线性代数合肥工业大学版本

1、§4分块矩阵定义：用一些横线和竖线将矩阵分成若干个小块，这种操作称为对矩阵进行分块；每一个小块称为矩阵的子块；矩阵分块后，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.æ a11öa12a13a14æ AöAA = ç a÷= ç1112aaaaaa÷ç24 ÷212223è AA22 øç a÷21è3134 ø3233= (a11 , a12 ), A12= (a13 , a14 ),A11= æ a21ö=

2、 æ a23a24 öa22A, Aç a÷ç a÷2122aaè 3132 øè3334 ø分块矩阵的加法æöæö÷A = ç÷ , B = çç÷ç÷ç÷ç÷èøèøæö÷A + B = çç÷ç÷è

3、48;A22 + B22A21 + B21A12 + B12A11 + B11B11B12B21B22A11A12A21A22若矩阵A、B是同型矩阵，且采用相同的分块法，即æ A11öæ B11ö÷A1rMAsrB1rMKO LKO LA = çM÷ , B = çMç÷ç÷ç÷ç÷ABBsr øès1øès1æ A11 + B11A1r + B1rMö÷KO LA

4、+ B = ç则有Mç÷ç÷A+ Bs1+ BsrAsrèøs1分块矩阵的数乘æö÷A = çç÷ç÷èøæö÷l A = çç÷ç÷èøl A22l A21l A12l A11A11A12A21A22æ A11ö÷A1rMKO LA = çM若l 是数，且ç÷

5、1;÷AAsr øès1æ l A11l A1rMl Asrö÷KO Ll A = ç则有Ml Aç÷ç÷èøs1分块矩阵的乘法一般地，设 A为m´l 矩阵，B为l ´n矩阵 ，把 A、B 分块如下：l1l2 A1222MAlt A1t2tMAn1n2 B1222Mt 2nr B1r2rMLL LLL Læ A11ö÷æ B11ö÷m1l1ç Aç BmMmAAlBB

6、2 ç21ç÷ , B =2 ç21÷ ,A =÷÷øM ç÷MMç Aç÷ltè Bt 1BBLLm1s ès1æ Ctr øs 2st+ m2 +L+ ms= m= l= nö÷CCCCLL11121rl + l+L+ lçt= å A12tç CCB÷C = AB = ç21222rijikkjn + n +L+ n÷ ,k =112rMMM

7、(i = 1,L, s; j = 1,L, r )ç C÷CLCès1sr øs 2分块矩阵的转置æçöATKO Læös1 ÷A = ç÷= ççATM÷MOLMç÷÷ATç÷èøAAsr øèsrs1分块矩阵不仅形式上进行转置， 而且每一个子块也进行转置)Aæ aö÷÷÷æ aöaaT

8、112131 ÷1ççaTaaa32 ÷ = ç= ç1222AT2T÷aaT34 øè4øö÷例:÷ç-1 ÷ç 0003÷, B =T, 求ABç 20 ÷ç 10 ÷020020ç 00 ÷ç 30 ÷-10èøèøE ö , B = æ OB1 öA = æ A

9、1ç BO ÷ç 2EO ÷èøèø2E ö æ Oöæ BTöæ ABTA BTABT = ç÷ = ç12O1O12÷ ç÷BT2BTè 2EO øè1øè2ø-2ö= æ 00 ö , A BT= æ 15 ö æ 13 ö = æ 11BTç

10、 03÷ç 2-1÷ç 2-1÷ç 07 ÷112èøèø èøèø= æ 26 ö2BTç 4-2÷2èø分块对角矩阵阶矩阵，若定义：设 A是 n1. A的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，2. 其块都为零矩阵，3. 对角线上的子块都是方阵，A那么称为分块对角矩阵æ 5ç 00 ö01000085æ AO ö÷O0 ÷

11、;例如：1çA = ç÷ = ç OAO ÷ç 0ç 03÷2÷2ç÷è OOA3 øèø分块对角矩阵的性质A =分块矩阵A的行列式A1A2L Asæ Anö÷÷÷1çAn= çAn2ç分块矩阵的幂Oç÷nAès ø分块对角矩阵的性质分块矩阵的逆矩阵O ö-1Aö-1æ A-1ö 

12、0; OæB-1 öæ AOO= ç=,÷ç÷ç OB ÷çO ÷-1-1BOBAOèøèøèøèøæ A -1ö÷÷÷1ç-1A= ç-12AçOç÷-1Aèsø-1 300æ 5ç0 ö0006例:设÷ ，求 A1 A = ç 00 &

13、#247;3÷0 ÷ç 0ç 0èø-1 300æ 5ç 00 ö00060 ÷æ AO ö÷A = ç÷ = ç1ç 0ç 03÷0 ÷è OA2 øèøæ 1ö10 ö = ç 515 ÷-1ö, A -1= æ 5= 1 æ 3ç÷Aç 03 ÷15 ç 05 ÷1115èøèøç 0÷èøæ1 ö÷ç 0&