全职老师讲义函数单调性

1、函数单调性函数的单调性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮生深刻理解函数单调性的定义，掌握判定，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.知识点一：函数单调性(1)相关概念增函数：一般地，设函数 f (x) 的定义域为 I ，如果对于属于定义域 I 内某个区间上任意两个自变量的值 x1, x2 ，当 x1 x2 ，都有 f (x1 ) 0 f (x)是增函数.212x -1减函数：一般地，设函数 f (x) 的定义域为 I ，如果对于属于定义域 I 内某个区间上任意两个自变量的值 x1, x2 ，当 x1 f (x2 ) ，那么就说 f (x) 在这个区间上是减函数，如下图（2）.f (

2、x1 )-用数学符号表示：) f (x )- f (x ) 0 f (x)是减函数.x -2121单调性：如果函数 f (x) 在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数 y = f (x) 在这一区间具有（严格的）单调性.单调区间：函数 f (x) 在某个区间上具有单调性，则这一区间就叫做函数 y = f (x) 的单调区间.1（2）对于函数单调性的定义的理解，要注意以下三点：单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性；单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的 x1, x2 具有任意性，不能用特殊值代替.f (x)由于定义都是充要性命题，因此由 是增

3、（减）函数， 且f (x1) f (x2 ) x1 2 ) ，这说明单调性使得自变量间的不等和函数值之间的不等以“正逆互推”.知识点二：函数单调性的判定（常用的）（1） 定义法（）；取值：x1, x2 D ，且 x1 0 增函数， a 0 减区间 ； k 0 ，减区间 - ,- ，增区间 -,+ ；bb y = ax + bx + c(a 0)的单调性：22a 2a2a 0 时，kf (x)在 A 上是增（减）函数；k 0 且在区间 A 上是增（减）函数，则f (x)在 A 上是减（增）函数，若在 A 上是增（减）函数；轴（与 x 轴垂直）对称图形的函数在它们的对称区间上的单调性相的函数在它们

4、的对称区间上单调性相同，例如求下列函数的单调区间： y =心对称图形x ， y =x - 2 ，1x - 2y = 2 +.（3） 利用函数的图像；函数 y|x22x3|的单调增区间是】y|x22x3|(x1)24|，【作出该函数的图像(如图)由图像可知，其增区间为1,1和3，)（4） 依据一些常用结论及复合函数单调性的判定两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数；奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；互为反函数的两个函数有相同的单调性；如果 f (x) 在区间 D 上是增（减）函数，那么 f (x)

5、在区间 D 的区间上也是增（减）函数；如果 y = f (u)和u = g(x) 单调性相同， 那么 y = f g(x) 是增函数； 如果y = f (u)和u = g(x) 单调性相反，那么 y = f g(x) 是减函数.3对于复合函数的单调性，列出下表以助记忆.上述规律可概括为“同性则增，异性则减”例：函数 y =x2 + 2x - 3 的单调减区间是 （）A. (-,-3B.-1,+)C. (-,-1D.1,+)知识点三：函数单调性的应用（1） 利用函数的单调性可以比较函数值的大小；例：已知 f (x) = x2 + bx + c 对称轴为 x = 2 ，比较 f (1) 、f (2

6、) 、f (4) 的大小。（2） 利用函数的单调性求参数的取值范围；例：已知 f (x) = x2 - 2(1- a)x + 2 在(-, 4 上是减函数，求实数a 的取值范围。变式训练：函数 yf(x)在 R 上为增函数，且 f(2m)f(m9)，则实数 m 的取值范围是()A(，3)C(3，)B(0，)D(，3)(3，)（3） 求某些函数的值域或最值；直接法：利用常见函数的值域来求一次函数 y=ax+b(a 0)的定义域为 R，值域为 R；反比例函数 y = k (k 0) 的定义域为x|x 0，值域为y|y 0；x二次函数 f (x) = ax 2 + bx + c(a 0) 的定义域为

7、 R，(4ac - b 2 ) ；当 a0 时，值域为y | y 4a4y = f (u)u = g(x)y = f g(x)(4ac - b 2 ) 。当 a 0) ，利用平均值不等式公式来求值域；x单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的来求值域。例 1.求下列函数的值域：（1） y = 3x2 - x + 2 ；（2） y =-x2 - 6x - 5 ；（3） y = 3x +1 ；x - 25） y = x + 1- x2 ；（6） y =| x -1| + | x + 4 |；（4） y = x + 4 1- x ；（2x2 - x

8、 + 22x2 - x +11- sin x1（7） y =8） y =(x ) ；（9） y =；（。x2 + x +12x -12 - cos x2x2 - x + 2 = 3(x - 1)2 + 23 23 ，） y解：（1）（配61212 y = 3x2 - x + 2 的值域为 23 , +) 。12改题：求函数 y = 3x2 - x + 2 ， x 1, 3 的值域。（利用函数的单调性）函数 y = 3x2 - x + 2 在 x 1, 3 上单调增，当 x = 1 时，原函数有最小值为 4 ；当 x = 3 时，原函数有最大值为26 。函数 y = 3x2 - x + 2 ，

9、x 1, 3 的值域为4, 26。（2）求复合函数的值域：设 m = -x2 - 6x - 5 （ m 0 ），则原函数可化为 y =m 。又 m = -+ 3)2 + 4 4 ， 0 m 4 ，故 m 0, 2， y =-x2 - 6x - 5 的值域为0, 2 。（3）（法一）反函数法：y = 3x +1 的反函数为 y = 2x + 1 ，其定义域为x R | x 3，x - 2x - 35原函数 y = 3x +1 的值域为y R | y 3 。x - 2（法二）分离变量法： y = 3x +1 = 3(x - 2) + 7 = 3 +，7x - 2x - 2277 0 ， 3 + 3

10、 ，x - 2x - 2函数 y = 3x +1 的值域为y R | y 3 。x - 2（4）换元法（代数换元法）：设t = 1- x 0 ，则 x = 1- t 2 ，原函数可化为 y = 1- t2 + 4t = -(t - 2)2 + 5(t 0) ， y 5 ，原函数值域为(-, 5 。注：总结 y = ax + b + cx + d 型值域，变形： y = ax2 + b + cx2 + d 或 y = ax2 + b + cx + d（5）三角换元法：1- x2 0 -1 x 1，设 x = cosa,a 0,p ，p则 y = cosa + sina =2 sin(a +)4

11、a 0,p ，a +, 5p ， sin(a + p ) -2 ,1，pp44442p 2 sin(a +) -1, 2，4原函数的值域为-1, 2。-2x - 3(x -4)(-4 x 0 恒成立，函数的定义域为 R 。2x2 - x + 2由 y =得： ( y - 2)x + ( y +1)x + y - 2 = 02x2 + x +1当 y - 2 = 0 即 y = 2 时，即3x + 0 = 0 ， x = 0 R当 y - 2 0 即 y 2 时， x R 时方程( y - 2)x2 + ( y +1)x + y - 2 = 0 恒有实根，6 = ( y +1)2 - 4( y

12、- 2)2 0 ，1 y 5 且 y 2 ，原函数的值域为1, 5。12x +1x(2x -1) +111+ 1 ，2（8） y- 1211 x ， x - 0 ，221212 x - 1 +2(x - 1) 2= 2 ，x - 1(x - 1)2221当且仅当 x - 1 = 2 时，即 x = 1+2 时等号成立。x - 12221 y 2 +，21原函数的值域为 2 +, +) 。2（9）（法一）方程法：原函数可化为： sin x - y cos x = 1- 2 y ，1y 1+ y2 sin(x - j) = 1- 2 y （其中cosj =, sin j =），1+ y21+ y2

13、1- 2 y sin(x -j) = -1,1 ，1+ y2|1- 2 y | 1+ y2 ， 3y2 - 4 y 0 ，4 0 y ，34原函数的值域为0, 。3点评：上面讨论了用初等求函数值域的一些常见类型与，在现行的中学数学要求中，求值域要求不高，要求较高的是求函数的最大与最小值，在后面的复习中要作详尽的讨论。7案列探究例 1已知函数 f(x)在(1，1)上有定义，f( 1 )=1,当且仅当 0x1 时 f(x)0,2),试证明：x + y且对任意 x、y(1,1)都有 f(x)+f(y)=f(1 + xy(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(1，1)上单调递减.命题意图：本题主要考

14、查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力.属题目.知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.错解分析：本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得.技巧与：对于(1)，获得 f(0)的值进而取 x=y 是解题关键；对于(2)，判x2 - x1定的范围是焦点.1 - x1 x2x + y证明：(1)由 f(x)+f(y)=f(),令 x=y=0,得 f(0)=0,令y=x,得f(x)+f(1 + xyx - xx)=f()=f(0)=0.f(x)=f(x).f(x)为奇函数.1 - x 2(2)先证 f(x)在(0，1)上单调递减.x2 -

15、 x1令 0x1x21,则 f(x2)f(x1)=f(x2)f(x1)=f()1 - x1 x2x2 - x10x1x20,1x1x20，0,1 - x2 x1又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)0x2x11x2x1,x2 - x1x2 - x101,由题意知 f()0，1 - x2 x11 - x1 x2即 f(x2)f(x1).f(x)在(0，1)上为减函数，又 f(x)为奇函数且 f(0)=0.f(x)在(1，1)上为减函数.8例 2设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，并在区间(,0)内单调递增，f(2a2+a+1)f(3a22a+1).求 a 的取值范围，并在该范

16、围内求函数 y=( 1 ) a2 -3a+1 的单2调递减区间.命题意图：本题主要考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定.本题属于级题目.知识依托：逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域.错解分析：逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱.技巧与：本题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，通过本题会解组合题类，掌握审题的一般技巧与.解：设 0x1x2,则x2x10，f(x)在区间(,0)内单调递增，f(x2)f(x1),f(x)为偶函数，f(x2)=f(x2),f(x1)=f(x1),f(x2) 0,3a2 - 2a +1 = 3(

17、a - 1)2 + 2 0.4833由 f(2a2+a+1)3a22a+1.，得 0a3.又 a23a+1=(a 3 )2 5 .24函数 y=( 1 ) a2 -3a+1 的单调减区间是 ，3+22结合 0a3,得函数 y=( 3 ) a2 -3a+1 的单调递减区间为 ，3).322锦囊妙计本难点所涉及的及解决主要有：(1)函数的奇偶性与单调性若为具体函数，严格按照定义，注意变换中的等价性.若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性.同时，注意与证明、讨论三者的区别，所列的“磁场”及“训练”认真体会，用好数与形的统一.复合函数的奇偶性、单调性.的解决关键在于：既

18、把握复合过程，又掌9握基本函数.(2)加强逆向思维、统一.正反结合解决基本应用题目，展开研究奇偶性、单调性的应用.函数是高中数学的重要内容，函数的单调性又是函数的重要性质。在求解某些数学时，若能根据题目的结构特征，构造出一个适当的单调函数，往往能化难为易，化繁为简，获得巧解和妙解。下面举例说明。一. 巧求代数式的值例 1. 已知，求的值。解：已知条件可化为设，则而在 R 上是增函数则有，即所以点评：本题关键是将条件转化为，再构造相应函数，利用单调性求解。拓展练习：已知方程的根为，方程的根为，求+的值。（：）二. 妙解方程例 2. 解方程解：易见 x=2 是方程的一个解原方程可化为而（因为）1在

19、 R 上是减函数，同样在 R 上是减函数因此在 R 上是减函数由此知：当时，当时，这说明与的数都不是方程的解，从而原方程仅有唯一解。拓展训练：解方程。（答：）点评：解该类型题有两大步骤：首先通过观察找出其特解，然后等价转化为的形式，最后根据的单调性得出原方程的解的结论。三. 妙求函数的值域例 3. 求函数的值域。解：令，则因为，所以而在内递增所以又而1所以为所求原函数的值域。四. 巧解不等式例 4. 解不等式解：设原不等式可化为则，即设显然是 R 上的减函数，且，那么不等式即因此有，点评：解不等式其实质是研究相应函数的零点，正负值。用函数观点来处理此类，不仅可优化解题过程，且能让我们迅速获得解

20、题途径。拓展训练：解不等式。（答：）五. 巧证不等式例 5. 设，求证。证明：当 m，n 中至少有一个为 0 时，则有成立。，结论设因为在上单调递增所以与必同号，或同为 0（当且仅当时）1从而因此，原不等式成立（当且仅当或，或时取“=”号）。点评：原不等式等价于，这可由幂函数在上递增而得到。本题可拓展：令，则。六. 巧解恒成立例 6. 已知函数的取值范围。对区间上的一切 x 值恒有意义，求 a解：依题意，对上任意 x 的值恒成立整理为对上任意 x 的值恒成立。设，只需而在上是增函数则所以七. 巧建不等例 7. 给定抛物线，F 是 C 的焦点，过点 F 的直线 与 C 相交于 A，B两点，设。若

21、，求 l 在 y 轴上的截距的变化范围。1解：设由，得联立（1）（2）（3）（4），所以或所以的方程为或当时， 在 y 轴的截距为令，则所以在4，9上是减函数故所以直线 在 y 轴上截距的取值范围是：八. 巧解数列例 8. 已知数列是等差数列，。（1）求数列的通项公式；1（2）设数列的通项，Sn 是数列的前 n项和，试比较与的大小，并证明你的结论。解：（1）由，有得因此（2）设（n 为正整数）所以即在上是递增的从而即1所以当时，当时，1)两个“同性”的函数的和或差的奇偶性不变；2)两个“同性”的函数的积或商（式不能为零）是偶函数；3)两个“异性”的函数的和或差是非奇非偶函数；4)两个“异性”的

22、函数的积或商（式不等于零）是奇函数。复合函数的单调性：遵循同增，异减的原则；在复合函数 F(x)=f(g(x)中，设 y=f(u)，u=g(x)，则：当 f(x)，且 g(x)；或当 f(x)单减，且 g(x)单减时，y；当 f(x)，且 g(x)单减时；或 f(x)单减，且 g(x)，y 单减；复合函数的奇偶性：f，g 有一个是偶函数，F 就是偶函数，只有 f，g都是奇函数的时候，F 才是奇函数。课后作业难点训练一、选择题1.()下列函数中的奇函数是()x + 1lg(1 - x 2 )A.f(x)=(x1)B.f(x)=| x 2 - 2 | -21 - xC.f(x)= 2+ )0(+-

23、)0(1+ sin x - cosxD.f(x)=1+ cosx + sin x21 + x2 + x -12.()函数 f(x)=的图象()1 + x2 + x + 1A.关于 x 轴对称C.关于原点对称B.关于 y 轴对称D.关于直线 x=1 对称二、填空题13.()函数 f(x)在 R 上为增函数，则 y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是 .4.()若函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 满足 f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0x11).x + 1(1) 证明：函数 f(x)在(1，+)上为增函数.(2) 用反证法证明方程 f(x)=0 没有负数根.x36.()求证函数

24、f(x)=在区间(1，+)上是减函数.( x 2 - 1)27.()设函数 f(x)的定义域关于原点对称且满足：f ( x1 ) f ( x2 ) + 1 ；f ( x2 ) - f ( x1 )(i)f(x1x2)=(ii)正常数 a 使 f(a)=1.求证：(1) f(x)是奇函数.(2) f(x)是周期函数，且有一个周期是 4a.8.( ) 已知函数 f(x) 的定义域为f(m+n)=f(m)+f(n)1,且R ， 且对m 、n R, 恒有f( 1 )=0,当 x 时，1f(x)0.22(1) 求证：f(x)是单调递增函数；(2) 试举出具有这种性质的一个函数，并加以.1参考难点训练：f

25、(x)= 2 -22 +-)0()0()(= -一、1.=f(x)，故2+-)0( )0()(f(x)为奇函数.：C2.：f(x)=f(x),f(x)是奇函数，图象关于原点对称.：C二、3.：令 t=|x+1|,则 t 在(,1 上递减，又 y=f(x)在 R 上单调递增，y=f(|x+1|)在(,1 上递减.：(,1 f(0)=f(x1)=f(x2)=0, f(0)=d=0.f(x)=ax(x x1)(x x2)=ax3 4.： a(x1+x2)x2+ax1x2x，b=a(x1+x2),又 f(x)在x2,+ ) 单调递增，故 a0.又知 0x1x,得 x1+x20,b=a(x1+x2)0.

26、：(,0）ax2 - x1 1 且a x1 0,三、5.证明：(1）设1x1x2+,则 x2x10,=-aaa-xx)1(0,又 x1+10,x2+1021 x2 - 2 - x1 - 2 = ( x2 - 2)(x1 + 1) - ( x1 - 2)(1) =x2 - x13)(0,x2 + 1x1 + 1x1 + 1)(x2 + 1)x1 + 1)(x2 + 1)+ x2 - 2 - x1 - 2于是 f(x2)f(x1)= a x- a x021x2 + 1x1 + 1f(x)在(1，+）上为递增函数.= - x0 - 2 且由 0 a x0 x00(x01)满足 f(x0)=0,则ax0(2）证法一：设x0 + 11 得 0 x0 - 2 1,1即 x02 与 x00，故 f(x)=0 没有负数根.x0 + 121x00(x01)使 f(x0)=0