那么D可表示为用平行于yOz坐标面的平面x x0 a x0 b去截曲顶柱体，得一截面，它是一个以区间1 Xo2 x0为底，以zfxo，y为曲边的曲边梯形见图106，所以这截面的面积为A Xo©2x 0心 fXo，ydy.图 106由此，我们可以看到这个截面面积是X。的函数.一般地，过区间a, b上任一点且平行于yOz坐标

14、面的平面，与曲顶柱体相交所得截面的面积为©2(x )wf(x，y)dy，bV a A(x)dxb$2(x)a,x)f(x,y)dy dx ,即得b2 (x)f(x,y)dDa 2)f(x,y)dydx，或记作b2(x)f(x,y)ddxf (x, y)dy .a1(x)其中y是积分变量，x在积分时保持不变.因此在区间a, b上，A x是x的函数，应用 计算平行截面面积为的立体体积的方法，得曲顶柱体的体积为D上式右端是一个先对 y ,后对x积分的二次积分或累次积分这里应当注意的是： 做第一次积分 时，因为是在求x处的截面积A x，所以x是a, b之间任何一个固定的值， y是积分变量；做

15、 第二次积分时，是沿着 x轴累加这些薄片的体积 A x dx，所以x是积分变量.在上面的讨论中，开场假定了f(x,y) 0,而事实上，没有这个条件，上面的公式仍然正确.这里把此结论表达如下：假设zf (x , y)在闭区域D上连续，D : a x b, 1 x y 2 x，那么b2(x)f (x, y)dxdy dx f (x, y)dy.(10-2-1)a1(X)D类似地，假设z f (x , y)在闭区域D上连续，积分区域D由两条平行直线 y a, y b与两 条连续曲线x 1 y ,x 2 y (见图107)所围成，其中c d, 1 x 2 x，那么D可表示 为D x,y|cyd，1y

16、x 2 y .那么有图 107以后我们称图10-5所示的积分区域为 X型区域，X型区域D的特点是：穿过 D部且平行 于y轴的直线与 D的边界的交点不多于两个称图 10 7所示的积分区域为 Y型区域，Y型区 域D的特点是：穿过 D部且平行于x轴的直线与D的边界的交点不多于两个.从上述计算公式可以看出将二重积分化为两次定积分，关键是确定积分限，而确定积分限又依赖于区域 D的几何形状因此，首先必须正确地画出D的图形，将D表示为X型区域或Y型区域如果 D不能直接表示成 X型区域或Y型区域，那么应将 D划分成假设干个无公共点的 小区域，并使每个小区域能表示成X型区域或Y型区域，再利用二重积分对区域具有可

17、加性相加，区域D上的二重积分就是这些小区域上的二重积分之和(图10 8) 例1计算二重积分xyd ，其中D为直线y x与抛物线y x2所包围的闭区域.D解画出区域D的图形，D (图10 9)可表示为：求出 y x与y2x两条曲线的交点，它们是 0,0与1,1 .区域因此由公式(10-2-1)得此题也可以化为先对(10-2-2)得积分后与上面结果一样.例2计算二重积分xydD后对y的积分,xydD1x0xdx x2 ydy1350(x3 x5)dx124这时区域D可表为:1 的0ydy y XdX.dx2X'y 1, y xy .由公式y .1Dx2y2d,其中D是由直线y1所围成的闭区

18、域.解画出积分区域D，易知 得1，x y 1 (图 10-10)，假设利用公式(10-2-1)，i y1/=x/0图 10-10y 1x2y2dD1( xy1 x2 y2dy)dx1dx1 x31 dx1(x30 1)dx假设利用公式(10-2-2)，就有h 1yy1 x2y2d 1y 1 1 x2 y2dx dy,D也可得同样的结果2例3计算二重积分 务d ,其中D是直线y 2, y x和双曲线xy 1所围之闭区域 y解 求得三线的三个交点分别是!，2 ,(1,1)与(2,2 ).如果先对y积分，那么当1 x 1时，y的下限是双曲线y 丄，而当1 x 2时，y的下限是直线y x，因此需要用直

19、线x 1把 x区域D分为D1和D2两局部(图1011).D1：1 x 1， 1 y 2 ；2xD2 :1 x 2， x y 2.O图 1011于是2 2 2务d弓dd yD1 yD2 y1丄dx22dx1dy2dx1-2xT13dx如果先对x积分，那么D：1 y2x . d d y2x"221dyyx21 -2y y2dxx2x .x2dx2dx2 y1 3由此可见，对于这种区域 D，如果先对 比先对x积分繁琐多了 .所以，把重积分化为累次积分时, 选择适当的次序进展积分.例4设f (x , y)连续，求证3y5 dy证 上式左端可表为其中 D : a xb， a y于是改变积分次序

20、，可得由此可得所要证明的等式例5计算二重积分811922764ydy1y2y_6y积分，就需要把区域需要根据区域12y4764D分成几个区域来计算这D和被积函数的特点，bxadx a f(x,y)dyaabxa dx a f(x,y)dyaabadyby f (x,y)dx Df (x,y)d 6(xa yf (x, y)dDb bady y f (x, y)dxsjnd厂其中D是直线yxx与抛物线b,2x所围成的区域解 把区域D表示为x型区域,即 D= x,y |01,x21dx0sin x y xx sinxdxx2dx1cosx x cosx sin x01 sin 10.1585注：如

21、杲化为y型区域即先对x积分，那么有1°dyy sin xdx .由于沁的原函数不能由初等函数表示，往下计算就困难了，这也说明计算二重积分时，x除了要注意积分区域 D的特点区分是x型区域，还是y型区域外，还应注意被积函数的特 点，并适中选择积分次序2.2二重积分的换元法与定积分一样，二重积分也可用换元法求其值，但比定积分复杂得多.我们知道，对定积分b、a f x dx作变量替换x«t)时，要把f x变成f © t , dx变成$(t)dt ,积分限a,b也要变成对应t的值.同样，对二重积分f x,y d作变量替换Dx x u,v ,y y u,v ,时，既要把f x

22、,y变成f 我们知道，有些曲线方程在极坐标系下比较简单，因此，有些二重积分f x,y dD用极坐标代换后，计算起来比较方便，这里假设z f x,y在区域D上连续.在直角坐标系中，我们是以平行于x轴和y轴的两族直线分割区域D为一系列小矩形，从而得到面积元素d o dxdy .在极坐标系中，与此类似，我们用“r常数"的一族同心圆，以与“0常数"的一族过极点的射线，将区域 D分成n个小区域o i,j 1,2，,n，如图10 13所示. u，v，y u,v ,还要把xOy面上的积分区域 D变成uOv面上的区 域Duv，并把D中的面积元素d b变成Duv中的面积元素d o* .其中最

23、常用的是极坐标系的情 形.极坐标系的情形标系的原点，极轴与x轴重合，那么点P的极坐标Pr, 0与该点的直角坐标 P x,y有如下互换公式：x r cos 0 yr sin 00 r,00 2 n;2 2rx y ,0 arcta n y;x,y.下面我们讨论利用极坐标变换，得出在极坐标系下二重积分的计算方法.把极点放在直角坐小区域面积1 2X 2 riri00.120ri ri 02 ri记/ 22pri0 ,i,j 1,2，,n ,那么有Xri ri 0op ,图 1013故有d(X rdrd 0.那么f x ,y d x f r cos 0r sin 0 rdrd 0.DD这就是直角坐标二

24、重积分变换到极坐标二重积分的公式在作极坐标变换时，只要将被积函数中的x,y分别换成r cos 0,r sin 0，并把直角坐标的面积元素 d x dxdy换成极坐标的面积元素 rdrd 0即可但必须指出的是：区域 D必须用极坐标系表示在极坐标系下的二重积分，同样也可以化为二次积分计算下面分三种情况讨论：(1) 极点O在区域D外部，如图1014所示设区域D在两条射线0图 1014a 0 B之间，两射线和区域边界的交点分别为A,B ,将区域D的边界分为两局部，其方程分别为r D 0 ,r a 0且均为a日上的连续函数此时D r, 0 |r1 0rr2 0 , a 0 3 于是B2 ef r cos

25、 er sin e rdrd e d e f r cos Qrsin e rdrai eD(2) 极点O在区域D部，如图1015所示.假设区域D的边界曲线方程为r r e,这时 积分区域D为r, e 10 r r e ,0 e 2 n ,且r e在0,2 n上连续.ern2 f r cos e,r sin e r drd e0D极点O在区域f r cos e,r sin e rdr .de0eBr且r e在0,2 n上连续，那么有0 rdrd ef r cos e,r sinD在计算二重积分时，是否采用极坐标变换，应根据积分区域f r cos e r sin e rdr .D与被积函数的形式来

26、决定般来说，当积分区域为圆域或局部圆域,与被积函数可表示为x2 y2或f等形式时,常采用极坐标变换，简化二重积分的计算例6计算二重积分匚 2I 彳 一dxdy,d 1 x y其中 D x,y |x2 y2 a2 0 a 1 .解在极坐标系中积分区域D为D r, e |0 r a,0 e 2 n那么有2 na ir20 d 0 jr2rdr例7计算二重积分于是有n arcsint.1 t2a22a 1 t dt n0 2 dt 1 tn arcsin a21 a21 .D解米用极坐标系.xy2d ，其中D是单位圆在第I象限的局部.2 .xy dn2d01r coso2 . 2 r sinrdrn

27、2 cos0Osin 29d0 "(dr0例8计算二重积分x2dD解区域D : 0 O 2n, 1,其中D是二圆x2 y21和x2 y24之间的环形闭区域于是x2d2nd0图 1018r cosrdr2 n1 cos202r3dr1154.直角坐标系的情形我们先来考虑面积元素的变化情况设函数组x x(u,v), y y(u,v)为单值函数，在 Duv上具有一阶连续偏导数，且其雅可比 行列式J空0,(u,v)那么由反函数存在定理，一定存在着D上的单值连续反函数u u(x, y), v v(x, y).这时Duv与D之间建立了对应关系， uOv面上平行于坐标轴的直线在映射之下成为0,xO

28、y面上的曲线u(x,y) u°, v(x, y) v°.我们用uOv面上平行于坐标轴的直线u u, v Vj (i 1,2,- , n;j1,2，m)将区域Duv分割成假设干个小矩形，那么映射将UOv面上的直线网变成xOy面上的曲线网图10 19.积记为图 1019在Duv中任取一个典型的小区域ADuv (面积记为；)与其在D中对应的小区域Ac)，如图1020所示.AD (面P4(XoAD的四条边界限的交点为比3, yo 勺3).当Au, Av很小时,图 1020R(X0,y0), P2(x°X1,y°y) P3(x°X2,y°Axi

29、, Ayi i 1,2,3也很小，AD的面积可用y2)和P1P2 与P1P4构成的平行四边形面积近似即P1P2 P1P4 .P1P2Ax1 iAy1 j同理从而得x uoAu,vox uUo,Vo AuP1P4X vPlP2因此，二重积分作变量替换x Uo,Vo ii y u uo,voUo ,Vo Av ix Au ux Avvy uo Au,voy(uo,vo jy v Uo,Vo Av j . Au 雹Av (x,y) (u,v)的绝对值(x,y)(u,v)x(u, v), y y(u, v)后，面积元素d t与d T的关系为(x,y)d *,(u,v)A (T .dxdy紬dudv.由

30、此得如下结论：定理1 假设f(x,y)在xOy平面上的闭区域 D上连续，变换T : x x(u,v),y y(u,v)， 将uOv平面上的闭区域 Duv变成xOy平面上的D ,且满足：(1) x(u, v),y(u, v)在Duv上具有一阶连续偏导数，在Duv上雅可比式J0 ；(u,v)(3) 变换T : Duv D是一对一的，那么有f (x,y)dxdy f x(u, v), y(u,v) J dudv.DDuvy x例9计算二重积分Dedxdy，其中D是由x轴，y轴和直线x y 2所围成的闭区域解令u y x, v y x，那么在此变换下,xv u y v u2 ，y 2图 1021雅可比

31、式为J (x,y)(u,v)1 12 21 12 212，那么得y xe dxdy1 dudvDD2I1 2 -0 dv2 0v 上1 21vevdu0(e e )vdv=1e e .例10设D为xOy平面由以下四条抛物线所围成的区域：x2 ay ,x2 by,y2 px ,2 y qx，其中Ov av b, 0< pv q，求D的面积.解 由D的构造特点，引入两族抛物线y2 ux,x2 vy，那么由u从p变到q , v从a变到b时，这两族抛物线交织成区域D 图10 22.1图 1022雅可比行列式为(x,y)1(u,v)(u,v)(x,y)2y2x2xy2yx2x2y那么所求面积S d

32、xdyD1dudv习题10 21.画出积分区域，把f (x,y)d 化为二次积分：D(1) D x,y | x y 1,y x 1,y0;2.改变二次积分的积分次序：22y(1) 0dy y2 f (x,y)dx ；2D x,y | y x 2, x y .eInx 1dx 0 f (x,y)dy ;22x o dx x f x, y dy ；3.设 f (x,y)连续，且 f (x, y)xyf (x, y)dD1J x2(4) -1dx 尸 f(x,y)dy.，其中D是由直线y 0,x 1与曲线y x2所围成的区域，求f (x, y).4.计算以下二重积分:(1)2 2x y d ， DD

33、sind厂其中D是直线xx,y|x1, y 1 ；(T,x与抛物线y x所围成的区域;xd ， DI2x,y |xx2e-y dxdy，D是顶点分别为O 0,0 , A 1,1 , B 0,1的三角形闭区域.D5. 求由坐标平面与6. 计算由四个平面体的体积7. 在极坐标系下计算二重积分:x 2, y 3, xx0, y 0,xy1,z 4所围的角柱体的体积.y 1所围的柱体被平面 z 0与2x 3y z 6截得的立(1) sin . x y dxdy, D x ,y | n x2 y2 4 n2;D(2) (x y)dxdy, D x,y | x2y2 x y ;D(3) xy dxdy，其

34、中 D 为圆域 x2 y2 a2 ；D(4) ln(1 x2y2)dxdy，其中D是由圆周x2 y2 1与坐标轴所围成的在第一象限的闭区D域.8. 将以下积分化为极坐标形式：2a*2ax x222ax f亏2(1)0 dx 0 (x2 y2)dy ；(2)。dx。x y dy .9. 求球体x2 y2 z2 R2被圆柱面x2 y2 2Rx所割下局部的体积.10. 作适当坐标变换，计算以下二重积分：2(1)2 dxdy,由xy 1, x 2, y x所围成的平面闭区域；d yy ex ydxdy, D x,y |x y 1,x0,y0;2 2x2y2 dxdy,a b其中D是椭圆芝aD2占1所围

35、成的平面闭区域;b,0 x y . x y sin x y dxdy, D x, y |0 x yD11. 设闭区域D由直线x y 1, x 0, y 0所围成，求证:cosD3 dxdyx y1sin1.12. 求由以下曲线所围成的闭区域的面积： 曲线xy 4,xy 8,xy35, xy315所围成的第一象限的平面闭区域；曲线x y a, x y b,y x,y x所围的闭区域0 a b,0.第3节三重积分3.1 三重积分的概念三重积分是二重积分的推广，它在物理和力学中同样有着重要的应用在引入二重积分概念时，我们曾考虑过平面薄片的质量，类似地，现在我们考虑求解空间物体的质量问题设一物体占有空

36、间区域Q,在Q中每一点x,y,z处的体密度为 px,y,z,其中Px,y,z是Q上的正值连续函数试求该物体的质量先将空间区域 Q任意分割成n个小区域Av1, Av2, "', Avn同时也用 Avi表示第i个小区域的体积 .在每个小区域Avi上任取一点E, n, Z，由于px, y, z是连续函数，当区域 Avi充分小时，密度可以近似看成不变的，且等于在点E, n, Z处的密度，因此每一小块AVi的质量近似等于p E,耳，z Avi ,物体的质量就近似等于i 1令小区域的个数n无限增加，而且每个小区域Av无限地收缩为一点，即小区域的最大直径入max! Z、0时，取极限即得该物

37、体的质量1 i nnMlim0p &, n, Z) Av、.入 0i 1由二重积分的定义可类似给出三重积分的定义：定义1设Q是空间的有界闭区域，f(x,y,z)是Q上的有界函数，任意将Q分成n个小区 域Av1, Av2,，Avn ,同时用Av、表示该小区域的体积，记Av、的直径为d Av、,并令 入 max! Av、，在 Av、上任取一点(E, n, Z) , (i 1,2，n)，作乘积 f ( E, n, Z) Av、，把这些nn乘积加起来得和式f(g,n, Z) Av、，假设极限lim f(g, n, Z) Av、存在(它不依赖于区域 Q的i 1入 0 i 1分法与点(i, i,

38、i)的取法)，那么称这个极限值为函数f(x,y,z)在空间区域 Q上的三重积分，记作f x, y, z dv ,n即f X, y,z dv li 叫 f( i, i, i) v ,0 i 1其中f(x,y,z)叫做被积函数，Q叫做积分区域，dv叫做体积元素.在直角坐标系中，假设对区域Q用平行于三个坐标面的平面来分割，于是把区域分成一些小长方体和二重积分完全类似，此时三重积分可用符号f x, y,z dxdydz来表示，即在直角坐标系中体积元素 dv可记为dx dydz.有了三重积分的定义，物体的质量就可用密度函数px , y,z)在区域Q上的三重积分表示，即Mx, y,z dv ,如果在区域Q

39、上 f (x,y,z) 1，并且Q的体积记作V，那么由三重积分定义可知1dv dv V .这就是说，三重积分dv在数值上等于区域 Q的体积.三重积分的存在性和根本性质，与二重积分相类似，此处不再重述3.2 三重积分的计算为简单起见，在直角坐标系下，我们采用微元分析法来给出计算三重积分的公式三重积分f(x,y,z)dv表示占空间区域 Q的物体的质量.设Q是柱形区域，其上、下分别由连续曲面z K(x, y), z Z2(x, y)所围成，它们在xOy平面上的投影是有界闭区域D ； Q的侧面由柱面所围成，其母线平行于z轴，准线是D的边界限.这时，区域Q可表示为Q x,y,z |z!(x,y) z Z

40、2(x,y), (x,y) D先在区域D点(x,y)处取一面积微元du dxdy，对应地有 Q中的一个小条，再用与 xOy面平 行的平面去截此小条，得到小薄片(图10 23).于是以du为底，以dz为高的小薄片的质量为 f x, y, zdx dydz.把这些小薄片沿z轴方向积分，得小条的质量为z2x ,yz1x,yfx，y，zdz dxdy.然后，再在区域 D上积分，就得到物体的质量z2x,yfx,y,zdz dxdy .Dz1x，y也就是说，得到了三重积分的计算公式z2x,yz? x, yf x,y,z dv= z fx,y,zdz dxdy dxdy ,、D z1x，yDz1"

41、yf(x, y,z)dz.10-3-1例1 计算三重积分xdxdydz，其中Q是三个坐标面与平面 x1所围成的区域图 1024.D是由坐标轴与直线解积分区域0 x 1 ,Q在xOy平面的投影区域 x ,所以1围成的区域:xdxdydz dxdyD1dxyxdz1dx0 01 xdyyxdz0 0xx(1y)dy垃dx2计算三重积分 zdv ,其中1x(10124.Q: x 0, y0, z 0,x2z2 R2见图10 25.B(10-3-2)z,zdxdy.z求层积分时，z可以看作常数：并且Dz :x2 y2 R2 z2是1个圆，其面积为4R2z2，所以R 、1f171图 1025解 区域Q在

42、xOy平面上的投影区域D: x 0, y 0, x2 y2 R2 .对于D中任意一点(x , y)，相应地竖坐标从 z 0变到7匚2 订R2 x2 y因此由公式(10-3-1)得?1 'rlS-R2 X2丄R222 2zdvdxdy0zdzx ydxdyDD2n2d 00R 2(R20 'P)p p124Rn R2 P上R4.2224016三重积分化为累次积分时，除上面所说的方法外，还可以用先求二重积分再求定积分的方法计算假设积分区域 Q如图10-26所示，它在z轴的投影区间为A,B，对于区间的任意一 点z，过z作平行于xOy面的平面，该平面与区域Q相交为一平面区域，记作D(z

43、).这时三重积分可以化为先对区域 D z求二重积分，再对z在A, B上求定积分，得我们可利用公式区域Q在z轴上的投影区间为 0, R,对于该区间中任意一点z，相应地有一平面区域z : x0, y 0与x2 y2 R2 z2与之对应.由公式(10-3-2)，得Rzdv dz0D例3计算三重积分zdv =z 1 z -22.n 4R z dz R041622 2z2dv，其中红J 1.2 2ab cR.区域Q在z轴上的投影区间为解我们利用公式(10-3-2)将三重积分化为累次积分G对于区间任意一点 z，相应地有一平面区域D z2x2 z2a (1-?)c2y2 z2b (1右c与之相应，该区域是一

44、椭圆2(图1027)，其面积为 nab 1刍.所以cz2dv=z2dzdxdyD(z)C nabz2 1cnabc3 nbc31515图 10 273.3 三重积分的换元法对于三重积分f (x, y,z)dv作变量替换:xy z 它给出了 Orst空间到Oxyz空间的一个映射，x(r,s,t)y(r,s,t)z(r ,s,t)假设x r,s,t ,y r,s,t ,z r ,s,t有连续的一阶偏导数，且 (x,y,z) 0,那么建立了 Orst空间中区域 Q*和Oxyz空间中相应区域Q的对应,(r,s,t)与二重积分换元法类似，我们有dv -(x,y,z)drdsdt.(r ,s,t)于是，有

45、换元公式f (x, y,z)dv f x(r,s,t), y(r,s,t),z(r,s,t)(x, y：)drdsdt.-(r,s,t)作为变量替换的实例，我们给出应用最为广泛的两种变换：柱面坐标变换与球面坐标变换柱面坐标变换三重积分在柱面坐标系中的计算法如下：变换x r cos Q y r sin 0,称为柱面坐标变换，空间点 M x,y,z与(r, 0 z)建立了一一对应关系，把(r, 0z)称为点M x,y,z的柱面坐标.不难看出，柱面坐标实际是极坐标的推广.这里r, 0为点M在xOy面上柱面坐标系的三组坐标面为(1) r常数，以z为轴的圆柱面;0常数，过z轴的半平面；(3) z 常数，

46、平行于xOy面的平面cos 0 sin 00体积元素之间的关系式为:r sin 0 0r cos 00 r ,那么在柱面坐标变换下，0 1dxdydz r drd (tiz .于是，柱面坐标变换下三重积分换元公式为:(10-3-3)f (x, y, z)dxdydz= f (rcos ,r sin ,z)rdrd dz.至于变换为柱面坐标后的三重积分计算，那么可化为三次积分来进展通常把积分区域 Q向xOy面投影得投影区域 D，以确定r, 0的取值围，z的围确定同直角坐标系情形.例4计算三重积分z x2 y2dxdydz,其中Q是由锥面z 、.：Jx2 y2与平面z 1所围成的区域.解在柱面坐标

47、系下，积分区域Q表示为r z 1,0 r 1,0 0 2 n (图1029).iz图 1029所以有例5计算三重积分z x2 y2 dxdydzx2 y2 dxdydz，其中2 n112d dr z r dz 00r1 1 2 22n -r (1 r )dr0 2、 'Q是由曲线y2 2z,2n15x 0绕z轴旋转一周而z 8所围之区域0绕z旋转，所得旋转面方程为 x2 y22z.成的曲面与两平面z 2,解曲线y2=2z, x设由旋转曲面与平面z 2所围成的区域为Q ,该区域在xOy平面上的投影为 D1 , D1x,y |x2+ y2 4 .由旋转曲面与z 8所围成的区域为 站，岛在x

48、Oy平面上的投影图 1030y2 dxdydz83r ID1drddzD2drd；r3dz0：6r3dr2n 43d 02r32 r 2dr 336 n.为D2 , D2 x ,y | x +y 16.那么有 岛 QUQ,如图10 30所示.球面坐标变换三重积分在球面坐标系中的计算法如下: 变换r sinr sin称为 球面坐标变换，空间点 M x,y,zM x,y,z的球面坐标图10-31，其中0 r vr cos与(r, ©©cos 0jsin 0©0建立了一一对应关系，把r, © 0称为点©n,002 n.R1-%桃刑)/yz 7、kp(

49、x,y,z)(r, 0 0)sin 0cos 0 r cos $cos 0sin 0sin 0 r cos 0sin 0rsin $sin2 ,r sin 0cos 0 r sin $ ,cos $r sin $0图 10-31球面坐标系的三组坐标面为：(1) r常数，以原点为中心的球面；(2) $常数，以原点为顶点，z轴为轴，半顶角为0的圆锥面;(3) B常数，过z轴的半平面.由于球面坐标变换的雅可比行列式为那么在球面坐标变换下，体积元素之间的关系式为：dxdydz r 2sin ()drd 0 $ .于是，球面坐标变换下三重积分的换元公式为2f (x, y, z)dxdydz=f (r sin cos ,r sin sin ,rcos ) r sin drd d . (10-3-4)例6 计算三重积分(x2 y2 z2)dxdydz ,其中Q表示圆锥面x2 y2 z2与球面x2 y2 z2 2Rz所围的较大局部立体.解 在球面坐标变换下， 球面方程变形为r 2Rcos $ ,锥面为$ n(图10 32).这时积分4区域Q表示为00 2 n 0$ n,0 r 2Rcos $,4j厂1MJr?+1j2-|-rl=2/?z(十、AC理Lzr>7图 1032所以2 2 2 2 2(x y z )dxdydz = r r