外接球问题典型例题

1、在三柱ABCA4G中，已知AA，平面ABC,AA=2,BC=2j3,/BAC=工，此2三棱柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（）A.32 二325 二D 31 二10【知识点】线面垂直的性质；球内接多面体；球体积的公式.（如图），【答案解析】A解析：解：直三棱ABC-ABC勺各顶点都在同一球面上，VABC中，？BAC乱.下底面节ABC的外心P为BC的中点，2同理，可得上底面VA1B1C1的外心Q为B1G的中点，再取PQ中点O ,连接PQ,则PQ与侧棱平行，所以PQ，平面ABC可得：点0到A,B,C,A,B1,C1的距离相等，0点是三棱柱ABC-ABC7卜接球的球心1L1.RTVPOB中，B

2、P=-BC=V3,PQ=-AA1=1,22OB=JBP2+P02=2,即外接球半径R=2,因此，三棱柱ABCAB0卜接球的球的体积为：V=4pR3=Wp23=32p.|333故选：A.【思路点拨】根据题意并结合空间线面垂直的性质，可得三棱柱ABC-AB1G外接球的球心是上下底面斜边中点的连线段PQ的中点.在直角RTVPOB中，利用勾股定理算出OB的长，即得外接球半径R的大小，再用球的体积公式即可算出所求外接球的体积.四面体ABCD中，已知AB=CD=点,AC=BD=a，AD=BC=场，贝U四面体ABCD的外接球的表面积（）A.25nB.45nC.50nD.100n【知识点】几何体的外接球的表面

3、积的求法；割补法的应用.【答案解析】C解析：解：由 题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为 全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以廨,434，437为三边的三角形作为底 面，且以分别x, y, z长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、 高分别为 x, y, z 的长方体，并且 x2+y2=29, x2+z2=34 , y2+z2=37 ,则有（2R）252=x2+y2+z2=50 （ R为球的半径），得R2=_5 ,所以球的表面积为S=4兀R2=50兀.故2选：C.【思路点拨】将 四面体补成长方体，通过求解长方体的对角线就是球的直径，然 后求解外接球的表面积.已知正四面

4、体的棱长为 J2,则它的外接球的表面积的值为 .【知识点】球内接多面体.【答案解析】3p解析：解：正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球， 正方体的对角线长就是球的直径，正方体的棱长为：1；对角线长为：J3,.棱长为J2的正四面体的外接球半径为1/3 2所以外接球的表面积为4p Ir3 = 3p| M2【思路点拨】正 四面体扩展为正方体，,故答案为3p .它们的外接球是同一个球，正方体的对角线长就是球的直径，求出直径即可求出外接球半径，可求外接球的表面积.如图是某几何体的三视图，则 该几何体的外接球的表面积 为（）A. 200xB. 1507rC 100kD. 507r恻视图已知正三棱锥

5、 P-ABC,点P, A, B, C都在半径为 3的求面上，若 PA, PB, PC两两互相垂直，则球心到截面 ABC的距离为【点评】本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、运算求解能力以及转化思想，该题灵活性较强，难度较大。该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手，注意到条件中的垂直关系，把三棱正三棱键P-ABC可看作由正方体PADC-BEFG截得，如图所示,PF为三棱锥P-ABC的外接球的直径，且尸F 平面这正方体校长为则1TQ11、一匕动“_尸-x-x2x2x2/?=?由一应展一房纪，得332，所以3，因沙求心到平面ABC的距忑离为3.平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=

6、,即=亚,他CD,将其沿对角线BD折成四面体A-BCD,使平面MZX工平面BCD,若四面体A-2CP的顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）（A）2（B）37r（C）3（D）27r1 .A根据题意，如图，可知用A/BD中，就二助7,8D二也，在R屉CD中,ED=a,CD=1,BC=忑，又因为平面43DJ,平面8CR,所以球心就是EC的中点,半径为 2 ,所以球的体积为：32正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为8127二A.-B.16nC.9nD.【答案】A【解析】设球的半径为R,则二.棱锥的高为4,底面边长为2,.R2=（4-R）2+（近）2,rW,.

7、球的表面积为4兀？（与）2=UL.故选：A444一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是一个等腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积为【知识点】几何体的三视图的应用、球的表面积16【答案解析】上二解析：解：由三视图知：几何体是三棱锥，且几何体的侧面SAC与底面垂直，高3SO为百，如图：其中OA=OB=OC=1,SO,平面ABC,其外接球的球心在SO上，设球心为M,OM=x,则+x2=j3x，得x=遗,:外接球的半径R=2/3.几何体的外接球的表面积33S=4X4=16二.33再求若=30.【思路点拨】由三视图解决几何问题，关键是准确的判断出原几何体的基本形状特征；几何体

8、的外接球的表面积与体积时，能直接确定圆心位置的可通过圆心位置求球的半径,圆心位置难以确定可考虑用补形法转化为正方体或长方体外接球问题；棱锥F-ABC中，平面PAC1平面=PC=AR=23tAC=%/卅4c若三棱铢P-ABC的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为.18二如图，三棱锥P-ABC中，/ABC=90它的三视图如下，求该棱锥的（I）全面积；（n）内切球体积；（出）外接球表面积.正视图侧视图俯视图【知识点】根据 三视图的定义正确读取三棱锥 P-ABC中的位置关系和数量关系, 内切球半径、外切球半径的求法 .【答案解析】(1) 48+12J2； (2) 36(4一向37T ; (3)34

9、3289 二解析：解：（1）由三视图可知此三棱锥是：底面是腰长为6的等腰直角三角形几何体ABC,顶点P在底面上射影是底面直角三角形斜边中点E,且高为4的三棱锥。 侧面PAB、PAC的高都是5,底面斜边长6J2,所以全面积为：111_-662-65-624=4812、,2:222(2)设内切球球心0,半径r,则由Vp_ABC-VO_ABC+Vo_PAB+VO_PAC+VO_PBC得11664-114812,2r,解得r=6323272884-x2二所以内切球体积为343（3）设外接球球心M,半径R,M在高PE所在直线上，因为4372,2-2c17989-：所以（R4）+（3J2）=R2,解得R=

10、17,所以外接球表面积为44。【思路点拨】（1）三视图的定义正确读取三棱锥P-ABC中的位置关系和数量关系，从而求得三棱锥的全面积.（2）内切球球心与三棱锥各顶点连线，把原三棱锥分割成四个小三棱锥，利用等体积法求内切球半径。（3）分析外切球球心位置，利用已知的数量，求外切圆半径。三棱锥A-BCD的外接球为球，球0的直径是AD,且ABC,BCD都是边长为1的等边三角形，则三棱锥A-BCD的体积是（）.212【知识点】棱锥的体积【答案解析】A解析：因为截面为等腰直角三角形，其面积为B0C与直径AD垂直而皿0=4所以三角形BOC1,2、21一父父=，而AD=v2所以二棱锥ABCD2224的体积为11

11、5223412【思路点拨】求棱锥的体积若直接利用所给的底面求体积不方便时，可通过换底面法或补形法或分割法求体积，本题采取分割法求体积即把一个棱锥分割成两个棱锥的体积的和.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为侧视图【知识点】几何体的三视图的应用、球的表面积【答案解析】16二解析：解：由三视图知：几何体是三棱锥，且几何体的侧面SAC与底面垂直，高so为耶，如图:其中OA=OB=OC=1,SO,平面ABC,其外接球的球心在SO上，设球心为M,OM=x,则+X2=石一X，得x=心,:外接球的半径R=Z，3,.几何体的外接球的表面

12、积33S=44.33【思路点拨】由三视图解决几何问题，关键是准确的判断出原几何体的基本形状特征；再求几何体的外接球的表面积与体积时，能直接确定圆心位置的可通过圆心位置求球的半径，若圆心位置难以确定可考虑用补形法转化为正方体或长方体外接球问题已知A,B是球O的球面上两点，/AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为A.36兀B.64兀C.144兀D.256兀【答案】C【解析】如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积最11c1a大，设球O的半径为R,此时VO“BC=VCOB=XR2MR=-R3=36,故R=6,则OABCC

13、-AOB326球O的表面积为._2S=4nR=144元,故选C.SC为已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球。的求面上，AABC是边长为1的正三角形,球O的直径，且SC=2;则此棱锥的体积为()2322(A)(B)(C)(D)6632【答案】A设球心为Of过ABC三点的小园的圆心为。1r则001，平面ABC,延户C。1交球于点D,川士口_1_=面氏8。.X0广323，00.1人达）2二包，、332J&，高SD=200i二,3二-ABC是边长为工的正三角形，?.SABC=r4v1JI2以丘3436I-：故答案为上.6直三棱柱44G的各顶点都在同一球面上，若否避g3g_斑,则此球的表面积等于。解:在AA8C中您二4c二2,BAC二120，可得BC=2M，由正弦定理，可得如犯外接圆半径r=2,设此圆圆心为。，球